量子力学基础

量子力学基础

量子力学是描述微观粒子运动规律的学科。它是现代物理学的理论支柱之一，被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。

本章主要介绍量子力学的基本概念及原理，并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学处理问题的一般方法。第2页,共54页，2024年2月25日，星期天第26章量子力学基础§26.1量子力学的实验基础§26.2不确定关系§26.3波函数§26.4薛定谔方程§26.5力学量和算符§26.6量子力学的基本原理（自学）作业第3页,共54页，2024年2月25日，星期天

三了解波函数及其统计解释.了解一维定态的薛定谔方程，掌握量子力学中用薛定谔方程处理一维无限深势阱等微观物理问题的方法.

一了解德布罗意假设及电子衍射实验.了解实物粒子的波粒二象性.理解描述物质波动性的物理量（波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、能量）之间的关系.二了解坐标和动量、时间和能量的不确定关系.教学基本要求第4页,共54页，2024年2月25日，星期天第一节

§26.1量子力学的实验基础第5页,共54页，2024年2月25日，星期天这些启示了德布罗意，提出了一个很发人深省的问题。他认为：“整个世纪以来，在光学中比起波的研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话，那么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误，把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？”于是，在1924年他提出了一个大胆的假设：不仅辐射具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。新思想的形成背景普朗克、爱因斯坦等人的能量子和光量子理论取得的成功，实际上反映了光具有波粒二向性．波尔纯粹用粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展，但又遇到了困难．一光的波粒二象性引起的思考第6页,共54页，2024年2月25日，星期天德布罗意德布罗意与物质波

1923年他提出电子既具有粒子性又具有波动性。1924年正式发表一切物质都具有波粒二象性的论述。并建议用电子在晶体上做衍射实验来验证。1927年被实验证实。他的论述被爱因斯坦誉为“揭开了巨大面罩的一角”。

德布罗意为此获得1929年诺贝尔物理学奖。德布罗意PrinceLouisVictordeBroglie(1892~1987)德布罗意第7页,共54页，2024年2月25日，星期天德布罗意方程二物质波德布罗意方程Epnl德布罗意假设微观粒子与光子一样,既具有粒子性,也具有波动性,它们都是波粒二象性粒子,称为波粒子,波粒子的运动既可用粒子性特征的动量和能量来描述,又可用波动性特征的频率和波长来描述.hEnplh物质的波粒二象关系为h是普朗克常量p的方向沿波动传播的方向与物质粒子联系的波称为德布罗意波或物质波与物质波粒二象性联系的方程称为德布罗意方程或德布罗意关系式第8页,共54页，2024年2月25日，星期天德布罗意波长三自由粒子的德布罗意波长自由粒子静止质量为以速度，在空间作m0v匀速直线运动,不受任何外界作用的粒子。低速自由粒子的德布罗意波长vc可不考虑相对论效应pm0v则lhpm0vh2m0EKh则应考虑相对论效应v速度很高,甚至接近光速,pm0vgmvcv2((1m0vlhphcv2((1m0v高速自由粒子的德布罗意波长2m0EKh（1+）EK2m0C2第9页,共54页，2024年2月25日，星期天例电子的电量大小e1.61019C电子的静止质量m010319.1kgh6.631034Js普朗克常量解法提要题设为低速粒子,可不考虑相对论效应Ue电子枪内电场力做功为电子获得动能Ek离开电子枪成为自由粒子Ekvm0212动能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由动能定理EkUe得l2m0hUel求已知例电子U加速电压U设加速电压不太高,电子受加速电压作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.电子可看作低速自由粒子.该电子的德布罗意波长伏特第10页,共54页，2024年2月25日，星期天续上l求已知例电子U加速电压U设加速电压不太高,电子受加速电压作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.电子可看作低速自由粒子.该电子的德布罗意波长电子的电量大小e1.61019C电子的静止质量m010319.1kgh6.631034Js普朗克常量解法提要题设为低速粒子,可不考虑相对论效应Ue电子枪内电场力做功为电子获得动能Ek离开电子枪成为自由粒子Ekvm0212动能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由动能定理EkUe得l2m0hUe得l2m0hUe伏特1.6101910319.16.6310342UmU1.2251091.225Unm进一步的计算表明(略),当Ek20000eV或时若不进行相对论修正,则会导致计算波长的误差超过1U20000V讨论:l2Ekm0h或l1.225Unm可得lEkU((((((nmeVV10100100010000101001000100000.390.120.0390.012根据第11页,共54页，2024年2月25日，星期天例某金属产生光电效应的红限频率为,当用频率为的单色光照射该金属时,从金属中逸出的光电子(质量为)的德布罗意波长为men0nn0光电效应中的光电子，可看作低速粒子光电效应方程v2h((nn0menh221mev+A其中n0hAmevh2((nn0mehlph例第12页,共54页，2024年2月25日，星期天例由kE2122p21vm0m0pkEUe及得m20Ue已知经加速电势差后,一个带有单位电荷的粒子的德布罗意波长为则这个粒子的质量为A0.02206V,它是什么粒子.,不需作相对论修正,m0kgplhm20Ueh则解得m0l2h22eU10346.63))220.02)1010)22061.6101910271.67kg这是质子质子的电量e1.61019C质子的质量mp10271.67kg例第13页,共54页，2024年2月25日，星期天例例德布罗意波概念用导出玻尔的角动量量子化条件rOl解法提要r

