随机变量及分布

随机变量及分布

每次试验只有两种可能的结局,分别称作“成功”和“失败”;(2)各次试验成功的概率相同;(3)各次试验相互独立.第2页,共196页，2024年2月25日，星期天

(伯努利试验)设伯努利试验成功的概率为p.那么n次伯努利试验,恰好有k(0≤k≤n)次成功的概率.该式有时称作伯努利公式.第3页,共196页，2024年2月25日，星期天例设某人连续投篮3次,他至少投中一次的概率为0.992,求该人投4次至少有1次未中的概率.第4页,共196页，2024年2月25日，星期天例一本有50页的杂志中共有50个错误,每个错误等可能的出现在每一页上,求指定的某一页上至少有2个错误的概率.第5页,共196页，2024年2月25日，星期天解以vn表示n次伯努利试验成功的次数,需要求事件{vn=k}(k=0,1,…,n)的概率.引进事件:Am={第m次试验成功}(m=1,2,…,n);由于试验的独立性,可见事件A1,A2,…,An相互独立.q=1－p是试验失败的概率.若以A表示成功,则对任意事件列B1,B2,…,Bn,其中Bi=A或(i=1,2,…,n),有第6页,共196页，2024年2月25日，星期天其中k和n－k分别是B1,B2,…,Bn中A和出现的次数.事件{vn=k}是一切含k个A和n－k个的形如(B1B2…Bn)的事件之和:例如,就是其中的一种情形,事件{vn=k}是的形如(B1B2…Bn)的不相容事件的和,因而(1.26)该式有时称作伯努利公式.第7页,共196页，2024年2月25日，星期天一、随机变量的概率和例二、随机变量的定义和与其有关的事件三、随机变量的类型和分布函数第一节随机变量及其概率分布第二章随机变量及分布第8页,共196页，2024年2月25日，星期天

动机：将随机试验的结果数量化

例1抛一枚硬币，观察正反面的出现情况，，如果我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：一随机变量则，我们就可以用表示出现的是正面，而用表示出现的是反面。第9页,共196页，2024年2月25日，星期天就是一个随机变量。

定义

设随机试验的样本空间为如果对于每一个都有一个实数与其对应，这样就得到一个定义在上的一个单值实函数我们称该函数为随机变量。一般的，随机变量用英文字母表后面的大写字母或者希腊字母（可以带下标）表示。如等，都可以表示随机变量。第10页,共196页，2024年2月25日，星期天

引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的取值来表示.

随机变量的取值随试验的结果而定,因此试验之前,我们只知道它可能取值的范围,而不能预知它取什么值,由于试验的各个结果的出现有一定的概率,因此随机变量取各个值也有一定的概率.如果我们用表示某台电视机的寿命,并且规定寿命超过10000小时者为合格品,则该电视机为合格品这一事件就可以表示为如果用表示某位同学大学英语四级考试的成绩,则表示“该同学通过考试”这一事件，而表示“该同学成绩优秀”这一事件.第11页,共196页，2024年2月25日，星期天只有有限个或无穷可列个可能值的随机变量称为离散型随机变量;连续型随机变量是连续取值的随机变量.例1考虑随机试验:接连进行两次射击.以ω=(i,j)表示基本事件,其中i,j=0或1,其中“0”表示脱靶,“1”表示命中.那么,两次射击命中的次数X是基本事件ω的函数,故是一随机变量,有0,1,2三个可能值(见表).第12页,共196页，2024年2月25日，星期天表随机变量─基本事件的函数ωX=X(ω)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0112第13页,共196页，2024年2月25日，星期天例对于任何事件A,设若A出现,若出现.由于A是随机变量,因此是随机变量.第14页,共196页，2024年2月25日，星期天随机变量随机变量的分类：从两方面研究随机变量：研究随机变量的取值规律研究随机变量取值的概率规律第15页,共196页，2024年2月25日，星期天二离散型随机变量及其分布律如果随机变量只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量为离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？设随机变量的可能取值为，且（1）则称（1）式为的概率分布或分布律.第16页,共196页，2024年2月25日，星期天分布律（1）也常常写成如下的表格形式.显然有：或者也可以表示为第17页,共196页，2024年2月25日，星期天

例1掷一颗匀称的骰子，以表示出现的点数，求的分布律.解的可能取值为而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6，故其分布律为第18页,共196页，2024年2月25日，星期天

例２设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏灯,每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各盏信号灯的工作是相互独立的），求其分布律。

解

以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为将代入，得第19页,共196页，2024年2月25日，星期天若的分布律为或者01

如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数服从分布。第20页,共196页，2024年2月25日，星期天

例3设袋中有标号为1,2,3,4的球若干个,从中任取一个,(1)假设取到各号球的概率与球上的号码成正比,求取到球上号码X的概率分布;(2)假设取到各号球的概率与球上的号码成反比,求取到球上号码Y的概率分布并计算.

