普通物理热学-李椿-电子教案

第一章温度◆本章学习目标1、深刻理解热力学第零定律。2、理解气体的平衡状态、状态参量等概念。3、掌握测温原理及经验温标、理想气体温标，理解温度的物理意义。4、掌握理想气体物态方程及其应用。◆本章教学内容1、平衡状态2、温度3、气体的物态方程◆本章重点理想气体物态方程

◆本章教学学时方案：6学时实际：7学时〔含1学时习题〕

§1.平衡态状态参量一、平衡态1、系统与外界热力学系统〔简称系统〕——由大量分子原子组成的物体或物体系。注意：主要研究气体系统，固体和液体系统的热力学问题不在这里研究。外界——一个热力学系统所处的外部环境。2、系统分类孤立系统：与外界既不交换能量又不交换物质的系统。开放系统：与外界既交换能量又交换物质的系统。封闭系统：与外界交换能量而不交换物质的系统。

均匀系〔单相系〕：系统的各局部完全一样。非均匀系〔复相系〕：系统的各局部不同且有界面。3、平衡态定义：在不受外界影响〔外界对系统既不做功又不传热〕的条件下的热力学系统，宏观性质不随时间变化的状态。热力学平衡态包括力学平衡、化学平衡、热平衡和相平衡。这四种平衡都到达才称热力学平衡态。注意：热力学平衡态与热平衡的区别热力学平衡平衡态的条件热力学平衡态的条件热力学系统呈现无粒子流：力学平衡条件，系统内部各局部之间、系统与外界之间应到达力学平衡，通常情况下反映为压强处处相等。化学平衡：化学平衡条件，即在无外场下系统各局部的化学组成应是处处相等。可以用p、V、T图来表示。只要上述三个条件一个得不到满足，就是非平衡态，不能用p、V、T图来表示。4、讨论1〕事实上，并不存在完全不受外界影响，从而使得宏观性质绝对保持不变的系统，所以平衡态只是一种理想模型，它是在一定条件下对实际情况的抽象和近似。2〕由于永不停息的热运动，各粒子的微观量和系统的微观态都会不断地发生变化。但只要粒子热运动的平均效果不随时间改变，系统的宏观状态性质就不会随时间变化。因此，确切地说平衡态应该是一种热动平衡的状态。3〕在平衡状态下，系统的宏观物理量仍会发生微小的变化，称为涨落。组成系统的微观粒子数量极大时，这种涨落很小从而可以忽略。在热力学中可以认为平衡状态下系统的宏观物理量具有确定的数值。5、平衡态的特点1〕单一性〔p,T〕处处相等；2〕物态的稳定性——与时间无关；3〕自发过程的终点；4〕热动平衡，有别于力平衡。6、非平衡态在自然界中，平衡态是相对的、特殊的、局部的与暂时的，不平衡才是绝对的、普遍的、全局的和经常的。课后P28思考题1二、状态参量——用确定的物理量作为描述系统状态的变量。统的平衡态描述热力学系几何参量：体积统的平衡态描述热力学系力学参量：压强化学参量：质量或物质的量电磁参量：电场强度、电极化强度；磁感应强度，磁化强度热力学量可分成：广延量和强度量广延量：与系统的总质量成正比的量。〔体积、面积等〕强度量：与系统的总质量无关的量。〔压强、电场强度等〕§2.温度引进一个新的物理量——温度来表示系统的冷热程度。气体的温度，宏观上表现为气体的冷热程度，而微观上看它表示的是分子热运动的剧烈程度。一、热力学第零定律热接触：系统间能发生传热的接触。热平衡：两个系统在发生传热的条件下到达的一个共同的平衡态。热平衡定律〔热力学第零定律〕：如果两个热力学系统的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，那么它们彼此也必定处于热平衡。热平衡定律为建立温度概念提供了实验根底。注意：决定系统热平衡的宏观性质为温度，即温度是决定一系统是否与其他系统处于热平衡的宏观性质，特征就在于一切互为热平衡的系统都具有相同的温度。热力学第零定律的物理意义互为热平衡的物体之间必存在一个相同的特征，即它们的温度是相同的。热力学第零定律不仅给出了温度的概念，而且指出了判别温度是否相同的方法。课后P28思考题2,3二、温标——温度的数值表示法经验温标——在经验上以某一物质属性随温度的变化为依据并用经验公式进行分度的温标。以液体温度计－摄氏温标为例原理：利用液体的体积随温度改变的性质制成的。即用液体的体积来标志温度。选择测温物质，确定测温参量〔属性〕经验温标的三要素选定固定点进行分度，即规定测温参量随温度的变化关系例：水银温度计〔1〕水银－测温物质体积随温度变化－测温属性〔2〕冰点－0摄氏度汽点－100摄氏度〔3〕确定测温属性〔体积〕随温度的变化关系：线性变化课本P10表1-1几种常用的温度计缺点：采用同一种温标，选取不同的测温物质〔或同一种物质的不同测温属性〕来测量同一对象的温度时，所得的结果也并不严格一致。课后P29思考题4例题：课后习题P314、铂电阻温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时,铂电阻的阻值为90.35Ω,当温度计的测温泡与待测物体接触时,铂电阻的阻值为90.28Ω,试求待测物体的温度,假设温度与铂电阻的阻值成正比,并规定水的三相点为273.16K。解:依题给条件可得那么故5、在历史上,对摄氏温标是这样规定的:假设测温属性X随温度t作线性变化,即，并规定冰点为t=0℃,汽点为t=100℃。设X1和X2分别表示在冰点和汽点时X的值,试求上式中的常数a和b解:∵由题给条件可知①②由②—①得∴③将③式代入①式得2、理想气体温标——标准温标〔为了使温度的测量统一〕气体温度计：〔1〕定容气体温度计〔气体的体积保持不变，压强随温度改变〕〔2〕定压气体温度计〔气体的压强保持不变，体积随温度改变〕

理想气体温标：以气体为测温物质，利用理想气体状态方程中体积〔压强〕不变时压强〔体积〕与温度成正比关系所确定的温标称为理想气体温标。定容气体温度计——定容气体温度计与待测系统到达热平衡时的温度值p——用温度计测得并经修正的气体压强

a——比例系数，根据选定的固定点来确定固定点：水的三相点〔纯冰、纯水和水蒸气平衡共存的状态〕273.16K

——气体在三相点时的压强定压气体温度计——气体在三相点时的体积共同特点：用不同气体建立的温标只有微小的差异，随着气体压强的降低这种差异逐渐消失，而且在压强趋于零时不同的温标趋于一个共同的极限值。这个极限温标叫做理想气体温标〔气体温标〕。定义式：〔体积V不变〕或〔压强p不变〕缺点：对极低的温度〔气体的液化点以下〕和高温〔1000ºC是上限〕就不适用。理想气体温标的最低温度：1K课后P29思考题7热力学温标——完全不依赖于任何测温物质及其物理属性。热力学温度T：单位开尔文K热力学温标是无法实现的理论温标，是通过理想气体温标来实现。摄氏温标与热力学温标的关系：摄氏温标和华氏温标的换算关系：课本P15图1-7热力学温度、摄氏温度和华氏温度的对应关系温度单位符号固定点的温度值与热力学温度的关系通用情况绝对零度冰点三相点汽点热力学温度KT0.00273.15273.16373.15国际通用摄氏温标ºCt-273.150.000.01100.00国际通用华氏温标FtF-459.6732.0032.02212.00英美等国兰氏温标RTR0.00491.67491.69671.67英美等国国际实用温标ITS-90

