导数专项训练及答案

导数专项训练例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程L已知函数f(x)=a在x=1处的导数为-2，则实数a的值是 .x.曲线y=3x-x3上过点A(2,-2)的切线方程为..曲线y=-和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是—.x.若直线y=kx-3与曲线y=2lnx相切，则实数k=..已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为.TOC\o"1-5"\h\z.等比数列｛a｝中，a=1,a=9，函数f(x)=x(x-a)(x-a)•••(%-«)+2，则曲线n 1 2012 1 2 2012y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为..若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为..若点P、Q分别在函数y=ex和函数y=lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是 ..已知存在实数a,满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x3-3ax的切线，则实数a的取值范围是 ..若关于x的方程|ex-3x|二kx有四个实数根,则实数k的取值范围是 ..函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,则c的值是 .【2】常见函数的导数及复合函数的导数(一八一.f(x)=2ex+e-x,则Uf'(2)=.IJ.设曲线y=坐在点(1,0)处的切线与直线x—ay+1=0垂直，则a= .x+1.函数f(x)=(x3+1)(x3+2)…(X3+100)在x=-1处的导数值为..已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是.若函数f(x)=xn+1(neN*)的图像与直线x=1交于点P，且在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x，则logx+logx+logx+…+logx的值为.n 20131 20132 20133 20132012.设“x)=cosx,定义f(x)为f(x)的导数,即f(x)=f'(x),nen,若AABC的1 n+1 n n+1 n内角A满足fA+fA+…+AA=0，则sinA的值是.1 2 2013.函数y=2%2-ln%的单调递减区间为..已知函数f(%)=ln%(aeR)，若任意％、％e［2,3］且%>%,t=f'a'-f(%i)，则实数t1 2 2 1 %-%21的取值范围 ..已知函数f(%)=%3-6%2+9%+a在%eR上有三个零点，则实数a的取值范是..设f'(%)和g'(%)分别是f(%)和g(%)的导函数，若f'(%)g'(%)<0在区间I上恒成立，则称f(%)和g(%)在区间I上单调性相反.若函数f(x)=3%3-2a%与g(%)=%2+2b%在开区间(a,b)上单调性相反(a>0)，则b-a的最大值为.【4】导数与函数的极值、最值.已知函数f(%)=%3+3m%2+n%+m2在%=-1时有极值0,则m+n=.已知函数f(%)=2f'⑴ln%-%，则f(%)的极大值为..已知函数f(%)=%4+a%3+2%2+b,其中a,beR.若函数f(x)仅在%=0处有极值,则a的取值范TOC\o"1-5"\h\z围是 ..设曲线y=(a%-1)e%在点A(%,y)处的切线为l,曲线y=G-%%-%在点B(%,y)处的切01 1 02线为l.若存在%e［0,3］，使得l11，则实数a的取值范围为 .2 012J 1 2.已知函数f(%)=e%-1,g(%)=-%2+4%-3若有f(a)=g(b),则b的取值范围为..f,(%)是函数f(%)=3%3-m%2+(m2-1)%+n的导函数，若函数y=f［f'(%)］在区间［m,m+1］上单调递减，则实数m的取值范围是 .【解答题】1.某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 一，、 ，，…，80k、右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为—立方米,且l>2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3).设该容器的建造费用为y千元.⑴写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域；⑵求该容器的建造费用最小时的r.已知函数f(x)=ax2—(a+2)x+lnx.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间［1,e)上的最小值为一2,求a的取值范围..已知函数f(x)=(x-a)lnx,(a>0).(1)当a=0时,若直线y=2x+m与函数y=f(x)的图象相切,求m的值；⑵若f(x)在1,21上是单调减函数,求a的最小值；⑶当xel1,2/时，f(x)|<e恒成立,求实数a的取值范围.(e为自然对数的底).”、 ， 2ac.已知函数f(x)=lnx+——,aeRx(1)若函数f(x)在［2,+8)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在［1,e］上的最小值为3,求实数a的值..设函数f(x)=ex-1-x-ax2(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x>0时f(x)>0，求a的取值范围导数专项练习答案【1】导数的几何意义及切线方程4.2%：e；5.3；9.1a<310.（0,3-e）2x-y-1=0；5.-1;6.1;3TOC\o"1-5"\h\z1.2； 2.y=-2或9x+y-16=0 3.46.y=32012x+2; 7.\'2； 8.\：211.4【2】常见函数的导数及复合函数的导数1.e-1; 2.-1 3.3x99! 4.e2【3】导数与函数的单调性(11A 1.(0,1); 2.［3,2J; 3.(-4,0); 4.2

