《电工电子技术》课件-第五章 正弦稳态电路

第五章正弦稳态电路主要内容：

第一节正弦量的基本概念

第二节正弦量的相量表示法

第三节电阻元件伏安关系的相量形式

第四节电感元件伏安关系的相量形式

第五节电容元件伏安关系的相量形式

第六节基尔霍夫定理的相量形式

第七节R、L、C串联电路及复阻抗

第八节R、L、C并联电路及复导纳第五章正弦稳态电路

第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳

第十节正弦稳态电路的分析计算

第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率

第十二节二端网络的功率

第十三节功率因数的提高及有功功率的测量

第十四节串联电路的谐振

第十五节并联电路的谐振第一节正弦量的基本概念

正弦量是大小和方向都随时间按正弦规律变

化的物理量。正弦量可用数学表达式表示，称

瞬时值表达式，也称解析式；表示瞬时值随时间变化的图形称波形图。图5-1是正弦电流波形图。第一节正弦量的基本概念图5-１正弦电流波形第一节正弦量的基本概念

式中3个常量、、称为正弦量的三要素。Im

称为最大值，ω称为角频率，

i称为初相位。这三个要素是各个正弦量间进行区别和比较的依据。正弦电流的瞬时值表达式为第一节正弦量的基本概念一、角频率、频率和周期

1.角频率ω：反映正弦量变化的快慢，是单位时间内

正弦量增长的电角度，单位为弧度/秒。2.周期T：是正弦量变化一次所需的时间，单位为秒。

3.频率f：是正弦量在一秒内重复的次数，单位为

赫兹。我国电力标准频率为50Hz，称之为工频。

第一节正弦量的基本概念

ω、T、f三个量从不同的侧面反映正弦量

变化的快慢，知道其中一个就可求出其他两个。关系式如下：

第一节正弦量的基本概念二、幅值和有效值

1.最大值：正弦量在变化过程中所能达到的最大值，又称幅值或振幅。有时把称为正弦量的峰—峰值。为了确切的反映交流电在能量转换方面的实际效果，采用有效值的概念。第一节正弦量的基本概念2.有效值：一个交流电流i与一个直流电流I分别通过同一个电阻R，如果在相同时间T内产生的热量相等，则这个交流电流的有效值就等于直流电流I，即两者的热效应相同。定义式为：

有效值也称方均根值第一节正弦量的基本概念正弦电流（电压）的有效值为其最大值的

倍。即：

工程上一般所说的交流电的大小都指的是其有效值。第一节正弦量的基本概念三、初相、参考正弦量和相位差

1.相位、初相位、参考正弦量

a)正弦量表达式中的（ωt+

i）称正弦量的相位（角）；

b)当t=0时,（ωt+

i）=i

，称初相位

i

简称初相；其大小与

计时起点有关；

c)当电路中有多个相同频率正弦量同时存在时，可根据需要选择

其中某一正弦量由负向正变化通过零值的瞬间作为计时起点，则这个正弦量的初相就是零，称这个正弦量为参考正弦量。

一个电路只能选择一个计时起点，只能有一个参考正弦量。第一节正弦量的基本概念

2.相位差同频率正弦量的相位之差称相位差，用表示，相位差也等于初相差。如有两个同频率正弦电压与电流为

则相位差第一节正弦量的基本概念当

=0

时，称u与i同相，如图５－２ａ所示；当时，称u在相位上超前i相位角

，或称i滞后u相位角

，如图５－２ｂ所示；当

=90º时，称u与i正交，如图５－２ｃ所示；当

=180º时，称u与i反相，如图５－２ｄ所示；第一节正弦量的基本概念图５－２不同相位差的u和i波形第二节正弦量的相量表示法一、复数

工程中通常采用复数表示正弦量，把对正弦量的各种运算转化为复数的代数运算，从而大大简化正弦交流电路的分析计算过程，这种方法称为相量法。复数和复数运算是相量法的数学基础，需掌握复数的相关概念。第二节正弦量的相量表示法图５－３复数的矢量表示第二节正弦量的相量表示法二.用复数表示正弦量

如有一正弦交流电流为另有一复数为可见正弦交流电流就是复数的虚部

，而

式中第二节正弦量的相量表示法

复数

的模对应的是正弦交流电流i的有效值I，

幅角对应的是正弦交流电流的初相位。它反映了正弦量的

两个重要的要素.而同频率的正弦量之间角频率是不必加

以区分的，所以可用一个复数表示一个正弦量，它们是一一对应的.