国际温标的三要素：定义固定点；规定在不同的待测温度区内使用的标准测温仪器；给定在不同的固定点之间标准测温仪器读数与国际温标值之间关系的内插求值公式。ITS-90的优点：更接近于热力学温度将最低温度扩展到0.65K在整个温度范围内，改良了连续性、精度和再现性在某些温度范围内，对分区重复定义的处理方便了使用消除了大多数以沸点定义的固定点。膨胀测温法：玻璃液体温度计、双金属温度计压力测温法：压力表式温度计、蒸汽压温度计实用温度计简介电磁学测温法：电阻温度计、温差热电偶温度计、半导体温度计、频率温度计声学测温法：声学温度计、噪声温度计辐射测温法：光学高温计、比色高温计、辐射高温计

自我阅读局部：附录1-1热力学第零定律与温度附录1-2水的三相点管课后作业题：P311，6

§3.气体的状态方程或函数关系叫做气体的物态方程把处于平衡态的某种物质的热力学参量〔如压强、体积、温度〕之间所满足的函数关系称为该物质的物态方程或称状态方程。一、理想气体的状态方程1、玻意耳定律——一定质量气体的温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常量：

注意：〔1〕温度不变，pV为一常数；温度改变，常数也要改变〔2〕p不太大，T要不太低时适用；p越低，遵守得越好。2、理想气体状态方程根据玻意耳定律和理想气体温标的定义来确定C与温度T的关系。设Ctr为常数C在水的三相点时的数值。得在气体压强趋于零的极限情形下：由，得阿伏伽德罗定律：在气体压强趋于零的极限情形下，在相同的温度和压强下，1摩尔的任何气体所占的体积都相同。令普适气体常数物态方程：理想气体物态方程是根据玻意耳定律、理想气体温标的定义和阿伏伽德罗定律求得的，这三者所反映的都是气体在压强趋于零时的极限性质。注意：压强越低，物态方程近似程度越高；在压强趋于零的极限情形下，一切气体都严格地遵从它。3、普适气体常数R一般由1mol理想气体在冰点〔〕及一个大气压〔〕下的体积来推算：算出：课后P29思考题9，10，11，13课本P19[例题1]由物态方程求相对分子质量[例题2]由物态方程求容器体积和漏气质量[例题3]低温测量的气体温度计原理〔了解〕4、混合理想气体的状态方程道尔顿分压定律：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。某组分的分压强：是指这个组分单独存在时〔即在与混合气体的温度和体积相同，并且与混合气体中所包含的这个组分的物质的量相等的条件下，以化学纯的状态存在时〕的压强。注意：道尔顿分压定律只适用于理想气体〔混合气体的压强较低〕道尔顿分压定律的公式表示：令，得——混合理想气体的物态方程平均摩尔质量M：二、非理想气体的状态方程〔了解〕1．范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯气体：考虑分子间吸力和斥力的作用。

范德瓦耳斯方程：——1mol气体——任意质量的气体a，b——常量，可由实验测定[例题5]用范德瓦尔斯方程计算，和理想气体的物态方程计算结果比拟。2、昂尼斯方程

或或都是温度的函数，并与气体的性质有关，分别叫做第一、第二、第三、第四、……位力系数。当压强趋于零时，上式变为理想气体物态方程，且A=RT课后作业题：P3112，13，26，27第一章小结一、平衡态1、系统的定义和分类2、平衡态的定义和特点二、温度根底实验热力学第零定律温度的概念温标经验温标根底实验统一各国的扩大测温统一统一各国的扩大测温统一温度计量范围理想气体温标热力学温标国际实用温标温度计量范围三、气体的物态方程1、理想气体的物体方程①单一成分的理想气体②混合理想气体2、非理想气体的物态方程①范德瓦耳斯方程②昂内斯方程

习题解答1、定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。〔1〕用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？〔2〕当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少？解：对于定容气体温度计可知：(1)

〔2〕6、

水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm;温度计浸在沸水中时，水银柱的长度为24.0cm.(1)

在室温22.0℃时，水银柱的长度为多少？(2)

温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm，试求溶液的温度。解：设水银柱长L与温度T成线性关系：L=at+b当t=0℃时那么L0∴b=1代入上式L=at+1当t1=100℃时那么L1=at1∴a=〔L1-L0〕/t1(1)

L===8.4(cm)〔2〕t/=〔L/-L0〕/a==107℃ 12、一定质量的气体在压强保持不变的情况下，温度由50℃升到100℃解：根据方程，∴，那么体积改变的百分比为15.5%13、一氧气瓶的容积是32L，其中氧气的压强是130atm，规定瓶内氧气压强降到10atm时就得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用1.0atm氧气400L，问一瓶氧气能用几天。解：先作两点假设：〔1〕氧气可视为理想气体〔2〕在使用氧气过程中温度T不变，那么：由可有每天用掉的氧气质量为瓶中剩余氧气的质量为∴〔天〕19、求氧气在压强为10.0atm、温度为27℃解：氧的M=32g/mol14、水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的读数为768mmHg时，它的读数只有748mmHg。此时管内水银面到管顶的距离为80mm。问当此气压计的读数为734mmHg时，实际气压应是多少。设空气的温度保持不变。解：设管子横截面为S，在气压计读数为h0=748mmHg和h=734mmHg时，管内空气压强分别为p1和p2，根据静力平衡条件可知，，且p=768mmHg，l=80mm由于T、m不变根据方程有，而21、一打气筒，每打一次可将原来压强为，温度为，体积的空气压缩到容器内。设容器的容积为，问需要打几次气，才能使容器内的空气温度为，压强为。解：打气后压强为：，题上未说原来容器中的气体情况，可设原来容器中没有空气，设所需打气次数为，那么,〔1〕〔2〕将得：次26、按重量计，空气是由的氮，的氧，约的氩组成的〔其余成分很少，可以忽略〕，计算空气的平均分子量及在标准状态下的密度。解：设总质量为m的空气中，氧、氮、氩的质量分别为m1，m2，m3氧、氮、氩的分子量分别为M1,M2,M3空气的摩尔数那么空气的平均摩尔质量为即空气的平均分子量为28.9空气在标准状态下的密度27、把的氮气压入一容积为的容器，容器中原来已充满同温同压的氧气。试求混合气体的压强和各种气体的分压强，假定容器中的温度保持不变。解：根据道尔顿分压定律可知又由状态方程且温度、质量不变。第二章气体分子运动论的根本概念◆本章学习目标1、深刻理解物质的微观结构和理想气体的微观模型。2、理解理想气体的压强与温度的微观本质。3、了解常用的分子简化模型，应用势能曲线研究分子碰撞过程。◆本章教学内容1、物质的微观模型2、理想气体的压强3、温度的微观解释4、分子力5、范德瓦耳斯气体的压强◆本章重点1、压强公式和温度公式2、理想气体的微观模型，范德瓦耳斯气体的压强◆本章教学学时方案：8学时实际：7学时〔含1学时习题〕

