工程力学：课程总结

1工程力学的研究目的：“了解工程系统的性态并为其设计提供合理规则”。

“工程力学”

课程总结2考试大纲（72学时）基础部分：受力图，平面一般力系求解；注意：力的正确标注，二力杆，静不定问题判断，平衡方程的充分必要条件判定，桁架、摩擦等。强度问题部分：拉压计算、静不定问题；剪切挤压面的判定，特别注意双剪的问题；连接件强度计算；扭转强度、刚度计算；弯曲内力图，弯曲应力，弯曲强度、刚度计算；应力状态，简单组合变形计算。注意：1.弄懂课上例题，作业题；认真总结所讲概念；

2.注意内力正负号，内力图，单位制，解题步骤。闭卷稳定性问题部分：简单压杆稳定临界载荷计算。疲劳断裂部分：简单寿命预测与断裂控制计算。3复习建议：1基本概念各章思考题2基本方法总结分析计算习题是否会做？错在哪里？4工程力学杆(拉压)、轴(扭转)、梁(弯曲)的强度与刚度

研究思路和内容变形体静力学几何协调平衡方程物理方程内力应力应变变形刚体静力学研究对象、约束分析受力图、力系的简化平衡方程及其应用材料性能s-e关系物理模型强度指标强度条件强度设计组合变形问题

压杆稳定问题

疲劳断裂问题

5一、刚体静力学三个基本概念：力力偶约束三组平衡方程：一般力系汇交力系平行力系三类基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三种基本能力：力的投影力对点之矩受力图6正确画出受力图的一般步骤为：选取研究对象解除其约束，将研究对象分离出来画出已知外力(力偶),按约束类型画出约束反力是否有二力杆注意作用力与反作用力的关系注意部分与整体受力图中同一约束处反力假设的一致性1.1受力分析只有整体受力图可画在原图上！取分离体画受力图71.2力系的简化与平衡问题

任何力系均可简化（利用平移定理），对于平面力系，简化的最终结果，只有三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。

只有简化后主矢和主矩均为零的力系，才是平衡力系。处于平衡的研究对象，其受力必需满足平衡方程。

无论是否平衡，求合力，求合力偶，都是力系的简化问题。其基本定理是合力投影定理，合力矩定理。（包括分布载荷的合成）

只要物体处于平衡，求约束力，求内力，都是力系的平衡问题。其基本方程是平衡方程。重点8组合法求平面图形的重心。力系的合成或简化问题

xO(m)y(m)22242F1=6kNF2=10kNF3=15kNF4=8kNM=12kN.m4求图示力系的合力。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRxaaaxCWaaW1W2W3129力系的平衡问题

求平衡时之P、Q关系。4560

ABCDF1F2ABCFayxO求夹紧力求约束反力。ABCF

q2aaa45

AOMCFmineaL求Fmin。101.3静定与静不定问题

约束反力数：m；系统中物体数n；

<3n未完全约束

m=3n静定问题

>3n静不定问题静不定次数为：k=m-3n有3n-m种运动的可能，或平衡时须3n-m个限制。由平衡方程可确定全部约束力仅由平衡方程不能求得全部约束力，需考虑变形。60

ABCDF1F28-3

3=-1未完全约束ABCF

q6-3

2=0静定问题aaaDACBGK10-3

3=1一次静不定11求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为：弄清题意，标出已知量画整体受力图列平衡方程，能否求解？选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。检查结果，验算补充选取适当研究对象，画受力图，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶m在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为m。12二、变形体静力学主线：力的平衡;变形几何协调;力与变形之关系。三组方程：力的平衡方程;与材料无关。变形几何协调方程;与材料无关。应力—应变关系；与材料有关。研究内容：内力：应力：应变：变形：用截面法、平衡方程求解。

=FN/A，t=T/WT，

=M/Wz，几何相关e=/E，…，材料相关.Dl=FNl/EA，q=T/GIr,…材料、几何相关研究目的：构件的强度与刚度，控制设计。13求约束反力截取研究对象画受力图，内力按正向假设.列平衡方程求解内力，列内力方程，画内力图。2.1截面法求内力：FN，T，FS，M必须掌握的基本方法内力图封闭

