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文档简介
第十章定积分应用§1平面图形面积§2由平行截面面积求体积§3平面曲线弧长§4旋转曲面面积首页×1/13
§1平面图形面积一、直角坐标方程情形二、参数方程情形三、极坐标方程情形首页×2/13我们知道,有些曲线用直角坐标方程表示比较方便,而另外一些曲线以参数方程或极坐标方程给出更简单一些.所以我们在三种情形下分别讨论.首页×3/13一、直角坐标方程情形由连续曲线y=f(x)(≥0),以及直线x=a,x=b(a<b)和x轴所围曲边梯形面积为首页×由连续曲线y=f(x)(≤0),以及直线x=a,x=b
与x轴所围曲边梯形面积为
4/13形面积为A=.由此,易知下述结论成立:(i)由上、下两条连续曲线首页×假如f(x)在[a,b]上不都是非负,则所围图
与以及两条直线x=a与y=b(a<b)所围平面图形面积计算公式为A=(1)注当两条直线其中之一或两条缩为点时,仍可用公式(1).5/13例1
求由抛物线与直线x-2y-3=0所围平面图形面积A.解先求出抛物线与直线交点P(1,-1)与Q(9,3).用x=1把图形分为左、首页×所以A=A1+A2=.yxOx=1分别求得它们面积为右两部分,应用公式(1)6/13(ii)设平面图形由左、右两条连续曲线x=g1
(y)
,x=g2
(
y)及上、下两条平行直线y=c,y=d(c<d)所围成,
其面积计算公式为A=.上面例1中也可把抛物线方程和直线方程改写成
x=y2=g1(y),x=2y+3=g2(y),y∈[-1,3].并改取积分变量为y,便得A==首页×注
普通平面图形都能够归结为以上(i)(ii)两种基本图形,有些图形可能是以上两种基本图形组合.7/13二、参数方程情形设曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t
∈[,].(2)给出,在[,]上,y(t)连续,x(t)连续可微且(对于y(t)连续可微且情形可类似地讨论).记a=x(),b=x()(a<b或b<a),则由曲线C及直线x=a,x=b和x轴所围图形,其面积计算公式为A=(3)首页×8/13解摆线一拱可取t∈[0,2].所求面积为A==假如由参数方程(2)所表示曲线是封闭,即有x()=x(),y()=y().且在(,)内曲线本身不再相交,那么由曲线本身所围图形面积为A=(或).(4)此公式可由公式(1)和(3)推出,绝对值内积分,其正、负由曲线(2)旋转方向所确定.例2求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)一拱与x轴所围平面图形面积.首页×9/13例3求椭圆所围面积.解
化椭圆为参数方程
x=acost,y=bsint,t∈[0,2].由公式(4),求得椭圆所围面积为A==ab显然,当a=b=r时,这就等于圆面积首页×10/13三、极坐标方程情形设曲线C有极坐标方程由曲线C与两条射线
所围成平面图形,通常也称为扇形.首页×此扇形面积计算公式为A=.(5)11/13这仍可由定积分基本思想而得,即经过“分割、小扇形.(i)对区间[,]作任意分割T:射线=i(i=1,2,…,n-1)把扇形分成n个首页×近似求和、取极限”三个步骤来得到.12/13这时,第i个小扇形面积于是(iii)由定积分定义和连续函数可积性,当(ii)因为r()是连续,所以当很小时,在
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