电子绕核运动的轨道半径为l电子的德布罗意波的波长为设若满足2prnl1()n2,,...则形成驻波，电子在相应的定态轨道上运动而不辐射能量。lmvh将德布罗意公式代入得玻尔的角动量量子化条件2prnhLmv1()n2,,...第14页,共54页，2024年2月25日，星期天戴-革实验30500q60相对强度90q入射电子束衍射电子束镍单晶探测器U54V加速电压由物质波理论得phh2m0l理Ue该运动电子的波长541.2250.167nm由电子衍射实验数据处理得acqsinDkl实相长干涉条件1k时,得l实qsinD0.215sin500.165nm符合得相当好DDqcab50一级主极大方向0.215nm四德布罗意波的实验证明、戴维逊-革末电子衍射实验（1927年）第15页,共54页，2024年2月25日，星期天汤姆孙实验1927年，G.P.汤姆孙等令一电子束通过薄铝箔，结果发现，同X射线一样，也能得到清晰的电子衍射图样。射线衍射X电子衍射第16页,共54页，2024年2月25日，星期天电子衍射图片电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射氧化锌晶体对电子的衍射钨晶体薄片对电子的衍射由于电子进入到晶体内部时容易被吸收，人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功地观察到多种晶体的电子衍射图样。第17页,共54页，2024年2月25日，星期天电子及中子衍射图片NaCl晶体的中子衍射UO2晶体的电子衍射

电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒子具有波粒二象性的理论得到了公认。第18页,共54页，2024年2月25日，星期天要点1物质波德布罗意波mv自由粒子波动性nl，波粒二象关系德布罗意方程hEnplh要求熟练写出公式本节要点：粒子性Ep，0平面波第19页,共54页，2024年2月25日，星期天要点2德布罗意波长plh低速粒子lm0vh求已知m0v,l已知或Ek,m0lp2Ekm0UEkeUpm0vlh2Ekm0h2m0eU求高速粒子lhcv2((1m0v2m0EKh（1+）EK2m0C2l第20页,共54页，2024年2月25日，星期天第二节

§26.2不确定关系第21页,共54页，2024年2月25日，星期天海森伯不确定关系不确定关系不确定关系海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖（注：不确定关系又称测不准关系，在上述表达式中的和都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏差。）rxprx位置和动量的不确定关系称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明，同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，位置的不确定量rx该方向动量的不确定量prx同一时刻的关系1927年，德国物理学家海森伯提出rxprxhWernerHeisenberg(1901~1976)海森伯第22页,共54页，2024年2月25日，星期天不确定关系续上电子束j缝宽X衍射图样rxprxp电子通过单缝时发生衍射，概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量粗估其动量的不确定程度prx得rxprxphp即rxprxh考虑到高于一级仍会有电子出现取rxprxh从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。rxprxh通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明rxprx和不可能rxj衍射图样prxp单缝衍射一级暗纹条件ljsinrx德布罗意波长lhpprxsinjp