?145kN5kN3kNFN

图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010ABC

在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。xoCABT图FN图（轴力）按右手法确定+向15FS、M图的简捷画法：1）确定控制点。约束力、集中力(偶)作用点，分布载荷起止点。2）计算控制点处FS、M值。3）依据微分关系判定控制点间各段FS、M图形状，连接各段曲线。CADBM／kNmOxFS

/KNxoC、A、D、B201515左边面积+集中载荷力、力偶为正。15105RB=15kNRA=35kN162.2变形体力学分析方法变形体静力学问题研究对象受力图平衡方程求反力？静不定物理方程几何方程静定求内力应力求变形物理求位移几何联立求解反力、内力、应力变形、位移等强度与刚度校核截面设计许用载荷材料相关材料无关172.3应力、变形、强度与刚度：应力拉压杆

=FN/AFNs弯曲梁OMmaxs矩形圆形抗弯截面模量：扭转轴oMT抗扭截面模量：圆形应力的符号或方向由内力的方向或正负判断。18应力、变形、强度与刚度：单位扭转角扭转轴变形s=Ee时Dl=Nl/EA

拉压杆伸长或缩短弯曲梁挠曲线微分方程转角刚度条件Dl=[Dl]

强度条件19拉压强度条件

=FN/A

[

]=

s/n

延性材料

b/n

脆性材料拉、压杆件；被连接件

=FS/A

[

]A

为剪切面面积

剪切强度条件连接件

bs=Fbs/Abs

[

bs]Abs

为计算挤压面积

挤压强度条件连接件、被连接件

=FS/A>

b剪断条件工件、连接件连接件强度：20强度设计的一般方法：1）构件处处都要满足强度条件。危险截面？2）系统中所有构件都要满足强度条件。最薄弱构件？初步设计设计目标平衡方程变形几何条件应力应变关系内力应力强度条件满意？结束YESNO修改设计强度计算材料试验极限应力选取安全系数许用应力21三、应力状态、强度理论、组合变形sxxysxsysytyxtxy平面应力状态，sz

=0。主应力xys1s3s3s1s2=0最大切应力：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü最大拉应力s1最大正应变:e1=[s1-(s2+s3)]/E22强度理论汇总：s

=s

1r1s

理论1s=s-m

(s+s)

1r232e

理论1s=s-s

1r33t

理论maxs={[(s

-s)+(s

-s)+(s

-s)]/2}1r4331222221/2u

理论S破坏屈服

常用

s>s,s<0311

常用相当应力s

[s]

r强度条件的一般形式：工作应力

许用应力脆性破坏[s]=s/nb

塑性屈服[s]=s/nys231.研究方法线弹性小变形叠加法s=M/W;t=T/WT拉/压、弯、扭圆轴弯、扭MxxyzMzoMy拉/压、弯xyzAMyFNMzFN内力FN

；My

；MzT；My；Mz圆轴合成弯矩M应力状态ss强度条件

[s]

[s]

max拉max压拉压同弯扭组合单向sstt平面+FN危险点应力yyzzNWMWMAF++=s][3][4224223stssstss£+=£+=rrt=T/WTWMAFN+=s组合变形：24压杆失稳(屈曲)是除强度外的又一种失效形式。拉杆没有失稳问题。两端铰支：m=1；两端固定

m=0.5

一端固定、一端自由；m=2一端固定、一端铰支；m=0.7欧拉公式:2(ml)2EIFcrp=ml---压杆的相当长度m---相当长度系数m越大，I越小，杆越长，越易失稳。欧拉公式不适用于短杆（强度控制破坏）。四、压杆稳定计算25l=ml/i，

称为杆的柔度或细长比。i2=I/A---截面的惯性半径。由l可将杆分类。注意lp=(p2E/sp)1/2

ls=(a-su)/b压杆由scr的大小也可分类。o

scrAsuscr=suscr=p2E/l2中柔度杆spBCscr=a-bl大柔度杆

pD小柔度杆

s强度稳定稳定临界应力总图scr=p2E/l2

l

lpscr=a-bl

ls

l

lpscr=su

l

ls26已知材料求l

、lps临界应力计算方法：l

=a-bssuppEspl=已知l、i

l=ml/i

已知F、A

scr=F/A

由临界应力总图判定压杆类型，计算临界应力。已知F、l，假定压杆类型，求A校核压杆类型假使的正确性压杆的稳定性设计计算：稳定性校核、杆的几何尺寸设计确定许用载荷、选材料等等。稳定性条件：][FnFFstcr=£stcrnFFn³=27疲劳的特点是：扰动应力作用；破坏起源于高应力局部；有裂纹萌生--扩展--断裂三阶段；是一个发展过程。r=-1的S-N曲线是基本S-N曲线。