1.11； 2.21n2-2； 3. ; 4.1<«<|; 5.心]；6.m>0TOC\o"1-5"\h\zJJ 乙[5]解答题1.答案4 80 804解：(1)由题意可知兀r21+兀r3=一兀(/>2r),即/=———-r>2r,则0<r<2.3 3 3r2 3容器的建造费用为y=2兀rlx3+4兀r2xc=,(804).6,(804).6兀r -—r+4兀r2c.I3r23)即y= 8兀r2+4兀r2c,定义域为r0<0<r<2}.(2)y'二一 -16兀r+8兀rc,令y'=0,得r=- 9=2，得c- 9=2，得c=-,一9 3,飞"一一一,一 一①当3<c<时，］一->2，当0<r<2时，y'<0，函数单调递减，.•.当r=2时y2Vc-2有最小值;9 3,20 -八3；20 ,八9 3,20 -八3；20 ,八②当c>万时，二一-<2，当0<r<.：一^时，y<0;当r>2c—2 c—2时，y'>0,•当r=3,20二时y有最小值.207―2TOC\o"1-5"\h\z9 9 入9207―2综上所述,当3<c<-时,建造费用最小时r=2；当c>万时,建造费用最小时r=2.答案M霆解析：①当值=1时，/，.»二犬一去+出兀."#二肘一3十L 1合：.丁，1二口J1=—2, ….扮所以切线方程是产-2 粉⑵函数f(%)=a%2-(a+2)%+ln%的定义域是(0,+8),当a>0时，f([%)=2a%-(a+2)+1=2a%2-(a+2)-1(%>0)……5分% %令f，(%)=0,艮f(%)=2a%2-(a+2)-1=(2%-1)(a%-1)=0,% %一一1,、 1 „所以%=一或%= 6分a0<—<I!即席二1时，『『二,在二L-j上亘潴:已■占，a所以100在［lc］上的最小优定，⑴u% B分TOC\o"1-5"\h\z1 ^ 1\o"CurrentDocument"Elu—时，，⑴在_L7上的最「|亘是，"J</（1）=一2.三合题意m［。分a 广当N二z时I/5）在［Le］上年啕递减，所以丁（工）在「1,e］上的最小值是丁⑻</⑴二一2,不合题意 11*故口的取值范围为［L+mj 1£分考点,：导数的几何意义、声>K宗数求函G最值.3.解答解二11［当"□时.f［此J二工工zu:■・・・/1*）二1矣+1;■直线7=2：：+巾与函数尸fCx）的图象相切j-■.lnx+l=2.,・・比「"■"£C电）—s>」・"^L立［小.白1jJ・m二一电；C2Jf,1（s）=lrLK+l--K・・・EtC在口,身上是单调激函数，.--±"'区）=itTw+i-m<口在［1jz］上恒成立X」■鱼孑工工IU<+乂在［1rZ］上恒成立令咨［工）=xlru:+s.贝1」/（x=lnx+2>0'-gCxJ二::lru:+::在［1■2］上单调递增/-a>>gC2J=21n2+2■■闻最小值为21ii2+2；C3>|£tx：l|5等价于一eCa)Irm/e,■~64/一@式——Imc 1rLk'-K~——冠己冠K+5Inx Inx谩htx5二”十———>tcx=x——-—j，则11x3r「g：［w；=j-====ii〔3：3minjltrs Itlk由h'(k］=—―-*j-.-h-Ce)=□willM令mCxJ=xln^K_ejh三El■2e］jMJ='Ck)=1h^x+1iik□.--hCX5在［1/2。上单调递增/二h1乂)min二h〔一二2.eVf［X?=1+———>0J.'tEK］在［1」He］上单调递增Iln2etCxJmaK=tCZe>=2e-ln2e辕上jZe-—直a芟？自ln2eTOC\o"1-5"\h\z试题解析：解：（,1）;丁（始=出工+‘，二了『、；二1一学.X XX：/0）在2例）上是窄「」釐，.-./（X）=4-学加在「19①「匚成立，G。,二工在［之的）上恒成立.xx 2令式力用则修订仪可如…了修？-；.一「冢力=；在［2,+00）上是土一二,装，，［回（工）」1111 =冢2） =1一■■.a＜1.所以实数值的州值范围方「皿1］.（2）由（1）得/0）・二xe［lrs］X若2〃＜1,则x—2〃＞。，即/（x）＞0在［l,e］上恒成立，此时/（x）在［l,e］上是增函数.所以［人工|［加=,0）=2。=?-解得。■—（舍去，②若1W2口W白，令尸（丈）=C.得工=2..当0时，尸（工）＜0,所以/（工）在（1,2a）上是激函数，当2sc工c中时,/f（--？＞05用以」（工）在（2区中）上是噌函数.所以［/“L加=-2口=1门（22）+1=2-.，^a=—f舍去上③若2s＞中，则”2ac0,即「小）c。在三短上恒成工，此时/（＞）在［1产］上是激函数.所以［人工|［加=/1中।=1+区=二，所以"tn5.解答导数专题复习（配详细答案）体型一：关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x)=0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y=f(X)在区间D上的导数为f'(x),f'(x)在区间D上的导数为g(X)，若在区间D上，g(x)<。恒成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，TOC\o"1-5"\h\zX4mX3 3X2\o"CurrentDocument"f(x)二——一 一——12 6 2(1)若y=f(x)在区间10,31上为“凸函数”，求m的取值范围；⑵若对满足网《2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值.x4mx33x2 x3mx2解:由函数f(x)=-^-―得f(x)=--^―-3x12 6 2 3 2二.g(x)=x2-mx-3(1)・・・y=/(x)在区间10,31上为“凸函数”，则g(x)=x2-mx-3<0在区间［0,3］上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于g(x)<0g(0)<g(0)<0