§1.物质的微观模型分子动理论是从物质的微观结构出发来说明热现象的规律。宏观物体是由大量微粒－分子〔或原子〕组成的物质由大量分子所组成的论点是指宏观物体是不连续的，它由大量分子或原子〔离子〕所组成的。1mol物质中的分子数，即阿伏伽德罗常量二、物体内的分子在不停地运动着，这种运动是无规那么地，其剧烈程度与物体的温度有关扩散现象说明：一切物体〔气体、液体、固体〕的分子都在不停地运动着。实验观察：扩散现象，布朗运动布朗运动并非分子的运动，但它能间接反映出液体〔或气体〕内分子运动的无规那么性。无规那么：由于分子之间的相互碰撞，每个分子的运动方向和速率都在不断地改变；任何时刻，在液体或气体内部，沿各个方向运动的分子都有，而且分子运动的速率有大有小。分子的热运动：分子的无规那么运动。〔与物体的温度有关〕涨落现象：偏离统计平均值的现象。例：某随机变量的平均值，那么在附近的偏差为，，均方偏差不等于零，其相对均方根偏差称为涨落。

一个由大量子系统组成的系统，其可测的宏观量是众多子系统的统计平均效应的反映。但系统在每一时刻的实际测度并不都精确地处于这些平均值上，而是或多或少有些偏差，这些偏差就叫涨落，涨落是偶然的、杂乱无章的、随机的。三、分子之间有相互作用力1、吸引力和排斥力很多物质的分子引力作用半径约为直径的两倍作用，超过这一距离，分子间相互作用力已很少。排斥力作用半径就是两分子刚好“接触”时两质心间的距离。排斥力发生作用的距离比吸引力发生作用的距离还要小。2、分子力与分子热运动分子力是一种电磁相互作用力，故它是一种保守力，它应该有势能，称为分子作用力势能。〔分子力是由一个分子中所有的电子和核与另一个分子中所有的电子和核之间复杂因素所产生的相互作用的总和。〕总结：一切宏观物体都是由大量分子〔或原子〕组成的；所有的分子都处在不停的、无规那么热运动中；分子之间有相互作用力。分子力的作用将使分子聚集在一起，在空间形成某种规那么的分布〔有序排列〕，而分子的无规那么运动将破坏这种有序的排列，使分子分散开。温度升高温度升高固体状态液体状态气体状态§2.理想气体的压强一、理想气体的微观模型理想气体的微观模型具有以下特点：〔1〕分子本身的线度比起分子之间的平均距离来可以忽略不计，即对分子可采用质点模型。〔气体分子间距大约是分子本身线度的10倍。〕〔2〕除碰撞的一瞬间外，分子之间以及分子与容器壁之间相互作用力可忽略不计。分子所受的重力也可以忽略。分子在两次碰撞之间做自由的匀速直线运动。〔3〕分子与容器壁以及分子之间的碰撞属于牛顿力学中的完全弹性碰撞，即气体分子的动能不因碰撞而损失。综上所述，经过抽象与简化，理想气体可以看成是一群彼此间无相互作用的无规运动的弹性质点的集合，这就是理想气体的微观模型。在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能很好地满足理想气体方程。课本P53思考题1二、理想气体的压强公式1、关于气体分子集体的统计假设对于平衡态下的理想气体系统中的大量分子，可作如下统计假设：无外场时，分子在各处出现的概率相同，即容器中单位体积内的分子数处处相等。—分子数密度由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，速度取向各方向等概率，分子速度在各个方向分量的各种统计平均值相等。〔；〕2、理想气体压强公式〔1〕定性解释压强：密闭容器〔如气缸〕内的气体对容器的器壁有压力作用，作用在单位面积器壁上的压力。从气体动理论的观点看来：气体在宏观上施于器壁的压强，是大量分子对器壁不断碰撞的结果。最早使用力学规律来解释气体压强的科学家是伯努利。他认为：气体压强是大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲量。〔2〕定量推导前提：平衡态、忽略重力、分子看成质点〔只考虑分子的平动〕设在任意形状的容器中贮有一定量的理想气体，体积为V，共含有N个分子，单位体积内的分子数为n=N/V，每个分子的质量为m0，分子具有各种可能的速度，把分子分成假设干组，每组内的分子具有大小相等、方向一致的速度，并假设在单位体积内各组的分子数分别为n1，n2，…,ni,…,那么。设某一分子以速度运动并与dA面碰撞，碰撞后速度变为。推导过程：〔1〕计算单个分子速度为与器壁dA面碰撞一次的过程中施于dA面的冲量：〔2〕dt时间内速度为能与dA面发生碰撞的分子总数：〔dA为底，为高，为轴的斜形柱体的体积内，的分子。〕dt时间内速度为能与dA面发生碰撞的分子对dA面的冲量：dt时间内所有分子对dA面的总冲量：器壁所受的宏观压强：〔6〕为了使结果的物理意义更明确，对压强表示式进行化简。根据统计假设，所以应用这一关系，得到理想气体的压强公式：式中是气体分子平均平动动能。——表征三个统计平均量之间相互联系的一个统计规律，而不是一个力学规律。气体压强是系统中所有分子对器壁碰撞的平均效果，是大量分子热运动的集体表现。压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果。压强的物理意义：统计关系式宏观可测量量统计平均值统计关系式宏观可测量量统计平均值注意的问题：一是容器的各个器壁上的压强都是相等的。二是压强公式与容器大小无关，还与容器的形状无关。上述说明：气体的压强与分子数密度和平均平动动能都成正比。这个结论与实验是高度一致的，它说明了我们对压强的理论解释以及理想气体平衡态的统计假设都是合理的。压强的单位：[例题]某理想气体的压强p＝1.00×10－3atm，密度＝1.24×10－3kg/m3，求气体分子的方均根速率〔即方均速率的平方根〕。假设该气体为双原子理想气体，且温度为t＝0℃解：按压强公式，方均根速率为：气体的密度与分子的数密度和分子的质量m的关系为：将其代入上式，即得由理想气体的物态方程，可得故气体的摩尔质量所以，该气体是摩尔质量的N2或CO课本P54思考题6，7，8§3.温度的微观解释温度的微观解释1、理想气体的温度公式理想气体的压强公式：理想气体的物态方程：由,,—阿伏伽德罗常量〔1摩尔气体所含的分子数〕得：令——玻耳兹曼常量得平衡态下理想气体的温度公式：或温度的微观解释：标志着物体内局部子无规那么运动的剧烈程度。温度越高就表示平均说来物体内局部子热运动越剧烈。温度是由大量分子热运动的集体表现，也是含有统计意义，对于少数或单个分子谈温度是没有意义的。理想气体的温度公式说明：气体分子的平均平动动能惟一决定于温度，并与热力学温度成正比。在相同的温度下，气体分子的平均平动动能相同而与气体的种类无关。也就是说，如果有一团由不同种类的气体混合而成的气体处于热平衡状态，不同的气体分子的运动可能很不相同，但它们的平均平动动能却是相同的。课本P45[例题1]求气体分子的平均平动动能。[例题2]在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于一个电子伏特？温度T=300K的气体分子的平均平动动能为多少个电子伏特？解：按照温度公式2、方均根速率由，,得气体分子的方均根速率：[例题3]计算氢分子的方均根速率。课本P54思考题11，13，14，15，16二、对理想气体定律的推证由分子动理论的一般规律出发—→确定理想气体的宏观规律〔压强公式，温度公式〕阿伏伽德罗定律将代入压强公式得：可见：在相同的温度和压强下，各种气体在相同的体积内所含的分子数相等。——阿伏伽德罗定律。→例：在标准状态下，，时，任何气体在1m3中含有的分子数都等于：2、道尔顿分压定律设有几种不同的气体，混合地贮在同一容器中，它们的温度相同，根据理想气体的温度公式，得：设单位体积内所含各种气体的分子数分别为那么单位体积内混合气体的总分子数为：代入压强公式，得到混合气体的压强为：上式说明：混合气体的压强等于组成混合气体的各成份的分压强(单独存在)之和。——道尔顿分压定律[例题4]求每立方米内的分子数。课后作业题：P553，5，9，12