第二节正弦量的相量表示法图５－４旋转向量与正弦波的对应关系第二节正弦量的相量表示法用复数来表示正弦交流量的方法：复数的模对应于正弦交流量的有效值；复数的幅角

对应于正弦交流量的初相位。以后把这个能表示正弦

交流量特征的复数称为相量。称为电流相量；称为电压相量

相量是正弦量的一个表示符号，而不是等于正弦量。第三节电阻元件伏安关系的相量形式

正弦交流电路中，电阻元件的电压与电流同频率；同相位；有效值的关系符合欧姆定律。

电阻元件伏安关系的相量形式为

其相量模型如右图下所示。

交流电路中的电阻元件第三节电阻元件伏安关系的相量形式图５－8电阻元件中电压与电流的波形图和相量图第四节电感元件伏安关系的相量形式一、电感元件及其伏安关系

电感元件的电压与电流取关联参考方向下，关系式为

二、电感元件伏安关系的相量形式正弦交流电路中，电感元件的电压与电流同频率；相位上电压比电流超前；有效值的关系为

电感元件伏安关系的相量形式为

元件相量模型如下图a所示。第四节电感元件伏安关系的相量形式图５－11电感元件的电压、电流波形图及相量图第四节电感元件伏安关系的相量形式三、电感元件的储能

从ｔ０到ｔ时间内，外部输入电感的能量即被线圈所吸收并储存的磁场能量为：

若，即在初始时刻电感中没有电流，也就没有储能。则电感在ｔ时刻储存的磁场能量为第五节电容元件伏安关系的相量形式一、电容元件及其伏安关系

电容元件的电压与电流取关联参考方向下，

关系式为

二、电容元件伏安关系的相量形式正弦交流电路中，电容元件的电压与电流同频率；相位上电压比电流滞后；有效值的关系为

电容元件伏安关系的相量形式为元件相量模型如下图a所示。第五节电容元件伏安关系的相量形式图５－１4电容元件的电压、电流波形图及相量图第五节电容元件伏安关系的相量形式第五节电容元件伏安关系的相量形式三、电容元件的储能

从ｔ０到ｔ时间内，外部输入电容的能量即被电容所吸收并储存的电场能量为：

若，即在初始时刻电容电压为零，也就没有储能。则电容在ｔ时刻储存的磁场能量为第六节基尔霍夫定律的相量形式1.基尔霍夫电流定律用于正弦交流电路中时，可得

到其相量形式为即：正弦电路中任一节点的所有电流相量的代数和等于零。2.基尔霍夫电压定律用于正弦交流电路中时，可得

到其相量形式为即：正弦电路中任一回路所有电压相量的代数和等于零。

注意：式中各项都是相量，而不是有效值。第七节R、L、C串联电路及复阻抗一、复阻抗和阻抗三角形

1.复阻抗及相量形式的欧姆定律

图５－１8

R、L、C串联电路及复阻抗模型第七节R、L、C串联电路及复阻抗关于复阻抗：

1.实部

为电阻，虚部

为电抗，其值有正、

负之分，

是复阻抗的模，是复阻

抗的幅角，称为阻抗角，有正、负之分。2.复阻抗Z的单位仍与电阻的单位相同。3.Z不是代表正弦量的复数，它不是相量。4.线性电路中，Z仅由电路的参数及电源的频率决定，与电压、电流的大小无关。5.单一的电阻、电感、电容元件可看成复阻抗的一种特例。第七节R、L、C串联电路及复阻抗2.阻抗三角形当将阻抗Z表示为极坐标形式时，有可知，构成一个直角三角形，称为阻抗三角形。第七节R、L、C串联电路及复阻抗三、电压三角形因