疲劳性能可用S-N曲线描述：Sm

N=CSa不变时，r或Sm增大，疲劳寿命下降。无限寿命设计：S

Sf

；Sf—疲劳持久极限五、疲劳与断裂28恒幅疲劳应力比r应力幅Sa已知材料的基本S-N曲线r=-1YesSa<S-1Sm=(1+r)/(1-r)SaNoNf

YesNo求寿命Nf=C/Sa由Goodman直线：

(Sa/S-1)+(Sm/Su)=1求Sa(r=-1)疲劳裂纹萌生寿命分析：随机载荷计数法Miner

理论DnNii==å1变幅载荷29裂纹在静强度足够的情况下可低应力引起断裂。工程中最常见的、危害最大的是I(张开)型裂纹。裂纹尺寸和形状作用应力材料断裂韧性K1C断裂三要素断裂判据：KfaWa=(,)Lsp£K1C作用抗力断裂控制参量：K—应力强度因子，（MPa

）m中心裂纹宽板，f=1；单边裂纹宽板，f=1.12。30da/dN-DK曲线下限有

Kth。裂纹不扩展条件：

K

Kth疲劳裂纹扩展速率的主要控制参量是

K。裂纹扩展寿命估算基本公式：

Paris公式：da/dN=C(

K)m

临界裂纹尺寸：ac=(1/

)(Kc/f

max)2控制a0，可大大提高疲劳裂纹扩展寿命。材料韧性KC

，ac，有利于检出裂纹。例题[例1]画出下列各构件的受力图PP/2P/2连销CP2P2YCXCTDNDEENEDCBEAYAXABYBXBDYDXDDND例2受力分析EBDCHIPAGNDTYAXAXDNDYDN

ED例3钢结构拱架由AC和BC用铰链C连接，吊车梁支撑在钢结构的突出部分D、E上。设两刚架各重为P=60KN；吊车梁重为P1=20KN，其作用线通过点C；载荷为P2=10KN；风力F=10KN。D、E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束反力。静定性判断：8个未知数，8个独立的平衡方程解题思路由系统的整体平衡可求出铰A、B的竖直方向的约束反力，以及水平约束反力之间的关系。由吊车梁DE的平衡可解出E点的约束反力。由刚架右半部分的平衡可解出铰B的水平约束反力，进而得到铰A的水平约束反力。取整体为研究对象，受力图如图示。取吊车梁为研究对象，受力图如图示。取右边钢架为研究对象，受力图如图示。将XB代入式*，得：解例4如图所示结构由CD、DE和AEG

三部分组成，载荷及尺寸如图。求A、B和C处的约束力。1.静定性分析该系统有9个未知数，9个独立的平衡方程。2.解题思路仅由整体系统的平衡解不出任何约束力。由CDE的平衡解出B铰的约束力。最后由整体平衡解出铰A的约束反力。CD杆受力最简单，应先由其平衡解出C绞的约束力。解取CD杆为研究对象，受力图如图示。取CDBE杆为研究对象，受力图如图示。解最后取整体系统为研究对象，受力图如图示。41例5：三杆结构如图,求杆CD之应力、应变与变形。解：画整体受力图，列平衡方程有：