g(3)<0'-3<0n《 nm>29-3m-3<0解法二：分离变量法：

当x=0时，g(x)=X2—mx—3=—3<。恒成立,当0<元43时，g(x)=X2一如一3<。恒成立TOC\o"1-5"\h\z%2-3 3 八「 _等价于机〉 二%—-的最大值(。<兀43)恒成立，x x3而"(x)=x——(0<x<3)是增函数,则。(x)=h(3)=2X max.\m>2⑵・・・当网V2时f(x)在区间Q,。)上都为“凸函数”则等价于当网42时g(x)=%2-mx-3<0恒成立变更主元法再等价于b切)=m-、2+3>。在网42恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)F(-2)>0F(2)>0nF(-2)>0F(2)>0n=^>—1<X<12x-X2+3>0例2：设函数/(x)---x3+2冰2-3a2x+b(0<a<l,bgR)(I)求函数/(x)的单调区间和极值；(II)若对任意的x£[〃+L〃+2],不等式|r(x)|V〃恒成立，求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解：(I)广⑴=-彳2+4or-3g=一(%一3〃)0：-〃)3a

3a令/(x)>0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令ff(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(一9,a)和(3a,+^)… 3 …・••当x=a时，f(x)极小值二一4a3+b；当x=3a时，f(x)极大值二b.(II)由If'(x)Ka，得：对任意的xg[a+1,a+2],-a<x2-4ax+3a2<a恒成立①g(x)<a则等价于g(x)这个二次函数《max g(x)=x2-4ax+3a2的对称轴x=2ag (x)>-ammin\D<a<1, a+1>a+a-2a(放缩法)即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。2]g(x)-x2-4ax+3a2在[a+1,a+2]上是增函数.2]g(x) -g(a+2)--2a+1.maxg(x) =g(a+1)--4a+4.min于是，对任意xg[a+1,a+2]，不等式①恒成立，等价于g(a+2)--4a+4<a，的汨4 〃解得―<a<1.g(a+1)--2a+1>-a 51.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x)>g(x)恒成立0h(x)-f(x)-g(x)>0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数f(x)-x3+ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为-3,/、t-6g(x)-x3+ x2-(t+1)x+3 (t>0)^2(I)求a,b的值;(II)当xg[-1,4]时，求f(x)的值域;(Ill)当xG［1,4］时，不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数t的取值范围。八 ff/(1)=—3 ［a=-3解：(I)f/(x)=3x2+2ax.・.|： ，解得「八［b=1+a 〔b=—2(II)由(I)知，f(x)在［—1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减又f(-1)=—4,f(0)=0,f(2)=—4,f(4)=16:.f(x)的值域是［—4,16］(I)令h(x)=f(x)—g(x)=—t-x2+(t+1)x—3xg［1,4］思路1：要使f(x)<g(x)恒成立，只需h(x)<0，即t(x2—2x)>2x—6分离变量思路2：二次函数区间最值二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f1(x)>0或f'(x)<0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集1a+1例4：已知aGR，函数f(x)=—x3+—7—x2+(4a+1)x.JL乙 乙(I)如果函数g(x)=f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；(II)如果函数f(x)是(-8,+8)上的单调函数，求a的取值范围.1解：f(x)=x2+(a+1)x+(4a+1).411(I)Vf(x)是偶函数，a=-1. 此时f(x)= x3—3x,f(x)=x2—3,JL乙 I令f'(x)=0，解得：x=±2d3.列表如下：x(一叱一2+''3)一27,3(一2%,，3,2%113)2v'13(2a/3,+b)f'(x)+00+