解第21页,共196页，2024年2月25日，星期天

解第22页,共196页，2024年2月25日，星期天三、随机变量的分布函数随机变量的概率分布,指概率在随机变量值域内的分布,是随机变量最基本和最重要的特征.对于任何随机变量X,函数F(x)=P{X≤x}(－∞<x<+∞)称作X的分布函数.第23页,共196页，2024年2月25日，星期天1.分布函数的基本性质(1)0≤F(x)≤1,是单调不减函数;(2)F(x)是右连续函数:对于任意－∞<x<+∞,(3)F(－∞)=0,F(+∞)=1,其中第24页,共196页，2024年2月25日，星期天(4)离散型随机变量X的分布函数为其中Σ表示对于不大于x的一切可能值xk求和.(5)根据分布函数可以求随机变量有关事件的概率.例如,第25页,共196页，2024年2月25日，星期天例1设随机变量的分布律为-123求的分布函数,并求解

由概率的可加性,得所求的分布函数为第26页,共196页，2024年2月25日，星期天即又第27页,共196页，2024年2月25日，星期天xy-1231

F(x)的图形如图所示为一阶梯形曲线,它在可能的取值处-1,2,3处发生跳跃，跳跃值为取该值的概率.第28页,共196页，2024年2月25日，星期天例2假设10件产品中有8件优质品,2件劣质品,从中一件一件地抽验产品直到抽到优质品为止.试求最后抽验产品件数X的分布函数.解先求X的概率分布.易见,X有1,2,3等3个可能值;由于先随机地抽取一件,10件产品都是等可能的,可见第29页,共196页，2024年2月25日，星期天于是,X的分布函数为若x<1;若1≤x<2;若2≤x<3;若x≥3.第30页,共196页，2024年2月25日，星期天四连续型随机变量的概率密度概率密度及其性质定义如果随机变量X的分布函数可表示成其中为非负的函数,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.记作第31页,共196页，2024年2月25日，星期天概率密度具有如下两条基本性质:另外,连续型随机变量还具有如下性质:2)在的连续点处,有1)第32页,共196页，2024年2月25日，星期天4)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任意常数C,有5)若是连续型随机变量,则3)连续型随机变量的分布函数是连续函数.因为第33页,共196页，2024年2月25日，星期天例1已知随机变量的的概率密度为且试确定常数并求解

解方程组得第34页,共196页，2024年2月25日，星期天从而第35页,共196页，2024年2月25日，星期天例2已知随机变量的的概率密度为求的分布函数.解

第36页,共196页，2024年2月25日，星期天例3已知随机变量的的概率密度为求的分布函数.解

第37页,共196页，2024年2月25日，星期天解

例4已知随机变量的的分布函数为求(1)a,b的值;(2)的概率密度;(3)频率.第38页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5设随机变量X和Y具有相同的分布函数，X的概率密度为已知事件与相互独立，且求常数a.解由题设知第39页,共196页，2024年2月25日，星期天解得于是又由题设由此可知应有第40页,共196页，2024年2月25日，星期天一、常见离散型概率分布二、离散型概率分布的例题第二节常用的离散型分布第41页,共196页，2024年2月25日，星期天（一）0-1分布若的分布律为或者01

则称随机变量服从参数为p的0-1分布.如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数服从参数为p的0-1分布。第42页,共196页，2024年2月25日，星期天（二）二项分布(BinomialDistribution)若随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为n,p的二项分布，

二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中成功的概率均为p，则在n重伯努利试验中成功的次数服从参数为n,p的二项分布。注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。记为或第43页,共196页，2024年2月25日，星期天定理:如果随机变量X服从二项分布B(n,p),则随机变量Y=n-X服从二项分布B(n,q),其中q=1-p。显然有：第44页,共196页，2024年2月25日，星期天