mA(F)=2aFB+FDa-2qa2=0CBqFACyFDFBFACx=0取BC、CD二杆研究，有：

mC(F)=FBa-qa2/2=0解得：FB=qa/2；FD=qa杆CD之应力与变形为：

CD=FD/ACD；eCD=CD/ECD

DlCD=FDlCD/ECDACD

aaDACBqFDFBFAyFAx=0例6图示为一横梁桁架结构，由横梁AC、BC及五根支撑杆组成，所受载荷及尺寸如图。求1、2、3杆的内力。静定性判断：10个未知数，10个独立的方程。解题思路题目只要求杆件1、2和3的内力，可考虑铰节点D的平衡，但要先求出其中一个力的大小。整体系统的外约束力未知量有三个，先选择整体系统为研究对象，可求出B点的约束力。拆除C铰，并将杆件3拆开，考虑右半部分的平衡，可求出杆件3的内力。最后考虑铰节点D的平衡，可求出杆件1和2的内力。考虑整体平衡，受力图如图示。拆除C铰并截断杆3，考虑右半部分的平衡。受力图如图示。考虑铰节点D的平衡。受力图如图示。例7

如图所示的结构由AC、CD、DE和BE四部分组成，载荷及尺寸如图。求A、B、C处的约束力及1、2、3杆的内力。解无法由整体系统的平衡解出全部外约束力。如将系统从D点拆开，则右半部分含有三个未知数，可全部解出这些未知数。考虑整体平衡，可解出A点的三个约束反力。考虑AC的平衡，可解出杆1的内力。考虑铰节点F的平衡，可解出杆2和3的内力。将系统从D点拆开，考虑右半部分的平衡。受力图如图示。考虑整体平衡，受力图如图示。考虑AC的平衡，受力图如图示。考虑铰节点F的平衡，受力图如图示。49例8：杆BG、CK长l,面积A；求CK之应力与变形。aaaDACBGKF解：整体平衡方程有：

mA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0变形几何协调方程为：

DlCK=2DlBG；应力应变关系为

=Ee，有：

DlCK=F2l/EA；

DlBG

=F1l/EA；联立解得：F2=2F1；

F1=3F/5，

F2=6F/5，应力为：

CK=6F/5A；变形为：DlCK=6Fl/5EA(缩短)Fax=0FAyF1F2极限载荷:杆BG、CK屈服

F1=ssA;F2=ssA

有平衡方程：

SmA=F1a+2F2a-3Fa=0

得到

FU=ssA例9梯子AB靠在墙上，其重为P=200N，如图所示。梯长为l，并与水平面交角

=60°。已知接触面间的摩擦系数均为0.25。今有一重650N的人沿梯上爬，问人所能达到的最高点C到A

点的距离s应为多少？解QP补充方程：s=0.456lpARN2F2N1QBN3

例10.尖劈顶重装置，求顶住重物及使重物不向上滑动所需之Q。解：下滑：受力分析pQAB2.B块为研究对象，受力如图。补充方程可解得：此即不下滑的最小Qmin。1.

A块为研究对象，受力如图。同理上滑：受力分析pQABpARN2F2N1QBN3例11.空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m

MC=100N·m，材料G=80GPa，试求（1）轴内的最大切应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:AB段：N-mm-MPa单位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m2)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7MPa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m3)计算扭转角

ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=PPjN-mm-MPa单位制56综合问题例12矩形截面木梁如图，b=12cm，h=30cm[s]木=10MPa；钢杆CD截面积A=2cm，[s]钢=160MPa，

a=1m，求Fmax。aaaDACBFFDFAxFAy解：整体平衡方程有：SmA(F)=FDsin45

a-2Fa=0

FD=2

F

SFx=FAx-FDcos45

=0SFy=FAy+FDsin45-F=0

FAx=2F；FAy=-F2杆CD受拉：由强度条件有

=FD/A=2F/A[]钢

FA[]钢/2=200160/2=11.3kN22257杆CD受拉：

F11.3kN综合问题例12矩形截面木梁如图，b=12cm，h=30cm[s]木=10MPa；a=1m，求Fmax。梁AB受压、弯：画内力图：

aaaDACBF2FFFD=2F2FN=-2F

；Mmax=Fa2FFNFFSFaM强度条件：最大压应力[s]

=2F/bh+6Fa/bh2[s]木Fmax=min{11.3，5.45}=5.45kN58综合问题若A支座如图，设计A处销钉直径d？aaaDACBF2FFFD=2F2A处的约束力R：

R=(F2+4F2)1/2=F

5剪切面有二个，沿剪切面切开，各面剪力为：

FS=F/25d由剪切强度条件有：

t=FS/A=2F/pd2[t]