端电压由两个分量组成，称为有功分量；

称为无功分量；显然，

构成一直角三角形，

称为电压三角形，与阻抗三角形是相似三角形。图５-20

RLC串联电路的阻抗三角形和电压三角形第七节R、L、C串联电路及复阻抗第七节R、L、C串联电路及复阻抗图５-20

RLC串联电路的相量图a)感性电路b)容性电路c)组性电路（谐振）第八节R、L、C并联电路及复导纳一、复导纳和导纳三角形

1.复导纳5-11、R、L、C并联电路及复导纳模型第八节R、L、C并联电路及复导纳关于复导纳：

1.实部G为等效电导，虚部B为等效电纳。是复导纳的模，

Y是

复导纳的幅角，称为导纳角。2.复导纳Y的单位仍与电导的单位相同。3.Y不是代表正弦量的复数，它不是相量。4.线性电路中，Y仅由电路的参数及电源的频率决定，与电压、电

流的大小无关。5.单一的电阻、电感、电容元件可看成复导纳的一种特例。第八节R、L、C并联电路及复导纳2.导纳三角形

导纳Y表示为极坐标形式时，

可知，G、B、构成了一个直角三角形，称为导纳三角形第八节R、L、C并联电路及复导纳二、电流三角形

因总电流由两个分量组成，称为有功分量；

称为无功分量；显然，构成一直角三角形，称为电流三角形，与导纳三角形是相似三角形。图５-22

RLC并联电路的导纳三角形和电流三角形第八节R、L、C并联电路及复导纳第八节R、L、C并联电路及复导纳图５-23

RLC并联电路的相量图第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳一、复阻抗（复导纳）的串联和并联

复阻抗或复导纳的串联、并联和混联电路的分析，形式上完全与电阻电路一样，也可导出相类似的等效复阻抗或复导纳的计算公式。

n个复阻抗相串联的等效复阻抗为

n个复导纳相并联的等效复导纳为

二、无源二端网络的等效电路

1.串联形式等效电路

一个无源二端网络在端口电压与端口电流关联

参考方向下，等效复阻抗为可用一个电阻与电抗相串联的电路等效。第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳2.并联形式等效电路

一个无源二端网络在端口电压与端口电流关

联参考方向下，等效复导纳为可用一个电导与电纳相并联的电路等效。第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳三、等效复阻抗和复导纳的相互转换一个无源双端网络既可用Z等效，也可用Y等效，Z与Y互为倒数关系.即

第十节正弦稳态电路的分析计算一.相量法

将正弦电路中的电压、电流用相量表示，在引入复阻抗、复导纳

的概念后，正弦电路就具有了与直流电路完全相似的基本定律。

这样，分析电阻电路的所有方法、公式和定理都可以类推并适用

于正弦电流电路的分析计算（如支路分析法、回路分析法、节点

分析法、叠加定理、戴维南定理与诺顿定理等），所不同的仅在

于用电压和电流的相量取代了电阻电路中的电压和电流，用复阻

抗和复导纳取代了电阻电路中的电阻和电导。

这就是分析正弦稳态电路的相量法.第十节正弦稳态电路的分析计算二.相量法应用举例例5-12图5-27电路中，已知R1=R2=100Ω,R3=50Ω,

C1=10μF,L3=50mH,U=100V,ω=1000rad/s.求各支路电流。

解：电路的等效复阻抗为

图5-27例5-12图第十节正弦稳态电路的分析计算设则按分流公式得例5-13图a电路中，已知Uab=100V,R1=R2=XL1=XL2=XC=10Ω,（1）各支路电流；（2）总电压U；(3)ÙCd与Ù的相位差；（4）画相量图。第十节正弦稳态电路的分析计算图5-28例5-13图第十节正弦稳态电路的分析计算解：（1）设则（2）（3）

ÙCd与Ù的相位差为45o,相量图如图b所示。例5-14图5-29所示电路中，已知ÙS1=100∠0oV,ÙS2=100∠53.1oV,R1=XL1=XC1=R2=XC2=5Ω,分别用回路法和节点法求电流Ì。第十节正弦稳态电路的分析计算图5-29例5-14图第十节正弦稳态电路的分析计算解（1）回路法回路电流Ìa、Ìb如图中所标，可得回路电流方程为求解方程组可得第十节正弦稳态电路的分析计算（2）节点法节点电压方程为解得例5-15图示电路中已知，