例1

掷3颗色子,求”恰好出现1次6点”的概率与”至少出现1次6点”的概率。

解所以有第45页,共196页，2024年2月25日，星期天

例2

进行3次独立重复试验至少成功1次的概率为99.9%,若将试验独立重复进行4次,求失败与成功次数相等的概率。

解所以有第46页,共196页，2024年2月25日，星期天

例3某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。

解将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为，则所以有直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。第47页,共196页，2024年2月25日，星期天(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为的泊松分布。记为

实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。第48页,共196页，2024年2月25日，星期天泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一点由下面的泊松定理所阐述。

泊松定理设随机变量且则有证略因此,由定理,当n很大p很小时，就有第49页,共196页，2024年2月25日，星期天设X为离散型随机变量,且概率分布表示为其中xi为(i=1,2,…,r,…)是X的一切(r个或者可数个)可能值.表示离散型概率分布的方法,有时用下面形如式的矩阵表示,或用形如表的分布表表示:第50页,共196页，2024年2月25日，星期天表离散型变量X的概率分布xiP{X=xi}x1x2

…

xr…p1p2

…

pr…Σ1第51页,共196页，2024年2月25日，星期天

续例3现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时故,于是因此

该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大的.因此在大数次的试验中,不能忽略小概率事件.第52页,共196页，2024年2月25日，星期天

例4

设某项试验的成功率为98.5%,现独立重复进行100次该项试验,求只失败1次的概率?

解第53页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5

为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型的设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情形),问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?

解

设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数为X,则X~B(300,0.01).所需解决的问题是确定最小的N,使得第54页,共196页，2024年2月25日，星期天由泊松定理(1)于是(1)式化为经查表计算知,满足上式最小的N是8.因此,为达到上述要求,至少需配备8个工人.第55页,共196页，2024年2月25日，星期天

例6

设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.

解先考虑第一种方法以X表示第一个人维护的20台机器中同一时刻发生故障的台数,则X~B(20,0.01).于是,第一个人来不及维修的概率为第56页,共196页，2024年2月25日，星期天设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这一事件，则有以Y表示3个人共同维护的80台机器中同一时刻发生故障的台数,则Y~B(80,0.01).于是他们来不及维修的概率为按第二种方法效率更高！第57页,共196页，2024年2月25日，星期天例7一立方体的三个侧面上印有“0”,两个侧面上印有“1”,另一侧面上印有“2”,若将其随意投掷在桌面上,并以X表示朝上的侧面上的数字,求X的概率分布.解随意将该正立方体投掷在桌面上,可能出现6种等可能的情形(基本事件),其中有利于出现“0”,“1”和“2”的情形,分别有3,2,1种.因此第58页,共196页，2024年2月25日，星期天第59页,共196页，2024年2月25日，星期天例8一条交通干线上5处设有红绿信号灯,两种信号交替开放,且红灯和绿灯开放的时间为2:3.假设有一辆汽车沿此街道驶过,以X表示它首次遇到红灯之前已通过绿灯的次数.求X的概率分布.解随机变量X有0,1,…,5等6个可能值.设Ak={汽车在第k个信号灯处首次遇到红灯}(k=1,2,3,4,5).事件A1,A2,…,A5显然相互独立,且P(Ak)=2/5(k=1,2,3,4,5).因此,有第60页,共196页，2024年2月25日，星期天第61页,共196页，2024年2月25日，星期天第62页,共196页，2024年2月25日，星期天例9假设硕士研究生入学数学考试及格率为0.60,求14名考生中及格人数X的概率分布,并列出分布的数值表.解