§4.分子力分子热运动和分子间的相互作用是决定物质各种热学性质的根本因素。分子之间存在相互作用力——分子力：斥力和引力互相抵消，合力为零〔平衡位置〕：强大的斥力作用范围，且r增加，F急剧增加：强大的引力作用范围，且r增加时，F先增加再减少图2-7〔b〕是分子势能曲线：，势能有极小值：势能曲线有很陡的负斜率，很强的斥力：势能曲线的斜率是正的，引力根据势能曲线说明两个分子的相互“碰撞”过程二、简化模型〔1〕体积趋向于零的刚球模型作为两分子质心间距离r的函数的势能满足以下关系：，当，当其势能曲线如图2-8〔a〕所示，对应的物态方程是理想气体方程。〔2〕刚球模型，当，当其势能曲线如图2-8〔b〕所示〔3〕苏那么朗模型，当，当即把分子看作相互有吸引力的刚球，其势能曲线如图2-8〔c〕所示注意 〔1〕d可视为分子力程；数量级在数量级，可看为分子直径〔有效直径〕。〔2〕分子力是电性力，大于万有引力 §5.范德瓦耳斯气体的压强理想气体：T较高，p较小时，满足理想气体的物态方程；真实气体：T较低，p较大时，不满足理想气体的物态方程。找真实气体物态方程的途径：从实验中总结出经验的或半经验的公式；修改理想气体模型，在理论上导出物态方程。1873年，范德瓦尔斯用简洁的物理模型导出了真实气体的物态方程——范德瓦尔斯方程。问题：理想气体模型忽略了分子的体积〔分子间的斥力〕和分子间的引力。理想气体状态方程在低温高压时偏差很大，找真实气体的状态方程成为当时的热门课题。研究方法：实验—规律(经验公式)—准确性高但应用范围狭窄建立模型—统计运算—统计规律—应用范围广，但准确性与模型有关两者结合，互相修正、补充范德瓦耳斯的想法：1、高压下，分子线度不可忽略——体积要修正2、低温、高压下，分子间相互作用力不可忽略——压强要修正范德瓦耳斯气体的模型：〔1〕分子是直径为d的刚球；〔2〕在d~s的范围内，分子间有恒定引力。这就是有引力的刚球分子模型。一、分子体积所引起的修正1mol理想气体的压强为：——每个分子可以自由活动的空间的体积如果把分子看作有一定体积的刚球，那么每个分子能自由活动的空间不再等于容器的容积。理想气体的压强修正为：体积修正:b：考虑到分子本身体积后而对气体体积的修正量，理论上证明：为1mol气体内所有分子体积的总和为1mol理想气体内所有分子体积的总和1mol气体的诺贝尔方程：νmol气体的诺贝尔方程：由于分子有一定的体积，分子与器壁的碰撞将比不计分子体积时的碰撞更频繁，因而使压强增大。二、分子间引力所引起的修正考虑分子间的引力，分子在靠近器壁区域中受到向内的拉力，将使它在垂直于器壁方向上的动量减小，因而器壁实际受到的压强比经过体积修正的值还要小一些。气体施于器壁的压强实际为——气体的内压强内压强：气体外表层单位面积上所受内局部子的引力。=〔单位时间内与单位面积器壁相碰的分子数〕又得比例系数a：由气体的性质决定，反映气体分子引力的一个常量。表示1mol气体在占有单位体积时，由于分子间相互吸引作用而引起的压强减小量。适用于1mol气体的范德瓦耳斯方程：

范德瓦耳斯方程①1mol气体的范德瓦耳斯方程：②νmol气体的范德瓦耳斯方程：③质量为m的真实气体的范德瓦耳斯方程：课本P54思考题17，18，19第二章小结一、两个微观模型1、物质的微观模型2、理想气体的微观模型二、两个公式1、理想气体的压强公式2、理想气体的温度公式三、真实气体1、微观模型分子力和分子势能2、真实气体的物态方程——范德瓦耳斯方程

习题解答3、一容积为11.2L的真空系统已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。假设烘烤后压强增为1.0×10-2mmHg，解：设烘烤前容器内分子数为N0，烘烤后的分子数为N1。根据上题导出的公式那么有：因为p0与p1相比差103数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此与相比可以忽略个5、一容器内有氧气，其压强p=1.0atm，温度为t=27ºC，求(1)单位体积内的分子数： (2)氧气的密度；(3)氧分子的质量；(4)分子间的平均距离；(5)分子的平均平动能。解：(1)∴(2)(3)(4)设分子间的平均距离为因每个分子平均分配到自由活动体积为(5)分子的平均平动能为：8、质量为10g的氮气，当压强为1.0atm，体积为7700cm3时，其分子的平均平动能是多少？解:∵而∴9、质量为50.0g，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L的封闭容器内，容器以v=200m/s解：由于容器以速率v作定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于，当容器停止运动时，分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，每个分子的平均热运动能量那么为∴因为容器内氦气的体积一定，所以故，又由得：∴11、试计算氢气、氧气和汞蒸气分子的方均根速率，设气体的温度为300K，氢气、氧气和汞蒸气的分子量分别为2.02、32.0和201。解12、气体的温度为T=273K,压强为p=1.00×10-2atm,密度为ρ=1.29×10-5(1)求气体分子的方均根速率。(2)求气体的分子量，并确定它是什么气体。解：〔1〕→→〔2〕该气体为空气第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律◆本章学习目标1、理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义；2、掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率和最概然速率。3、了解玻耳兹曼能量分布。4、理解分子运动自由度的概念，掌握能量按自由度均分定理，明确气体内能的微观意义。掌握理想气体的内能公式。5、通过理想气体的定容摩尔热容的理论值与实验值的比拟，明确经典理论的困难以及对量子论建立的作用。◆本章教学内容1、气体分子的速率分布律2、用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律3、玻尔兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布4、能量按自由度均分定理◆本章重点麦克斯韦速率分布律和速度分布律◆本章教学学时方案：8学时实际：12学时〔含1学时习题〕补充数学知识一、概率的根本性质1、概率的定义随机事件：在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件。假设在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的情况下〔N→∞〕，计算所出现某一事件的次数NL，那么这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：分布函数的物理意义通常可以用两种完全等价的方式来说明。其一是，掷出数值的次数占总投掷次数N的比率；其二是，任意投掷一次，掷出数值为的概率〔可能性〕。2、等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些〔或更小些〕的情况下，每一事件出现的概率都应相等。统计物理学实质上只包含等概率原理这一个根本假定：如果对于系统的各种可能的状态没有更多的知识，就可暂假定一切状态出现的概率相等。3、概率的根本法那么〔1〕概率相加法那么——n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。〔2〕概率相乘法那么——同时或依次发生的，互不相关〔相互统计独立〕的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。二、随机变量的概率分布函数——如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，那么该变量称为随机变量。〔分为离散型和连续型〕随机变量的概率分布：随机变量的取值及其与相应的概率之间的关系。离散型：为随机变量x的概率分布，满足条件：①②归一化条件连续型：随机变量x可取某一区间内的一切数值。〔〕随机变量x取值在x~x+dx内的概率dP(x)为：——概率密度满足条件：①②归一化条件对于取连续值的随机变量，其概率随随机变量值的变化的分布规律不是由概率分布函数来表述，而是由概率密度函数来表述，概率密度函数给出了随机变量出现的概率分布，也称为随机变量的分布函数。离散量与连续量的分布函数