ÙS=100∠0oV，

ÌS=2∠30oA,R1=XC=20ΩR2=10Ω，g=0.2s

用戴维南定理求Ù1第十节正弦稳态电路的分析计算图5-30例5-15图第十节正弦稳态电路的分析计算解在图b中求开路电压ÙOC

即用外加电源法在图c中求输入阻抗Zeq.因为

即

第十节正弦稳态电路的分析计算

在图d所示等效电路中求得第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率一、电阻元件的功率

1.瞬时功率图5-34pR、uR、iR的波形第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率2.平均功率

定义式:

电阻元件的平均功率注意式中的UR、IR都为有效值

第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率二、电感元件的功率

1.瞬时功率

图5-35pL、uL、iL的波形第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率2.平均功率

正弦电路中电感元件的平均功率为说明电感元件不消耗功率，只与外电路进行能量交换。第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率

3.无功功率

瞬时功率的最大值定义为无功功率，它代表元件与外电路交换能量的规模大小。电感元件的无功功率用QL表示，根据定义可得：无功功率的单位为乏(var)

。注意：“无功功率”不是“无用功率”。

第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率三、电容元件的功率

1.瞬时功率

图5-36pC、uC、iC的波形第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率2.平均功率

正弦电路中电容元件的平均功率为说明电容元件也不消耗功率，只与外电路进行能量交换。第十一节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率3.无功功率电容元件的无功功率用QC表示，根据定义可得：

电感元件以磁场能量的形式与外界进行能量的交换；

电容元件以电场能量的形式与外界进行能量的交换。当

电路中既有电感元件，又有电容元件时，它们的无功功

率相互补偿，即无功功率的正、负号仅表示它们之间相

互补偿的意义。第十二节二端网络的功率一、瞬时功率二端网络的电流和端电压分别为，根据瞬时功率的定义，该二端网络的瞬时功率为：

第十二节二端网络的功率图5-37二端网络的功率第十二节二端网络的功率二、有功功率（平均功率）和功率因数

根据有功功率（平均功率）的定义，该二端网络有功功率为二端网络的有功功率不仅与网络端口的电压和电流的有效值有关，还与它们之间的相位差有关。式中cos

称为二端网络的功率因数，阻抗角

也称为功率因数角。第十二节二端网络的功率三、无功功率二端网络的无功功率定义为：二端网络的无功功率等于网络内部所有电抗元件无功功率之和；当网络为感性时无功功率是正值，当网络为容性时无功功率是负值.第十二节二端网络的功率四、视在功率

将二端网络的电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用大写字母S表示，即

视在功率的单位为伏安（V·A）或千伏安（KV·A）。视在功率S

通常用来表示电气设备的额定容量。额定容量即电气设备可能发出的最大功率。第十二节二端网络的功率五、功率三角形

综上所述，有功功率、无功功率、视在功率之间存在如下关系：

即P、Q、S构成一直角三角形，称为二端网络的功率三角形。第十二节二端网络的功率六、复功率可用一个复数来表示二端网络的S、P、Q之间的关系，该复数称为复功率，用表示.

式中第十三节功率因数的提高及有功功率的测量一.功率因数的提高

图5-39功率因数的提高第十三节功率因数的提高及有功功率的测量

（1）要使电路的功率因数由原来的cos

1提高到cos

，需并联电容器的电容量为或

上两式中，IL为并联电容前感性负载中流过的电流；

I为并联电容后线路中的总电流；ω为电源角频率；

U为电源电压的有效值；P为感性负载的有功功率.第十三节功率因数的提高及有功功率的测量

（2）并联电容后，提高了整个电路的功率因数，减小了线路中的总电流，减小了电源向感性负载提供的无功功率，感性负载的工作情况(电流、功率、功率因数等)没有任何变化.

（3）并联电容器的电容量不是越大越好，一般是”欠补偿”.

第十三节功率因数的提高及有功功率的测量二.有功功率的测量

图5-40有功功率的测量第十三节功率因数的提高及有功功率的测量三.最大功率传输负载ZL从给定