n=14名考生参加考试,可以视为14次伯努利试验,每名考生考试及格为“成功”,不及格为“失败”,成功的概率为p=0.60.因此14名考生中及格人数X服从参数为(14,0.60)的二项分布(表是该二项分布的数值表):第63页,共196页，2024年2月25日，星期天kpkkpkkpkkpk00.00000310.0000620.0005530.0033040.0136050.0408160.0928270.0033080.2066090.20660100.15495110.08452120.03169130.00781140.00078表参数为(14,0.60)的二项分布表第64页,共196页，2024年2月25日，星期天例10某生产线平均每3分钟生产一件产品,假设不合格品率为0.01.求8小时内出现不合格品件数X的概率分布;(2)问:为使至少出现一件不合格品的概率不小于0.95,最少需要多长时间?第65页,共196页，2024年2月25日，星期天解(1)由条件知,若平均每3分钟生产一件产品,则8小时内平均可以生产8×60/3=160件产品,每件产品为不合格品的概率是p=0.01,在160件成品中不合格品的件数X显然服从参数为(160,0.01)的二项分布.第66页,共196页，2024年2月25日，星期天(2)设n为至少出现一件不合格品所要生产产品的件数,则n件产品中不合格品的件数vn服从参数为(n,0.01)的二项分布;按题意,n应满足条件于是,至少出现一件不合格品的概率不小于95%,最少需要298.0729×3≈895分钟,即将近14小时55分钟.第67页,共196页，2024年2月25日，星期天解以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数,以Xk(k=1,2,3,4)表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数,由条件知X和Xk(k=1,2,3,4)服从同一泊松分布,未知分布参数λ取决于条件:例11设一本书的各页的印刷错误个数X服从泊松分布律.已知有一个和两个印刷错误的页数相同,求随意抽查的4页中无印刷错误的概率p.第68页,共196页，2024年2月25日，星期天于是λ=2.由于事件{Xk=0}(k=1,2,3,4)显然相互独立,因此第69页,共196页，2024年2月25日，星期天第三节.三种重要的连续型分布(一)均匀分布(UniformDistribution)如果随机变量的概率密度为则称在［a,b]上服从均匀分布，记为第70页,共196页，2024年2月25日，星期天上式表明,落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的概率是相同的.在这个意义上我们说,服从均匀分布的随机变量在其可能取值的区间内具有等可能性.设则第71页,共196页，2024年2月25日，星期天解知的分布函数为于是

例1

设随机变量求.第72页,共196页，2024年2月25日，星期天

例2设随机变量现在对进行三次独立的观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解由题设知的概率密度为于是第73页,共196页，2024年2月25日，星期天若以Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次试验中{X>3}出现的次数),则故所求的概率为第74页,共196页，2024年2月25日，星期天二.指数分布(ExponentialDistribution)如果随机变量的概率密度为则称X服从参数为的指数分布.（其中是常数）第75页,共196页，2024年2月25日，星期天易知，若则其分布函数为指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布.第76页,共196页，2024年2月25日，星期天指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性”.具体叙述如下.设则对于任意的s>0,t>0,有事实上，有第77页,共196页，2024年2月25日，星期天假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.第78页,共196页，2024年2月25日，星期天例3某元件使用寿命X(单位:h)服从

=0.002的指数分布.求该元件使用了500h还完好的概率以及该元件使用寿命不低于-100h且不超过250h的概率.解由题设知的概率密度与分布函数分别为于是第79页,共196页，2024年2月25日，星期天下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即服从参数为指数分布。第80页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5设某电子元件的寿命X(单位:小时)服从的指数分布,(1)求该元件使用500小时没有坏的概率;(2)若已知该元件使用了200小时没有坏,求它还可以继续使用500小时的概率.解设X的分布函数为F(x),则(1)所求的概率为(2)由指数分布的无记忆性,有第81页,共196页，2024年2月25日，星期天三.正态分布(NormalDistribution)正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。实践方面的原因是，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重、农作物的收获量、波浪的高度等等都近似服从正态分布。一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的，则这个随机变量服从正态分布，这点可用下一章的极限定理来加以证明。从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以导出一些其它分布，而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来近似。

第82页,共196页，2024年2月25日，星期天正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.高斯第83页,共196页，2024年2月25日，星期天不知你们是否注意到街头的一种赌博活动?用一个钉板作赌具。第84页,共196页，2024年2月25日，星期天

也许很多人不相信，虽然玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了。第85页,共196页，2024年2月25日，星期天下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博高尔顿钉板试验第86页,共196页，2024年2月25日，星期天平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。第87页,共196页，2024年2月25日，星期天高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。第88页,共196页，2024年2月25日，星期天定义如果随机变量X的概率密度为

第89页,共196页，2024年2月25日，星期天正态分布密度函数的几何性态：第90页,共196页，2024年2月25日，星期天正态分布密度函数的几何性态：第91页,共196页，2024年2月25日，星期天正态分布密度函数的几何性态：第92页,共196页，2024年2月25日，星期天正态变量的分布函数为第93页,共196页，2024年2月25日，星期天的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：第94页,共196页，2024年2月25日，星期天