于(X)递增极大值递减极小值递增可知：f(x)的极大值为f(―2<3)=4<3, f(X)的极小值为f(2超)=-4<3.(n)\•函数f(x)是(-8,+8)上的单调函数，…、1 ・•.f(x)=x2+(a+1)x+(4a+1)>0,在给定区间R上恒成立判别式法4 1，， 八 八八 八 八则A=(a+1)2-4•—•(4a+1)=a2-2a<0， 解得：0<a<2,4综上，a的取值范围是{a|0<a<2}.-1 1 例5、已知函数f(x)=-x3+-(2-a)x2+(1-a)x(a>0).J 乙⑴求f(x)的单调区间;(II)若f(x)在［0，1］上单调递增，求a的取值范围。子集思想(I)f'(x)=x2+(2-a)x+1-a=(x+1)(x+1-a).1、当a=0时,f'(x)=(x+1)2>0恒成立,2、当a>0时，由f(x)=0,得x当且仅当x=-1时取“=2、当a>0时，由f(x)=0,得x=-1,x=a—1,且x<x,

2 1 2单调增区间：(-8,-1),(a-1,+8)则［0,1］是上述增区间的子单调增区间：(-则［0,1］是上述增区间的子(II)当•・・f(x)在［0,1］上单调递增，1、a=0时，f(x)在(-8,+8)单调递增符合题意2、［0,1］q(a-1,+8)，/.a-1<0 /.a<1综上，a的取值范围是［0，1］。三、题型二：根的个数问题题1函数题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6、已知函数f(x)=1x3—((k；Dx2,g(x)=1—kx，且f(x)在区间(2,+8)上为增函数.J 乙 J求实数k的取值范围；若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f(x)=x2-(k+1)x•・•f(x)在区间(2,+8)上为增函数，Af'(x)=x2-(k+1)x>0在区间(2,+8)上恒成立(分离变量法)即k+1<x恒成立，又x>2,・•・k+1<2，故k<1.・.k的取值范围为k<1(2)设h(x)=f(x)-g(x)=—h'(x)=x2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1)令h'(x)=0得x=k或x=1由(1)知k<1,①当k=1时，h'(x)=(x-1)2>0,h(x)在R上递增，显然不合题意…②当k<1时，h(x),h'(x)随x的变化情况如下表:x(-8,k)k(k,1)1(1,+8)h'(x)+00+h(x)/极大值k3k2 1- + ——6 2 3\极小值k—1/k-1由于一―<0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)=0有三个不同的实根，故k3 k2 1需---+—-->0，即(k—1)(k2—2k-2)<06 23综上，所求k的取值范围为k<1-v3根的个数知道，部分根可求或已知。