5

d22

F/p[t]

d…5RAFSFS59例13:图中AK=BK=L，求各杆内力。变形协调条件ABCDK45

FLL12345

L1

L3

LAB

L1=L3=LABcos45解：受力分析A4545132F2F1=F3F2+2F1cos45

=0F3F1平衡方程：ABKFFBF2F2+F

+FN图F2F1L/EAcos45=(2F2+F)Lcos45/EAF1=F2+F/2F1-F/2+2F1cos45=0F1=0.208F

LAB=LAK+LBKFB=F2+FF2=-0.294FFB=0.706F3mCFB3.5m2mAD例14

图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，

P=200MPa，

s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截[p]。解：由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴

向压力的关系为：ACNFBxAyA3m2m两端铰支

=1

p∴可用欧拉公式由稳定条件63例15图中AC、BC均为低碳钢圆截面杆，载荷F=120kN，若许用应力[

]=180MPa，许用稳定安全系数nst=4，试设计二杆的直径。

。解：1）C点受力如图，由静力平衡得，

FAC=90kN，FBC=150kＮ

2)AC杆为拉杆，由强度条件得，

F600ACB800CF3）BC杆为压杆，查表得，

a=310，b=1.14，lp=100，λs=60，E=200GPa

假设为大柔度杆，由欧拉公式设计杆直径，有：150000)10001()64/(10200)(243222=

==dlEIFcrppmp64例15图中AC、BC均为低碳钢圆截面杆，载荷F=120kN，若许用应力[

]=180MPa，许用稳定安全系数nst=4，试设计二杆的直径。

λs

λ

lp，符合中柔度杆

，假设成立。

假设为中柔度杆，有：

解得：d=49.9mm计算杆的柔度，检验按欧拉公式设计的正确性。

不符合大柔度杆10080.24/49.910001

=

===pillmla-bλ

，=AFcrd4==ilml

解得：d=57.5mm,λ=69.5

综上：取AC杆直径d=28mm,BC杆直径d=58mm。

过一点不同方向面上应力的状况，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明应力状态一点的应力状态的表示方法单元体法：围绕一点取微小的正六面体

材料单元体x面、y面、z面xyzdxdydz（Element）微元各边边长,,dxdydz

材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。

材料单元体上任意方向面上的应力均匀分布。xyzdxdydz(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空间）应力状态

考虑到切应力互等定理，在九个应力分量中，只有六个独立的应力分量。切应力分量。正应力分量(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）应力状态xyxyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例

A横截面APP

例一单向应力状态ABB横截面A横截面例二平面应力状态－－纯剪切应力状态

由平衡即可确定任意方向面上的正应力和切应力。Fl/2l/2S平面例三5432154321123S平面τ3τ3FlaS例四xzy4321S平面134xyzFyMzMx4321

平面应力状态分析

任意方向面上应力的确定

极值应力、主平面、主应力正负号规则拉为正压为负正应力角度由x轴正向逆时针转截面外法线方向为正；反之为负。yxq

任意方向面上应力的确定切应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。τxyτyxτx'y'++-例16.图示臂梁上A点的应力状态如图所示。1.求单元体上指定截面上的应力；2.求A点主平面和主应力（用主单元体表示）。A30

yx

=70MPa

=50MPa解：1.求指定截面应力30

yx

=70MPa

=50MPa60

建立坐标系如图示2.求主应力96MPa70MPa50MPa26MPa27.5

62.5

所以，对应最小主应力方向。3.主方向96MPa70MPa50MPa26MPa27.5

62.5

小对小或=1.主应力2.主方向

由单元体变形，可知α0＝π／4对应于σ1所作用的截面。40MPa20MPa20MPa45讨论1讨论2考察剪应力平面讨论312002p2pAB600xy如图选取坐标系，则有：例17如图所示构架，已知材料许用应力为[

]=160MPa。试为AB梁设计一工字形截面。3m1m30

CBP=45kNAXAPYA30

NBC

45kN·mMz+104kNN解：

AB梁受力分析。由AB梁的平衡方程易求得NBC=120kN,XA=104kN,YA=15kN，

1.作内力图危险截面：B截面左侧危险点：B截面最上缘由强度条件：由于型钢的Wz,A无一定的函数关系，一