任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理其分布函数为则证第95页,共196页，2024年2月25日，星期天于是,有

这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算.当-x<0时，第96页,共196页，2024年2月25日，星期天第97页,共196页，2024年2月25日，星期天若X～N(0,1),第98页,共196页，2024年2月25日，星期天

例设随机变量查表求概率第99页,共196页，2024年2月25日，星期天

例设随机变量求概率

例设随机变量已知求第100页,共196页，2024年2月25日，星期天例1解第101页,共196页，2024年2月25日，星期天例3解若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N(400,1002),共有2000人参加考试，假定只录取前300名，求分数线a，使考生总分超过a的概率等于升学率。设X表示考试总分，则第102页,共196页，2024年2月25日，星期天例2这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.第103页,共196页，2024年2月25日，星期天68.26%95.44%99.74%第104页,共196页，2024年2月25日，星期天若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间(分)服从正态分布N(50,100)；第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间(分)服从正态分布N(60,16)。问:(1)假如有70分钟可用，应选哪条路？(2)若只有65分钟，又应走哪条路？例4解记行走时间为t，(1)若有70分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为第105页,共196页，2024年2月25日，星期天走第二条路线能及时赶到的概率为因此，若有70分钟可用，应选第二条路线。解记行走时间为t，(1)若有70分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为第106页,共196页，2024年2月25日，星期天走第二条路线能及时赶到的概率为因此，若有65分钟可用，应选第一条路线。解记行走时间为t，(2)若有65分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为第107页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解1)2)第108页,共196页，2024年2月25日，星期天3)设该值为则有即查表得从而第109页,共196页，2024年2月25日，星期天例假设新生入学外语考试的成绩(百分制)服从正态分布N(72,σ2).而且96分以上的考生占2.3%,求随意抽取的一份外语试卷的成绩,介于60分到84分之间的概率α.第110页,共196页，2024年2月25日，星期天解由条件知外语考试的成绩X~N(72,σ2);而由即Φ(24/σ)=0.977;由标准正态分布函数数值表(附表1)可查得Φ(2)=0.977,故24/σ≈2,从而σ≈12.因此,第111页,共196页，2024年2月25日，星期天例假设随机变量X服从参数为(108,9)的正态分布,求(1)事件{101.11<X<117.6}的概率;(2)常数a,使P{X≤a}=0.90;(3)常数b,使P{|X－b|>b}=0.10.第112页,共196页，2024年2月25日，星期天解由条件知,随机变量(1)由标准正态分布函数Φ(x)数值表(附表1),可见第113页,共196页，2024年2月25日，星期天(2)设Φ(x)是标准正态分布函数.由条件知由标准正态分布函数Φ(x)的水平α双侧分位数uα表(附表3),可见第114页,共196页，2024年2月25日，星期天(3)设条件知(注意到Φ(－36)≈0)由标准正态分布函数Φ(x)的水平α双侧分位数uα表(附表3),可见第115页,共196页，2024年2月25日，星期天例假设无线电测距仪无系统误差,其测量的随机误差服从正态分布.已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20m,求随机测量的标准差σ.解由条件知,随机误差e服从正态分布N(0,σ2),所以由可见第116页,共196页，2024年2月25日，星期天

前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到。这一节先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是期望和方差第117页,共196页，2024年2月25日，星期天第四节随机变量的数字特征

随机变量的数学期望随机变量的方差第118页,共196页，2024年2月25日，星期天4.1数学期望

一.数学期望的定义例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572数学期望——描述随机变量取值的平均特征则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即第119页,共196页，2024年2月25日，星期天有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：例甲：击中环数

891030%10%60%频率

乙：击中环数

891020%50%30%频率

问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：第120页,共196页，2024年2月25日，星期天甲：击中环数

891030%10%60%频率

乙：击中环数

891020%50%30%频率

问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：乙：可见甲的水平高些。第121页,共196页，2024年2月25日，星期天

定义1离散型随机变量X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,若级数，则称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。

对于离散型随机变量X,EX就是X的各可能值与其对应概率乘积的和.第122页,共196页，2024年2月25日，星期天例1若X服从0-1分布,其概率函数为

P{X=k}=Pk(1-p)1-k(k=0,1),求EX.

