高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.2省公开课一等奖新名师获

第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合应用1/532/53类型一组数问题【典例1】(1)(·衡水高二检测)我们把个位数比十位数小两位数称为“友好两位数”,则1,2,3,4四个数组成两位数中,“友好两位数”有________个.3/53(2)8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字,取其中三张卡片排放在一起,可组成多少个不一样三位数?4/53【解题指南】(1)要组成一个“友好两位数”可按个位数进行分类,然后先排个位数再排十位数.(2)百位数字不能为0,同时每位上数字不能重复.5/53【解析】(1)当个位数为1时,十位数能够是2,3,4任意一个,有3种选法;当个位数为2时,十位数能够是3,4任意一个,有2种选法;当个位数为3时,十位数只能是4,有1种选法;由分类加法计数原理,满足条件“友好两位数”有3+2+1=6(个).答案:66/53(2)先排放百位从1,2,…,7共7个数中选一个,有7种选法;再排十位,从除去百位数外,剩下7个数(包含0)中选一个,有7种选法;最终排个位,从除前两步选出数外,剩下6个数中选一个,有6种选法.由分步乘法计数原理,共能够组成7×7×6=294(个)不一样三位数.7/53【延伸探究】1.典例1(2)条件不变,问可组成多少个无重复数字三位密码?【解题指南】明确“三位密码”各个数位上数字能够是0.8/53【解析】完成“组成无重复数字三位密码”这件事,能够分为三步:第一步,选取左边第一个位置上数字,有8种方法;第二步,选取左边第二个位置上数字,有7种方法;第三步,选取左边第三个位置上数字,有6种方法.由分步乘法计数原理知,能够组成无重复数字三位密码共有8×7×6=336(个).9/532.典例1(2)中将条件“8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字”,改为“4张卡片正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7”.问可组成多少个不一样三位数?10/53【解析】要组成三位数,依据百位、十位、个位应分三步:第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.故由分步乘法计数原理,得共可组成7×6×4=168(个)不一样三位数.11/53【方法总结】数字问题处理方法及注意事项方法:对于组数问题,可从数位入手,逐位探究可能选取方法,再利用两个原理计算.普通按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先策略分步完成;假如正面分类较多,可采取间接法求解.12/53注意事项:处理组数问题,应尤其注意其限制条件,有些条件是隐藏,要善于挖掘,排数时要注意特殊位置、特殊元素优先标准.13/53【赔偿训练】用0,1,2,3,4这5个数字能够组成多少个按以下要求无重复数字?(1)四位密码.(2)四位数.(3)四位奇数.14/53【解析】(1)完成“组成无重复数字四位密码”这件事,分为四个步骤:第一步,取左边第一位上数字,有5种选取方法;第二步,取左边第二位上数字,有4种选取方法;第三步,取左边第三位上数字,有3种选取方法;第四步,取左边第四位上数字,有2种选取方法.15/53由分步乘法计数原理知,能够组成不一样四位密码共有N=5×4×3×2=120(个).16/53(2)方法一:完成“组成无重复数字四位数”这件事分为四个步骤:第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有4种选取方法;第二步、第三步、第四步与(1)类似,分别有4,3,2种选取方法.17/53由分步乘法计数原理知,能够组成不一样四位数共有N=4×4×3×2=96(个).方法二:与第(1)问区分在于:四位密码首位能够是0,而四位数首位不能够为0.所以,只需求首位为0四位密码有多少个,由(1)总数减去首位为0个数即为所求.18/53当首位是0时,第二位有4种选取方法,第三位有3种选取方法,第四位有2种选取方法,由分步乘法计数原理知,首位是0四位密码共有1×4×3×2=24(个).故无重复数字四位数共有120-24=96(个).19/53(3)完成“组成无重复数字四位奇数”这件事,分两类方案.第一类:这个四位奇数个位数字是1,分三个步骤要去完成.第一步,选取千位上数字,有3种(从2,3,4中选)不一样选法;20/53第二步,选取百位上数字,有3种不一样选法;第三步,选取十位上数字,有2种不一样选法.由分步乘法计数原理知,该类中四位奇数共有1×3×3×2=18(个).第二类:这个四位奇数个位数字是3,也是分三个步骤去完成.21/53详细求法与个位数字是1时完全一样,因而这么奇数也是18个,由分类加法计数原理知,共可组成无重复数字四位奇数18+18=36(个).22/53类型二涂色问题【典例2】(1)(·临沂高二检测)用五种不一样颜色给图中标有(1),(2),(3),(4)各个部分涂色,每部分涂一个颜色,相邻部分涂不一样色,则涂色方法共有