与的关系。

缝宽可用来粗估电子通过单缝时其位置x的不确定程度。rx

根据右图可粗估

为了减小位置测量的不确定程度，可以减小缝宽，但与此同时，被测电子的动量的不确定量却变大了。rxprxrxprx第23页,共54页，2024年2月25日，星期天归纳不确定关系可推广到三维运动情况:yhrpxrxhrprhrpryzz不确定关系式表明:沿某一方向同时测量粒子的位置坐标和动量时,坐标不确定量与动量不确定量之乘积不得小于普朗克常数h不确定关系式可从电子单缝衍射现象得出,而电子单缝衍射现象是物质波动性的一种表现,因此,不确定关系是物质波动性的一种反映.第24页,共54页，2024年2月25日，星期天例例电子相应速度的不确定值求rvx电子在原子中运动,如果测量在方向的坐标,其不确定值(原子本身大小为,即测量误差xrx10m11的相对值为),10m100.1由hrxrpx解法提要取等号估算hrxrpxrpxmrvx又因1011rvxhmrx10319.16.6310341077.28ms1第25页,共54页，2024年2月25日，星期天例例求xr电子xme10319.1kgv200ms1rv0.0100v子弹xm1021.0kgv200ms1rv0.0100v已知已知求xrhrxrp解法提要pmv由及prvrmm0.0100v2.0104kgms12.61030m2001041021.06.631034rxhrp2.0104位置不确定量小到没有任何实际意义对宏观运动物体不必考虑物质的波动性.prvrmeme0.0100v10319.12001041.81032kgms16.631034rxhrp1.810323.7102m3.7cm可见,物质的波动性对微观粒子意义重大.第26页,共54页，2024年2月25日，星期天例例已知求rxmm0.1电子枪vms11075rv通常电视显象管中的电子速率meme10319.1kg电子质量解法提要hrxrp由prvrmerxhrp有pvmevrmerxh由有10319.11036.631034vrmerxh0.1ms17.28vvr此结果表明,,即电子的波动性,不会对显象管的正常工作造成严重影响.第27页,共54页，2024年2月25日，星期天例j缝宽x电子束pad？Rox1联系单缝衍射中央亮纹宽的计算一级暗纹的角位置asinjl一级暗纹在屏上坐标x1aRllph德布罗意波长得d2x12aRl2aRhp已知在电子束单缝衍射中,入射电子的动量为缝宽为缝屏距为apR求衍射图样中心亮纹宽d(Rda(设Rda~~tanjsinjRx1因有例第28页,共54页，2024年2月25日，星期天例缝宽x电子束paoDxp已知a0.1nm。Dxp则衍射电子横向动量的最小不确定值电子束单缝衍射的缝宽DxphDxha6.631034110106.631024NsDx根据位置和动量的不确定关系rxprxha,例第29页,共54页，2024年2月25日，星期天例沿轴动量的不确定量大小prl2hlrxddpllrrxprxh位置和动量的不确定关系rxprh2llr500021032.51010A。2.5m已知l5000A。波长为lA。r103的光沿x轴正向传播,若光波波长的不确定量为则光子的坐标不确定量xrxm。有lph由phlddpl2lh则光子的动量例第30页,共54页，2024年2月25日，星期天例由rpxpmv有rmvhrpx由rxl已知rx则rpxrxlhh得rvmrpxlhmmpmvmv如果某运动粒子的位置不确定量rx等于该粒子的德布罗意波长l证明其速度的不确定量,rvv其速度例第31页,共54页，2024年2月25日，星期天海森伯不确定关系能量和时间的不确定关系rEtr

h上式称为能量和时间的不确定关系.它表明平均寿命Δt长的能级,它的能量不确定量ΔE小.第32页,共54页，2024年2月25日，星期天第三节

§26.3波函数第33页,共54页，2024年2月25日，星期天经典理论的困难

由于微观粒子具有明显的波动性，导致了不确定关系,同方向的位置和动量不能同时确定,使得我们不能用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态.

既然微观粒子具有明显的波动性，使我们自然地想到,用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢?根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。

第34页,共54页，2024年2月25日，星期天波函数一、波函数下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设vm为、为、的质量速度自由粒子Ep能量一方面可用和来描述它的动量粒子性nl另一方面可用和来描述它的频率波长波动性波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的原则上可得到该微观客体的全部知识。量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，第35页,共54页，2024年2月25日，星期天自由粒子波函数ei,y()xtnp2l(tx)AA,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)A在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程eifcosfisinf应用欧拉公式取实部在量子力学中用复数表达式：phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即应用德布罗意公式eih(tx)pEΨY,()xteiΨnp2l(tx)沿Ｘ方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为rY,()trei(t)pErhΨ沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为第36页,共54页，2024年2月25日，星期天