X01P1-pp解：第123页,共196页，2024年2月25日，星期天例2甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ,η表示)的分布律如表1,表2所示.这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好.ξ123P0.40.10.5试比较甲乙两射手的技术.η123P0.10.60.3解：第124页,共196页，2024年2月25日，星期天例3一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种,相应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.06及0.04,若其产值分别为6元,5.4元,5元,4元及0元.求产品的平均产值.

Eξ=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48(元)ξ65.4540p0.70.10.10.060.04解：产品产值ξ是一个随机变量,它的分布率如表:第125页,共196页，2024年2月25日，星期天例4已知盒内有5个球,其中2个白球,3个黑球,从中一次摸出3个球,计算摸到的白球个数X的数学期望EX.第126页,共196页，2024年2月25日，星期天例5已知甲袋内有3个白球与3个黑球,乙袋内有3个白球,今从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋.求(1)乙袋内黑球个数X的数学期望;(2)从乙袋内再任摸一球是黑球的概率.第127页,共196页，2024年2月25日，星期天例5已知甲袋内有3个白球与3个黑球,乙袋内有3个白球,今从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋.求(1)乙袋内黑球个数X的数学期望;(2)从乙袋内再任摸一球是黑球的概率.设B=从乙袋内再任摸一球是黑球第128页,共196页，2024年2月25日，星期天例6掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷得的点数，求ξ的数学期望。定义4.2P(58)设连续型随机变量x~φ(x),-<x<+,若

为x的数学期望。则称

连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度f(x)与实数x的乘积在(-∞,+∞)无穷区间上的广义积分.第129页,共196页，2024年2月25日，星期天例7设随机变量X的概率密度函数为

解：第130页,共196页，2024年2月25日，星期天例8设随机变量X的概率密度函数为

解：第131页,共196页，2024年2月25日，星期天例9设随机变量X的概率密度函数为

解：第132页,共196页，2024年2月25日，星期天三、随机变量函数的数学期望(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为

(2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为

f(x)，

则则第133页,共196页，2024年2月25日，星期天E(a)=a,a为常数;E(X+a)=E(X)+a,a为常数;3.E(aX)=aE(X),a为常数;数学期望的性质证明:设X~φ(x),则4.E(kX+b)=E∙(kX)+b=k∙E(X)+b第134页,共196页，2024年2月25日，星期天这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况,即对于n>2也同样有

第135页,共196页，2024年2月25日，星期天例解X-2-100.1P

10.20.30.4设随机变量X的概率分布如下：第136页,共196页，2024年2月25日，星期天例解设随机变量X的服从[a,b]上的均匀分布第137页,共196页，2024年2月25日，星期天例解设随机变量X的服从[0,2п]上的均匀分布第138页,共196页，2024年2月25日，星期天例2有一队射手共9人,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8;进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打3次.问大约需为他们准多少发子弹?解设ξi表示i名射手所需的子弹数目,ξ表示9名射手所需的子弹数目,依题意,并且ξi有如下分布律再多准备10%~15%,大约为他们准备13发子弹.第139页,共196页，2024年2月25日，星期天例4某无线电元件的使用寿命ξ是一个随机变量,其概率密度为其中λ>0,求这种元件的平均使用寿命.解：第140页,共196页，2024年2月25日，星期天解例假定世界市场对我国某种出口商品的需求量X(单位吨)是个随机变量,它服从[2000,4000]上的均匀分布,设该商品每售出1吨可获利3万美元,但若销售不出去积压于库,则每吨需支付1万美元,问如何计划年出口量能使国家期望获利最多?第141页,共196页，2024年2月25日，星期天EX1：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望XPk-101YPk10

第142页,共196页，2024年2月25日，星期天设ξ的概率密度为，求E(ξ2),E(ξ3)，E(ξ4)。第143页,共196页，2024年2月25日，星期天第144页,共196页，2024年2月25日，星期天二方差(Variance)随机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征。比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以上，而另一半却质量很差，寿命不足500小时，从而反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命X对期望E(X)的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征。

第145页,共196页，2024年2月25日，星期天一、方差的定义定义即第146页,共196页，2024年2月25日，星期天计算公式:第147页,共196页，2024年2月25日，星期天1.若X是离散型随机变量，其概率分布为

则计算公式:2.若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则第148页,共196页，2024年2月25日，星期天

设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：

X0120.5P

30.30.10.1例1解Y0120.6P

30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。

均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.第149页,共196页，2024年2月25日，星期天X0120.5P