§1.气体分子的速率分布律研究平衡态下气体分子速率的统计分布规律，说明统计规律的一些性质和特点。速率分布函数1、速率分布函数的定义在平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大，速率v可以看作在0~∞之间连续分布的。此时分子的速率分布函数应该这样来定义：假设系统的总分子数为N；在速率v～v+dv之间的分子数为dN；来表示在速率v～v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率；或者对于任意一个分子来说，这是它的速率处于v～v+dv之间的概率。由于和速率区间dv的大小成正比〔即dv越大那么越大〕，通常用来反映气体分子的速率分布，它与所取区间dv的大小无关而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数：表示分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。对于处在一定温度下的气体，它只是速率v的函数。2、速率分布函数的物理意义——在速率v附近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数N的比率；或者说，对于任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率，故也称为分子速率分布的概率密度。对于任意一个分子来说，它的速率是多大是偶然的，但却具有一定的概率分布。只要给出了速率分布函数，整个分子的速率分布就完全确定了。3、速率分布函数的应用由速率分布函数可求出：v～v+dv区间的分子数：

v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率，即一个分子的速率在v～v+dv区间的概率：在速率分布函数的曲线上，它表示曲线下一个微元矩形的面积。〔此意义在速率分布曲线局部讲〕区间的分子数可以用积分表示为：区间的分子数在总数中占的比例，即一个分子的速率在区间的概率：在分布曲线上，它表示在间曲线下的面积。〔此意义在速率分布曲线局部讲〕令，那么即为全局部子数N，故有此式称为速率分布函数的归一化条件，表示所有分子与分子总数的比率为1，即一个分子速率在区间的概率为1。在分布曲线上，它表示在区间曲线下的面积为1。〔此意义在速率分布曲线局部讲〕课本P82思考题2〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕二、麦克斯韦速率分布律1、麦克斯韦速率分布律在平衡状态下，分布在任一速率区间内的分子的比率为：即速率分布函数为：这个函数表达的速率分布规律叫做麦克斯韦速率分布律。式中，T为理想气体平衡态的热力学温度，m0为每个气体分子的质量，k为玻耳兹曼常量。2、速率分布曲线从下面的曲线〔速率分布曲线〕观察的气体分子速率分布的特点。曲线下矩形面积的物理意义：图中任一区间内曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子的比率；②图中任一有限范围内曲线下的面积那么表示在这个范围内分子的比率；③由归一化条件，在区间曲线下的面积为1。3、最概然速率最概然速率——极大值对应的速率物理意义：在附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于附近单位速率区间内的概率最大。要确定，令解出：即温度越高，越大；分子的质量越大，越小。上式规律说明对于给定的气体〔即m一定〕，分布曲线的形状随温度而变；在同一温度下，分布曲线的形状因气体的不同〔即m不同〕而异。如图3-2〔a〕，不同温度下的分布曲线。同样实线对应分子质量〔或相对分子质量〕较大的气体，虚线对应于分子质量〔或相对分子质量〕较小的气体，那么图3-2〔b〕表示，不同种类气体的分布曲线。3、涨落现象假设分布在某一速率区间内的分子数的统计平均值为，那么实际分子数对于这一统计平均值的偏离范围，即涨落幅度根本上是，而涨落的百分数就是。由此可知，分子数越大，涨落的百分数就越小，即相对地说涨落现象越不显著；反之，涨落的百分数就越大，统计规律的结论就失去了意义。因此，麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。麦克斯韦速率分布律只适用于气体的平衡态。课本P82思考题3、4、补充数学知识三、统计平均值——数学期望1、离散型随机变量一般来说，假定某量有N个测量值，测量结果为x1的有N1个，为x2的有N2个，…为xk的有Nk个，按照求平均值的方法，该量测量的平均值应该是同理，该量测量的方均值〔先平方后再求平均值〕应该是实际上只要把上面的式中的用来代替就到达上式。2、连续型随机变量统计平均值：方均值：四、方差〔涨落〕——表示随机变量x的取值在平均值附近分散的程度。〔或描述x在其统计平均值上下涨落的平均幅度。〕三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值1、分子的平均速率——大量分子的速率的算术平均值。将速率分布函数代入上式积分，得：补充提示：任意区间内的平均速率：2、分子的方均根速率分子速率平方的平均值：

分子的方均根速率：补充提示：任意区间内的速率平方的平均值：从上述三式可以清楚地看出，为了计算，或，实际上只要给定速率分布函数就可以了，可见速率分布函数的重要性。3、最概然速率最概然速率、平均速率和方均根速率统称为速率分布的特征速率。都与成正比，与或成反比。三种速率中，最大，次之，最小。当气体的温度T和摩尔质量M相同时，::=1.41:1.60:1.73课本P82思考题2〔5〕、〔6〕，6，7，8课后作业题：课本P831，2，5，6课本P8412，13〔做课堂例题处理〕作业为例1和例2[例1]对于给定的理想气体，试分别求，和的速率附近与最概然速率的附近相比，在相同的速率小区间内的分子数比。解:由，可得任意速率区间内的分子数当很小时，在该速率区间内近似不变，可将上式简化为因而，当速率分别为v和vp时，由相同，有理想气体的分子速率，遵守麦克斯韦速率分布。由可得以最概然速率代入上式，又有分别以，和代入上式，可以算出：时，时，