自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。Y,()tre(t)pErihΨ自由粒子的波函数第37页,共54页，2024年2月25日，星期天概率密度MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了对波函数的统计解释二、波函数的统计解释Y,()trP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr设描述粒子运动状态的波函数为：则空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子P,()tr的概率（概率密度）,()trY与的模的平方成正比。取比例系数为1，即*Y,()trY,()tr是的共轭复数德布罗意波又称概率波第38页,共54页，2024年2月25日，星期天波函数归一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的体积元内rdVxddyzd发现粒子的概率为dVxddyzdP,()trY,()tr2

在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中

粒子出现的概率为1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此条件称为波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：第39页,共54页，2024年2月25日，星期天波函数标准条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合第40页,共54页，2024年2月25日，星期天概率波与经典波德布罗意波（概率波）不同于

经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值

因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。YY

因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则各处的能流密度增大C倍，变为另一种能流密度分布状态。2波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。第41页,共54页，2024年2月25日，星期天算例例设某粒子的波函数为Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求归一化波函数概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1积分得a2A21,A2a得到归一化波函数：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得dPxd0求极大值的x坐标dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外两个解x处题设Y0处P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a11第42页,共54页，2024年2月25日，星期天第四节

§26.4薛定谔方程第43页,共54页，2024年2月25日，星期天薛定谔方程引言一、引言经典力学pFmddtvddtr()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO不考虑物质的波粒二象性经典质点有运动轨道概念根据及初始运动条件，可求出运动状态量子力学Yr(t,(？zXYOYr(t,(针对物质的波粒二象性物质运动没有轨道概念是否存在一个量子力学方程根据某种条件可求出微观粒子的运动状态波函数第44页,共54页，2024年2月25日，星期天薛定谔方程二、薛定谔方程二、薛定谔方程1925年奥地利物理学家薛定谔提出了非相对论性的量子力学基本方程m()trU,iHeethYY薛定谔方程薛定谔方程质量为的粒子，在势能函数为：的势场中运动，当其速度远小于光速时，它的波函数满足：2mh2eex++22yee22zee22()()rU,t+H2mh22s()rU,t+式中称为哈密顿算符。上式也称为含时薛定谔方程它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律。薛定谔EnwinSchrodinger:薛定谔EnwinSchrodinger:（1887-1961）（1887-1961）获1933年诺贝尔物理学奖获1933年诺贝尔物理学奖第45页,共54页，2024年2月25日，星期天定态薛定谔方程三、定态薛定谔方程U()rUY()r,tY()rf()t解释若则可以令：代入原方程E常量ihf()tdtdEf()tf()tCteihE此外，对积分，得HEY()r得定态薛定谔方程Y()rYteihEC将常量归入中，得定态波函数Y()rY()r势场只是空间函数U()rU即若粒子所在的E能量具有确定值iHeethYYHU()r,t+2mh22sY()r,tYHU()r+2mh22sYteihE则粒子的每个状态HE定态薛定谔方程含时薛定谔方程定态波函数Y()rY()rY()riheetf()tHf()tihf()tHtf()tdd得即Y()rY()rY()rY()r第46页,共54页，2024年2月25日，星期天定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。HYEY若已知势能函数，应用定态薛定谔方程()rU可求解出，并得到定态波函数Y()rY()rteihEY(),tr续上Y()r连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。Y()retihEY(),tr定态波函数Y()r中的有时直接称为定态波函数。此外也应满足如下条件条件P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()r2Y()rteihEY(),tr1、概率密度与时间无关２、系统的能量Ｅ具有确定值，与时间无关。所谓“定态”，就是波函数具有形式所描述的状态。它的是：重要特点第47页,共54页，2024年2月25日，星期天一维无限深势阱一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱。0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x

应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。第48页,共54页，2024年2月25日，星期天续求解0LX88U()x2mh22x2Y()xddEY()xU()x0阱内Y()x0故只有：在阱外，粒子出现的概率为零。U()x8阱外m设质量为的微观粒子，处在一维无限深势阱中，0U()x8L(x0)L(x0,x)该势阱的势能函数为阱外阱内HYEY建立定态薛定谔方程H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x一维问题第49页,共54页，2024年2月25日，星期天求定态薛定谔方程的通解2mh22x2Y()xddEY()x阱内：02x2Y()xdd+Y()xE2mh2即：2x2Y()xdd+2k0Y()x得：2kE2mh2令：Y()xsinA()dxk+此微分方程的通解为Ad式中和为待定常数阱外：Y()x0续根据标准条件确定dk待定常量和x0xLY()x在边界和Y()x的取值应与阱外连续。故，边界处的Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0A0d0,得：因：kLpnn1，2，3其中kLpn即