30.30.10.1Y0120.6P

30.10.20.1均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.由于D(X)<D(Y),因此机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.第150页,共196页，2024年2月25日，星期天几种常见离散型分布的方差1.0-1分布已经求得第151页,共196页，2024年2月25日，星期天2.二项分布已经求得所以第152页,共196页，2024年2月25日，星期天3.泊松分布已经求得所以第153页,共196页，2024年2月25日，星期天几种常见连续型分布的方差1.均匀分布已经求得第154页,共196页，2024年2月25日，星期天2.指数分布已经求得第155页,共196页，2024年2月25日，星期天3.正态分布已经求得第156页,共196页，2024年2月25日，星期天几种常用的随机变量的数学期望与方差

分布概率分布或概率密度

数学期望

方差

0-1分布二项分布均匀分布指数分布正态分布泊松分布第157页,共196页，2024年2月25日，星期天二、方差的性质性质1D(C)=0，其中C是常数。性质2若k是常数,则性质3证其中C是常数。证第158页,共196页，2024年2月25日，星期天性质4设X和Y是两个相互独立的随机变量，则

证而第159页,共196页，2024年2月25日，星期天性质4设X和Y是两个相互独立的随机变量，则

证当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)，所以推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则第160页,共196页，2024年2月25日，星期天注意：以下两个式子是等价的,的充分必要条件为,存在常数C,使事实上,若X1,X2,…,Xn相互独立,则例如,当X和Y相互独立时,有性质5第161页,共196页，2024年2月25日，星期天利用方差的性质重新求二项分布的方差.设X~B(n,p)，X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.例解设而X=X1+X2+…+Xn,i=1,2,…,n其分布律为所以且X1,X2,…,Xn相互独立,第162页,共196页，2024年2月25日，星期天例2设随机变量X的概率密度函数为

解：第163页,共196页，2024年2月25日，星期天例3：已知随机变量X服从二项分布B(n,p),且EX=2.4,DX=0.48,求X的概率函数与分布函数.第164页,共196页，2024年2月25日，星期天例4：已知随机变量X服从期望为1的指数分布,求.第165页,共196页，2024年2月25日，星期天例5：已知随机变量X服从期望为0,方差为的正态分布,求的值.第166页,共196页，2024年2月25日，星期天例6：设随机变量ξ的概率密度为1)求Dξ,2)求第167页,共196页，2024年2月25日，星期天第168页,共196页，2024年2月25日，星期天例7若连续型随机变量的概率密度是已知Eξ=0.5,Dξ=0.15,求系数a,b,c.解:第169页,共196页，2024年2月25日，星期天第五节随机变量的函数的分布一、求随机变量函数的分布的一般方法二、求随机变量函数的密度的一个常用公式第170页,共196页，2024年2月25日，星期天一、求随机变量函数的分布的一般方法设y=g(x)是连续函数或分段连续函数,Y=g(X)作为随机变量X的函数,也是随机变量.根据自变量X的概率分布,求Y的概率分布的一般方法:将Y的分布函数通过X的概率分布表示:第171页,共196页，2024年2月25日，星期天1.离散型若X是离散型随机变量,则首先根据X的可能值列出Y的可能值,然后分别求Y等于各个可能值的概率.例1假设一部机器在一个工作日因故停用的概率为0.2.一周使用5个工作日可创利润10万元;使用4个工作日可创利润7万元;使用3个工作日只创2万元;停用3天及多于3天亏损2万元.求所创利润的概率分布.第172页,共196页，2024年2月25日，星期天解设X是一周5个工作日停用的天数;Y是一周所创利润.X服从参数为(5,0.2)的二项分布,而一周所创利润Y是停用天数X的函数:若X=0,若X=1,若X=2,若X=3,第173页,共196页，2024年2月25日，星期天显然Y的可能值为10,7,2,－2,因此于是,所创利润Y的概率分布第174页,共196页，2024年2月25日，星期天设随机变量X的概率分布为例2解求2X+1及X2的概率分布。注意：取值相同的概率应相加。第175页,共196页，2024年2月25日，星期天例3设随机变量X的概率分布为解(1)易见,随机变量Y=X2+1有1,2,5等3个可能值,因此Y的概率分布为分别求随机变量Y=X2+1和Z=cosπX的概率分布.第