时，显然，速率越是偏离最概然速率，区间内的分子数越少。[例2]一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如以下图所示。试求：〔1〕速率分布函数；〔2〕速率在0～v0/2范围内的粒子数；〔3〕粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。解:〔1〕按上图所示的速率分布曲线形状，应有()()k为0～v0之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得故速率分布函数为()()〔2〕速率在范围内的分子数为：〔3〕由和，可得粒子的平均速率方均速率:故方均根速率:最概然速率是具有最大值，即速率分布曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲线，可得四、麦克斯韦速度分布律以上讨论的是气体分子按速率分布的规律，对分子的速度的方向未作任何确定。下面进一步介绍气体分子按速度分布的规律。1、速度空间——以为轴的直角坐标〔或以为坐标的球坐标系〕所确定的空间。速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。速度空间中的一个微分体积元表示：速度矢量的取值范围在，，范围内的所有那些速度矢量的整体，而是该立方体微分元中最靠近原点的那一点的坐标。2、麦克斯韦速度分布律①麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间内的概率：分子速度在附近单位区间内的概率：在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，速度分量在区间内，在区间内，在区间内的分子的比率为：——麦克斯韦速度分布律那么速度分量，，在附近单位区间内的分子的比率为：〔概率分布密度〕——麦克斯韦速度分布函数②速度分量的分布函数由概率相乘法那么：，同时相互独立那么即速度分量的分布函数：速度分量的分布函数同理有的分布函数的分布函数由速度分量的分布函数描绘出的速度分量的分布曲线如左图，图中曲线下的矩形阴影局部面积为：也可通过积分求解：由积分表求出：得到各速度分量的分布函数。③注意点适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。归一化条件：最概然速度的概念：速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分布律可得出，时，概率取极大。那么最概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。[思考题]分析以下各式的物理意义①表示：速度空间中任何位置处的概率密度②表示:速度空间中的分子数密度③表示：三个速度分量在，，范围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元内的分子数占总分子数的比率。④表示：意义与相同。⑤表示：三个速度分量在，，而范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为，其棱平行于轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。⑥表示：三个速度分量在，而，范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于轴厚度为的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。3、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。在平衡状态下，分布在任一速率区间内的速度矢量端点都落在半径为v，厚度为dv的球壳层内。球壳层的体积：，同时代入麦克斯韦速度分布律：中得到麦克斯韦速率分布律：4、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式①用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数〔泻流问题〕见课本P63的例题得出每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数：泻流：从小孔跑出的气体分子数对容器内的气体平衡状态的影响可以忽略，那么容器壁小孔的漏气现象称为泻流。通常小孔截面的线度不大于气体分子的平均自由程，小孔的漏气就满足泻流条件。推导理想气体的压强公式在dt时间内速度在，，范围内，碰撞在dA面元上的分子数：速度分量为的气体分子对面元dA的冲量：考虑的分子才能碰上dA面，，那么气体分子对dA面的总冲量为：压强为：证明结果与第二章结果相同。以上证明中并未使用麦克斯韦速度分布函数，说明压强公式具有普适性。只要是非相对论的〔〕无相互作用的系统，上式总能适用。如果从分子速率v为离散量出发：每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数：压强：〔〕课后作业题：课本P847，10五、误差函数〔自我阅读〕速度分量在区间内的分子数：速度分量在区间内的分子数：令那么，即分子的最概然速率定义误差函数，那么由课本P81附录3-2误差函数简表可查不同x值对应的近似值。例题：计算速度x分量在区间内的分子数。六、统计规律性和涨落现象1、统计规律性〔1〕什么是统计规律性？统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。〔2〕统计规律的特点：①只对大量偶然的事件才有意义。②它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变)。③大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。④统计规律是以动力学规律为根底的，统计规律不可能脱离由动力学规律所决定的个别事件而单独存在。⑤统计规律永远伴随着涨落现象。2、涨落现象测量值与统计值之间总有偏差。处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。

课本P83思考题14，15§2.用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律一、分子射线实验中气体一般用金属〔如银、铍、钍等〕蒸气。蒸气压由金属材料的性质和加热温度决定。二、葛正权实验此实验的主要困难是：铋蒸气中同时含有单原子分子Bi、双原子分子Bi2和少量三原子分子Bi3，而这三种组分的含量却是未知的。假设加上这三种组分的含量〔指每种组分的物质的量和总物质的量的百分比〕分别为44%、54%和2%，那么实验结果与麦克斯韦速率分布律很好地符合。三、密勒和库士实验比拟精确地验证麦克斯韦速率分布定律的实验是1955年进行的密勒－库什实验。实验装置如图。密勒－库什实验装置整个装置都放在抽成高真空的容器内。实验时，圆柱体以一定的角速度ω旋转，从加热的蒸气源逸出后进入沟槽的分子中，只有那些沿轴向通过距离L所用时间恰好等于圆柱体转动角度φ所需时间的分子，即速率满足如下关系的分子才能沿着沟槽进入探测器：或而其它速率的分子都会先后沉积在沟槽的侧壁上。事实上，由于沟槽有一定的宽度，相当于张角φ有一定的偏差范围。实际进入探测器的分子的速率，将包含在的范围内。改变ω的大小，就能测出不同速率范围的钍分子射线强度，从而得到不同速率范围的分子数比率。实验说明，如果根据实验条件对实验数据进行必要的拟合，那么实验结果与麦克斯韦速率分布是符合得相当好的。〔此局部由学生课后自我阅读，查找相关资料，练习写小论文，论述用实验验证麦克斯韦速度分布律的实验原理。〕§3.玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布授课思路：分子按能量分布的统计规律麦克斯韦速度分布律→考虑分子按速度的分布〔按动能分布〕分子按能量分布的统计规律在保守场中→考虑分子按空间分布〔按势能分布〕特殊化特殊化→玻耳兹曼分布律→分子按势能的分布律→重力场中气体分子按高度各种速度重力场分布的规律→等温气压公式→近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度一、玻耳兹曼分布律以下讨论玻耳兹曼把麦克斯韦分布律推广到分子在保守场〔如重力场〕中运动的情形。由麦克斯韦速度分布律得：将式中，用分子的动能表示，那么上式变为：如果把气体放在保守力场中，那么气体分子不仅有动能，而且还有势能。一般说来，动能是速率的函数，即，而势能那么是分子在空间位置坐标的函数，即。因此，在有力场的情况下，如果我们既要考虑分子按速率的分布〔即按动能分布〕，也要考虑分子按空间的分布〔即按势能分布〕，那么一个合理的考虑是，上式因子中的应当用粒子的总的能量来代替。玻耳兹曼从这个观点出发，进一步运用统计物理学根本原理得到，分子速度处于，，区间内，坐标处于x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz的空间体积元dV=dxdydz内的分子数为——玻耳兹曼能量分布律式中，n0表示在势能处单位体积内所含各种速度的分子数。从上式很容易地看出，当气体的温度给定时，在确定的速度区间和坐标区域内，分子数只取决于因子，称为概率因子。分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从统计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气体分子占据基态〔最低能量状态〕的概率要比占据激发态〔较高能量状态〕的概率大得多。+∞考虑归一化条件：+∞上式可写作：表示分布在坐标区间x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz内具有各种速度的分子总数。分布在坐标区间x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz内单位体积内的分子数：——分子按势能的分布律〔玻尔兹曼分布律的常用形式〕玻尔兹曼分布律对任何物质的微粒〔气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等〕在任何保守力场〔重力场、电场〕中运动的情形都成立。

二、重力场中微粒按高度的分布气体分子受到无规那么热运动和重力两种互相对立的作用，两种作用到达平衡时，气体分子在空间作非均匀分布，分子数随高度减小。典型的例子就是地球周围的大气因受地球重力场的作用，其分子数密度随高度升高而减小。由于压强，故压强也随高度减小。根据玻耳兹曼能量分布律，可以推出气体分子在重力场中按高度分布的规律。取坐标轴z铅直向上，设z=0处单位体积内的分子数为n0，那么分布在高度为z处体积元dxdydz内的分子数为：而分布在高度z处单位体积内的分子数为：把气体看作理想气体，那么在一定温度下，其压强与分子数密度n成正比：得出等温过程中，压强随高度的变化关系：——等温气压公式上式可用于近似地估算不同高度处的大气压强，因为在地面附近大气的温度是随高度变化，只有在高差不大的范围内计算结果才与实际符合。由上式可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空离地面的高度。[课堂例题]P85课后作业22、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0ºC。解：由题意知：，

23、设地球大气是等温的，温度为t=5.0ºC,海平面上的气压为p0=750mmHg，令测得某山顶的气压p=590mmHg，求山高。空气的平均分子量为28.97。解：课后作业题：课本P8521