，/、 1例7、已知函数f(x)=aX3+-x2-2x+c(1)若％=-1是f(X)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(X)的极值;1(2)若g(X)=3bx2-x+d，在(1)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(X)的图像与函数f(X)的图像恒有含X=-1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解：(I)：f(x)的图像过原点贝°f，(-1)=3a-解：(I)：f(x)的图像过原点贝°f，(-1)=3a-1-2=0na=-1又・.・x=-1是f(X)的极值点，22万(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x--1的三个不同交点，1等价于f(X)=g(X)有含X=-1的三个根，即：f(-1)=g(-1)nd=--(b-1)1c1, 1八八/.X3+—X2-2X-2bx2-X-,(b-1)整理得：11即：X3--(b-1)x2-x+-(b-1)-0恒有含X--1的三个不等实根11(计算难点来了：)h(x)-x3--(b-1)x2-x+-(b-1)-0有含x--1的根，则h(x)必可分解为(x+1)(二次式)-0，故用添项配凑法因式分解，11x3+x2-x2-2(b-1)x2-x+2-(b-1)=0X2(X+1)——(b+1)X2+X——(b一1)=0x2(x+1)-—[(b+1)x2+2x-(b-1)]-0十字相乘法分解：X2(x+1)--[(b+1)x-(b-1)](x+1)-0(X+1)X2--(b+1)X+-(b-1)=011X3--(b-1)X2-X+-(b-1)=0恒有含X=-1的三个不等实根1八八1八八八等价于X2--(b+1)X+-(b—1)=0有两个不等于-1的不等实根。\ 1T ,1TY八A=-(b+1)2-4x(b-1)>0n(41 : nbg(-8,-1)5-1,3)53,十⑹(-1)2+1(b+1)+1(b-1)中0题2：切线的条数问题==以切点X为未知数的方程的根的个数0例7、已知函数f(x)=ax3+bx2+ex在点x处取得极小值一4,使其导数f'(x)>0的X的取值范围0为(1,3),求：(1)f(x)的解析式；(2)若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.(1)由题意得:f'(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)(x-3),(a<0).•.在(-8,1)上f'(x)<0；在(1,3)上f'(x)>0；在(3,+8)上f'(x)<0因此f(x)在x=1处取得极小值-40.・.a+b+c=-4①，f(1)=3a+2b+c=0②，f'(3)=27a+6b+c=0③a-由①②③联立得：Jb=6,•f(x)=-x3+6x2-9xc=-9(2)设切点Q(t,f(t)),y-f(t)=f,(t)(x-1)y=(-3t2+121-9)(x-1)+(-13+6t2-91)二(-3t2+121-9)x+1(3t2-121+9)-1(12-6t+9)二(-3t2+121-9)x+1(212-61)过(-1,m)m=(-3t2+121-9)(-1)+2t3-6t2g(t)=213-2t2-121+9-m=0令g'(t)=612-61-12=6(12-1-2)=0,求得：t=-1,t=2，方程g(t)=0有三个根。壬Jg(-1)>0 J-2-3+12+9-m>0 Jm<16需：1g(2)<0n[16-12-24+9-m<0n[m>-11

故：—n＜加＜16；因此所求实数机的范围为：(-11,16)题3：已知/(X)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、已知函数以霄)-右(机⑶/"桁+6)%产£过(解为常数).■=» Jar(I)当血=4时,求函数人工)的单调区间；(n)若函数y=人口在区间(1.+8)上有两个极值点，求实数皿的取值范围.1 7解：函数的定义域为R(I)当m=4时，f(x)=3x3—2x2+10xf'(x)=x2—7x+10,令f'(X)>0，解得X>5,或x<2.令f'(x)<0,解得2<x<5可知函数f(x)的单调递增区间为(—8,2)和(5,+8),单调递减区间为(2,5).(II)ff(x)=x2—(m+3)x+m+6,要使函数y=f(x)在(1,+8)有两个极值点,n/(x)=x2—(m+3)x，解得，解得m＞3““、a 1例9、已知函数f(x)=-x3+-x2J 乙TOC\o"1-5"\h\z，C C、 … ，、1,(agR,a丰0)(1)求f(x)的单调区间；(2)令g(x)=4x4+f(x)(x£R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1)f1(x)=ax2+x=x(ax+1)1c当a>0时，令f1(x)>0解得x<——或x>0，令f1(x)<0解得_—<x<0,