§4.能量按自由度均分定理一、自由度1、自由度的定义物体的自由度数：决定一个物体的位置所需要的独立坐标数。质点在空间的自由运动：自由度为3如质点做平面或曲面运动：自由度为2，质点做直线或曲线运动：自由度为1刚体的运动：自由度为6〔3个平动，3个转动〕分解为：质心的平动和绕通过质心轴的转动①3个独立坐标x，y，z决定质心位置；②2个独立坐标α，β决定转轴的方位；③1个独立坐标φ决定刚体相对于某一起始位置转过的角度。如绕定轴转动的刚体只有1个自由度。物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体受到的限制〔或约束〕越多，自由度就越小。考虑到物体的形状和大小，它的自由度等于描写物体上每个质点的坐标个数减去所受到的约束方程的个数。2、气体分子的自由度单原子气体分子：一个自由运动的质点，那么其分子需要、、三个独立的空间坐标才能确定其位置，所以它的自由度为3。双原子气体分子：由一根质量可忽略的弹簧及两个质点构成的模型。用3个独立坐标确定其质心位置；2个独立坐标确定其双原子连线的方位；1个独立坐标决定两质点的相对位置。因而它的自由度是6：3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度。多原子气体分子：由n个原子构成，最多有3n个自由度，期中3个是平动，3个是转动，其余是3n-6是振动的。当分子的运动受到某种限制时，其自由度数就会减少。总自由度=t——平动自由度，r——转动自由度，s——振动自由度对刚性气体分子来说：刚性双原子气体分子：5个自由度。可分解为3个平动自由度和2个转动自由度。可以这样来理解，两个原子需要6个坐标，但是由于有刚性的要求〔两个原子之间的距离不变〕，从而形成一个约束方程，自由度等于5。刚性的多原子气体分子：在确定质心位置和任一过质心的轴线的方位后，还需要一个用以确定绕该轴转动的角坐标，因而它有6个自由度。它的6个自由度也常常分解为3个平动自由度和3个转动自由度。上述分子的自由度如以下图所示。在大学物理中我们只需要大家掌握上述三种情况，对于分子内有振动〔原子间距离变化〕的情况不予考虑。我们将上述情况总结如下：单原子分子：i=3刚性双原子分子：i=5，其中t=3，r=2刚性多原子分子：i=6，其中t=3，r=3

课本P83思考题16，17二、能量按自由度均分定理1、能量按自由度均分定理的说明理想气体的平均平动动能可以表示为：分子有三个平动自由度，分子的平均平动动能可表示为：

在平衡状态下，大量气体分子沿各个方向运动的时机均等，得出：气体分子的平均平动动能是分配在三个平动自由度上的。但是，根据理想气体平衡态的统计假设我们有：。上式说明：平衡态下的分子运动，每一个平动自由度都均分的平均动能，没有哪个自由度的运动更占优势。如果气体是由刚性的多〔双〕原子分子构成的，那么分子的热运动除了分子的平动外，还有分子的转动。转动也有相应的能量。由于分子间频繁的碰撞，分子间的平动能量和转动能量是不断相互转化的。实验证明：理想气体到达平衡态时，其中的平动能量与转动能量是按自由度分配的。从而就得到如下的能量按自由度均分定理。2、能量按自由度均分定理——在温度为的平衡状态下，物质〔气体、液体或固体〕分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于。如果某种气体的分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，那么分子的平均平动动能、平均转动动能和平均振动动能就分别为，和，而分子的平均总动能即为。由振动学可知，谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能是相等的。所以对于每一个振动自由度，分子除了具有的平均动能，还具有的平均势能。那么分子的平均总能量即为：令，单原子分子，t=3，r=s=0，所以双原子分子，t=3，r=2，s=1，所以如果不考虑分子内部的振动自由度，那么气体分子的平均动能为：几种气体分子〔刚性〕的平均动能为：单原子分子：双原子分子：多原子分子：能量均分定理适用于到达平衡态的气体、液体、固体和其它由大量运动粒子组成的系统。对大量粒子组成的系统来说，动能之所以会按自由度均分是依靠分子频繁的无规碰撞来实现的。在碰撞过程中，一个分子的动能可以传递给另一个分子，一种形式的动能可以转化另一种形式的动能，而且动能还可以从一个自由度转移到另一个自由度。但只要气体到达了平衡态，那么任意一个自由度上的平均动能就应该相等。

三、理想气体的内能1、内能的定义从微观结构上看，系统的内能应是如下能量之和：①分子的无规热运动动能；②分子间互作用势能；③分子(或原子)内电子的能量；④原子核内部能量。分子动理论主要研究其中的①、②两项。气体的内能：通常包括所有分子的平动动能、转动动能、振动动能及振动势能。由于分子间存在着相互作用的保守力，所以还具有分子之间的势能，所有分子的各种形式的动能和势能的总和。不包括系统作宏观整体运动的机械能。2、理想气体处平衡态时的内能理想气体平衡态的内能：所有分子的各种形式动能和分子内原子间振动势能的总和。那么质量为m的理想气体的内能：1mol理想气体的内能：单原子分子气体：双原子分子气体：刚性分子的理想气体〔〕，内能是：单原子分子气体：双原子分子气体：这说明，对于1mol的理想气体的内能只决定于分子的自由度和气体的温度。也就是说理想气体平衡态的内能是温度的单值函数，由系统的状态参量就可以确定它的内能。系统内能是一个态函数，只要状态确定了，那么相应的内能也就确定了。如果状态发生变化，那么系统的内能也将发生变化。对于理想气体系统来说，内能的变化：[例1]试指出以下各式所表示的物理意义：——分子在温度T时每个自由度上的平均动能——分子在温度T时平均平动动能——分子在温度T时的平均总能量——温度T时，1mol气体的每个自由度上的总动能——温度T时，mol气体的总平动动能——温度T时，mol理想气体的内能[例2]如果氢和氦的温度相同，摩尔数也相同，那么这两种气体的〔1〕分子的平均动能是否相同？，不同〔2〕分子的平均平动动能是否相同？相同〔3〕内能是否相同？不同四、理想气体的热容物体的热容C：温度升高〔或降低〕1ºC物体所吸收〔或放出〕的热量。物体的物质的比热容c：物质的摩尔热容：1mol物质温度升高〔或降低〕1ºC物体所吸收〔或放出〕的热量。摩尔定容热容：，那么单原子分子气体：双原子分子气体：五、经典理论的缺陷看课本P79图3-12，单原子气体，的理论值与实验值很好地符合；对双原子气体，理论值显然与实验值不符。解释：双原子分子在低温时有平动，在常温时开始有转动，在高温时才有振动。那么常温时，振动形式可忽略，双原子分子气体：[例题]课本P8626，27[例1]一容器内贮有理想气体氧气，压强p＝1.00atm，温度t＝27.0℃，体积V＝2.00m3〔1〕氧分子的平均平动动能；〔2〕氧分子的平均转动动能；〔3〕氧气的内能。解：氧分子为双原子分子，自由度＝5，其中，平动自由度＝3，转动自由度＝2。由能量均分定理和理想气体的内能公式，可得〔1〕〔2〕〔3〕[例2]1mol的水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，求分解前后的平均平动动能比和内能比。设分解前后的气体均为刚性理想气体分子。解：由化学方程式2H2O→2H2＋O21mol的水蒸气将分解成1mol的氢气和0.5mol的氧气。H2O为自由度，H2和O2都是的双原子分子。因分解后气体的温度未变，分子的平动自由度＝3也不变，故分子的平均平动动能不变，分解前后分解前，水蒸气的内能分解后，氢气和氧气的总内能故分解前后的内能比[例3]1mol温度为T1氢气与2mol温度为T2氦气混合后的温度为多少？解：利用混合前后内能相等就可以求解此题。不考虑振动自由度的话：氢气的自由度为5，氦气的自由度为3，那么混合前的总内能为：设混合后温度为T，那么混合后的总内能为：混合前后内能相等，那么有：课本P83思考题18，19，20课后作业题：课本P8628

第三章小结一、麦克斯韦速率/速度分布律研究平衡态下气体分子按速率和速度分布的统计规律二、玻耳兹曼分布律研究平衡态下气体分子按能量分布的统计规律三、能量按自由度均分定理研究平衡态下气体分子热运动能量所遵从的统计规律

习题解答1、设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率Vi〔m/s〕1.002.003.004.005.00试求(1)平均速率；〔2〕方均根速率〔3〕最概然速率解：〔1〕平均速率：(m/s)(2)方均根速率(m/s)〔3〕最概然速率2、计算300K时，氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率。解：5、求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数〔在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：，得：因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率v =500m/s，又△v=1m/s代入计算得：△N=1.86×10－3N个或代入上式，得因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率v=500m/s，又，△v=1m/s，代入计算得：个6、设氢气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2解：取分子速率为，，∴或由得，∴其中，，∴7、试就以下几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：速率在区间内速度分量在区间内速度分量同时在区间内解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3由麦克斯韦速率分布律：解法一：由麦克斯韦速度分布律的速度分量函数：解法二：由误差函数得，假设题目改为速度分量在区间内，两种解法的数据误差较大解法一：解法二：〔3〕由麦克斯韦速度分布律：10、一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg求容器内水银蒸汽分子的平均速率。每小时有多少克水银从小孔逸出？解：〔1〕〔2〕逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：其中是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，是小孔面积，t=3600s，故，代入数据得：N=4.05×1019〔个〕∴12、有N个粒子，其速率分布函数为作速率分布曲线.由N和v0求常数C.求粒子的平均速率.解：〔1〕得速率分布曲线如图示〔2〕∵∴即〔3〕13、N个假想的气体分子，其速率分布如图3-16所示〔当v＞2v0时，粒子数为零〕.〔1〕由N和v0求a.〔2〕求速率在1.5v0到2.0v0之间的分子数。求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：f〔v〕f〔v〕∵∴速率在1.5v0到2.0v0之间的分子数(3)21、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为27ºC；起飞后，压力计指示为0.80atm，温度仍为27ºC，试计算飞机距地面的高度。解：根据等温气压公式：有其中，，，M=28.926、温度为27ºC时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？解：氧气为双原子气体，在T=300K下有3个平动自由度，2个转动自由度。由能量均分定理得：27、在室温300K下，1mol氢和1mol氮的内能各是多少？1g氢和1g氮的内能各是多少？解：1mol双原子分子气体自由度在室温下t=3,r=2,s=0

1g氢和1g氮的内能各是：

28、求常温下质量为m1=3.00g的水蒸气与m2=3.00g的氢气的混合气体的定容热容。解：设、分别为水蒸气和氢气的定容比热，、分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容。在常温下可忽略振动自由度，那么有：,,30、某种气体的分子由四个原子组成，它们分别处在正四面体的四个顶点：〔1〕求这种分子的平动、转动和振动自由度数。〔2〕根据能均分定理求这种气体的摩尔定容热容。

解：〔1〕因n个原子组成的分子最多有3n个自由度。其中3个平动自由度，3个转动自由度，3n-1个是振动自由度。这里n=4，故有12个自由度。其中3个平动、3个转动自由度，6个振动自由度。(2)摩尔定容热容：对刚性分子：第四章气体内的输运过程◆本章学习目标1、理解碰撞频率及平均自由程，能用无引力作用刚球模型推导碰撞频率及平均自由程的公式。2、明确气体内部不均匀是产生输运的主要原因，知道粘滞现象、扩散现象和热传导现象的宏观规律。3、理解粘滞现象的微观动力学过程，推导粘滞系数，知道扩散系数、粘滞系数、热传导系数及其它们之间的联系。4、知道非平衡态研究的概况。◆本章教学内容1、气体分子的平均自由程2、输运过程的宏观规律3、输运过程的微观规律◆本章重点三种输运现象的宏观规律和相应的微观物理图象解释。◆本章教学学时4学时引言：系统各局部的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程。——输运过程输运过程：由非平衡态趋向平衡态的变化过程。气体各处密度不均匀时发生的扩散过程典型的三种过程：温度不均匀时发生的热传导过程各层流速不同时发生的黏性现象研究输运过程时必须考虑到分子间相互作用对运动情况的影响，即分子间的碰撞机制。把分子看作刚球，把分子间的碰撞机制简化为刚球是弹性碰撞。

§1.气体分子的平均自由程分子的平均自由程和碰撞频率矛盾：气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。由图4-1可看出气体的扩散、热传导等过程进行的快慢都取决于分子间相互碰撞的频繁程度。分子间的碰撞实质上是在分子力作用下分子相互间的散射过程。简化模型1〕分子看作具有一定体积的无引力的刚性小球；2〕分子有效直径为d〔两个分子质心间最小距离的平均值〕；3〕分子间的相互作用过程看作刚球的弹性碰撞；4〕其它分子皆静止,某一分子以平均速率相对其他分子运动。自由程：分子在相继两次碰撞之间能通过的自由路程。〔具有偶然性〕平均自由程λ：分子在连续两次碰撞之间所通过的自由路程的平均值。碰撞频率Z：每个分子平均在单位时间内与其他分子相碰的次数。显然，在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁，Z就越大，而λ就越小。平均自由程：确定Z的过程：设想跟踪一个分子A，以平均相对速率运动，可认为其他分子都静止不动；利用麦克斯韦速度分布率可证明：在分子A的运动过程中，只有中心与A的中心之间相距小于或等于分子有效直径的那些分子才可能与A相碰；以A的中心的运动轨迹为轴线，以分子的有效直径d为半径作一个曲折的圆柱体，但凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰；圆柱体的截面积——分子的碰撞截面；在时间t内，A所走过的路程为，相应的圆柱体的体积为；以n表示其他单位体积内的分子数，那么在此圆柱体内的总分子数，即A与其他分子的碰撞次数为；碰撞频率为：那么平均自由程：说明：平均自由程与分子有效直径d的平方及单位体积内的分子数n成反比，而与平均速率无关。因为，那么说明：T一定时，；p一定时，课本P89[例题1]：计算空气分子的标准状态下的平均自由程和碰撞频率。例：试估计以下两种情况下空气分子的平均自由程:〔1〕273K、时；〔2〕273K、时。〔空气分子有效直径：〕解：分子按自由程的分布研究自由程介于任一给定长度区间内分子有多少，即研究分子按自由程的分布。设想在某一时刻考虑一组分子，共N0个。它们在以后的运动中将与组外的其他分子相碰，每发生一次碰撞，这组的分子就减少一个。设这组分子通过路程x还剩下N个，而在下一段路