a a一 1 、 ，1-所以f(x)的递增区间为(—8,--)U(0,+8)，递减区间为(—,0).a a- c - 1 1当a<0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,——)，递减区间为(—,0)U(一，也).a a/、 1 a 1(2)g(x)=x4+-x3+x2有且仅有3个极值点4 3 2ngf(x)=x3+ax2+x-x(x2+ax+1)=0有3个根，则x=0或x2+ax+1=0,a<—2方程x2+ax+1-0有两个非零实根，所以A-a2—4>0,「.a<—2或a〉2而当a<—2或a〉2时可证函数y-g(x)有且仅有3个极值点其它例题：1(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)-ax3—2ax2+b(a〉0)在区间[—2,1]上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函数f(x)的解析式；(II)若t£[—1,1]时，f(x)+tx<0恒成立，求实数x的取值范围.解：(I)・.・/(x)—2a3—2ax2+b，.=f(x)-3ax2—4ax-ax(3x—4)令f1(x)=0，得x-0,x-4任[—2,1]23因为a〉0，所以可得下表:x[-2,0)0(0,1]f1(x)+0f(x)/极大X

因此f(0)必为最大值，・•.f0)=5因此b=5,；/(-2>-1(a+5,f(1)=-a+5,/.f(1)>f(-2),即f(-2)=-16a+5=-11,.二a=1,/.f(x)=x3—2x2+5.(H)Vf'(x)=3x2-4x，.二f'(x)+tx<0等价于3x2-4x+tx<0,令g(t)=xt+3x2-4x，则问题就是g(t)<0在tg[-1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，Ig(-1)<0 13x2-5x<0为此只需〈八、,八，即1 八，Ig(1)<0Ix2-x<0解得0<x<1,所以所求实数X的取值范围是[0,1].(根分布与线性规划例子)“、2 ，(1)已知函数f(x)=3x3+ax2+bx+c(I)若函数f(X)在X=1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3X+y=0平行，求f(x)的解析式;(II)当f(x)在xg(0, 1)取得极大值且在xg(1,2)取得极小值时，设点M(b-2,a+1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I).由f(x)=2x2+2ax+b,函数f(x)在x=1时有极值，・•.2a+b+2=0•・•f(0)=1c=1又•・•f(x)在(0,1)处的切线与直线3x+y=0平行,TOC\o"1-5"\h\z- 1，f(0)=b=-3故a=- 7分”、2 1 0 7分...f(x)=x3+—x2-3x+1

3 2f(0)>0・•・if(1)<0f(2)>0(II)解法一：由f'(x)=2x2+2ax+bf(0)>0・•・if(1)<0f(2)>0Ix=b-2令M(x,y), 则1Iy=a+1x+2>0・•.i2y+x+2<0故点M所在平面区域S为如图4ABC,4y+x+6>0易得4—2,0),B(-2,-1),C(2,筌)，m-1),£(。，-|),，°二2同时DE为4ABC的中位线，S八DEC1S3四边形abedy=kxy=kx4y+x+6=0得点G的横坐标为：x=--G 4k+1・•・所求一条直线L的方程为：x=0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设直线L方程为y=kx，它与AC,BC分别交于F、G,贝Uk>0,S=1四边形[y=kx 2由《 得点F的横坐标为：x----[2y+x+2=0 F 2k+1.S四四边形二S-SAOGE AOFD13 6 12 ,=_X—X -—x1x =1224k+12 2k+116k2+2k-5=0,1,5 1解得：k=[或k---(舍去)故这时直线方程为：y=-x2 8 21综上，所求直线方程为：x=0或y=5x 12分(II)解法二：由f(x)=2x2+2ax+b及f(x)在xe(0,1)取得极大值且在xe(1,2)取得极小值,尸>0,/(1)<0、f'(2)>0Ja=y-1[b=x+2 .'b>0即《2a+b+2<0 令M(x,y), 贝|4a+b+8>0x+2>0<2y+x+2<0 故点M所在平面区域S为如图4ABC,4y+x+6>0易得A(-2,0),B(-2, -1),，八3、C(2,-2),D(0,-1),E(0, --),S=22 aabc同时DE为AABC的中位线,1S=-SADEC 3四边形ABED・•・所求一条直线L的方程为：x=01另一种情况由于直线BO方程为：y=-x,设直线BO与AC交于H,y=—x 1由《 2 得直线L与AC交点为：H(-1,--)2y+x+2=0 2111ccc1cli1^11••S=2S=_x_x2=—S=S一S=x2x1——x2x=—•AABC' ADEC22 2'AH ^AB0 ^AOH 2 2 22…一，、一， ，、 1・•・所求直线方程为：％=0或y=飞x3(根的个数问题)已知函数3(根的个数问题)已知函数f(x)=