(

)A.96种 B.320种C.180种 D.240种23/5324/53(2)如图,一个地域分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不一样着色方法共有__________种.(以数字作答)25/53【解题指南】(1)先涂区域(3),再涂其它3个区域.(2)以③⑤同色与不一样色分类讨论求解.26/53【解析】(1)选B.分4步:第1步先涂(3)有5种,其余部分都有4种涂法,故总共有N=5×4×4×4=320(种).(2)第1类:当③与⑤同色时有4×3×2×2=48种不一样涂色方法.27/53第2类:当③与⑤不一样色时,有4×3×2×1×1=24种不一样涂色方法.故共有48+24=72种不一样涂色方法.答案:7228/53【方法总结】涂色问题三种求解方法(1)按区域不一样以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论,适合用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析.(3)将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题.29/53【巩固训练】如图所表示4块试验田,现有4种不一样作物可供选择种植,每块试验田种植一个作物,相邻试验田(有公共边)不能种植同一个作物,则不一样种植方法有________种.30/53【解题指南】可分类完成此事件:A,D种相同作物,A,D种不一样作物两类.31/53【解析】依题意,可分两类第一类:若A,D种植同种作物,则A,D有4种不一样种法,B有3种种植方法,C也有3种种植方法,由分步乘法计数原理,共有4×3×3=36种种植方法.32/53第二类:若A,D种植不一样作物,则A有4种种植方法,D有3种种植方法,B有2种种植方法,C有2种种植方法,由分步乘法计数原理,共有4×3×2×2=48种种植方法.总而言之,由分类加法计数原理,共有N=36+48=84种种植方法.答案:8433/53【赔偿训练】如图所表示,用5种不一样颜料给4块图形(A,B,C,D)涂色,要求共边两块颜色互异,求有多少种不一样涂色方案.34/53【解析】方法一:按A,C颜色相同或不一样进行分类.若A,C颜色相同,则A有5种涂色方法,B有4种涂色方法,D有4种涂色方法,故共有5×4×4=80(种)涂法.若A,C颜色不一样,则A有5种涂色方法,C有4种涂色方法,B有3种涂色方法,D有3种涂色方法,故共有5×4×3×3=180(种)涂法.35/53依据分类加法计数原理,共有80+180=260(种)不一样涂色方案.方法二:按涂色种类进行分类.第一类:涂4种颜色,分四步,A有5种涂法,B有4种涂法,C有3种涂法,D有2种涂法.故共有5×4×3×2=120(种)涂法.36/53第二类:涂3种颜色,则A,C颜色相同或B,D颜色相同.当A,C颜色相同时,A,C有5种涂法,B有4种涂法,D有3种涂法.故共有5×4×3=60(种)涂法.当B,D颜色相同时,同理也有60种不一样涂法.故共有60+60=120(种)涂法.37/53第三类:涂2种颜色,则A,C颜色相同,B,D颜色相同,A,C有5种涂法,B,D有4种涂法.故共有5×4=20(种)涂法.依据分类加法计数原理,共有120+120+20=260(种)不一样涂色方案.38/53类型三简单选(抽)取问题【典例3】(1)(·郑州高二检测)某地政府召集5家企业责任人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人讲话,则这3人来自3家不一样企业可能情况种数为(

)A.14

B.16

C.20

D.4839/53(2)(·南昌高二检测)现准备将6台型号相同电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校最少2台,其它小学允许1台也没有,则不一样分配方案共有多少种?40/53【解题指南】(1)能够分成两类,一类是甲企业有1人讲话另两个讲话人出自其余4家企业;一类是3人全来自4家企业.(2)以A,B两所希望小学所得电脑数为标准分类求解.41/53【解析】(1)选B.分两类,第一类:甲企业有1人讲话,有2种情况,另两个讲话人出自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理N1=2×6=12;第二类:3人全来自4家企业,有4种情况.综上可知,有N=N1+N2=12+4=16(种)情况.42/53(2)依据题意,①先给A,B两所希望小学分配电脑,若每个学校2台,因为电脑型号相同,故只有1种情况,其次将剩下2台电脑分给其它3所小学,若一所小学2台,其它没有,有3种情况,若2所小学各1台,其它一所小学没有,有3种情况,共1×(3+3)=6种情况.43/53②若A,B两所希望小学其中一所得3台,另一所2台,有2种情况,其次将剩下1台电脑分给其它3所小学,有3种情况,共3×2=6种情况,③若给A,B两所希望小学各分配3台电脑,有1种情况,④若A,B两所希望小学其中一所得4台,另一所2台,有2种情况,综上可得,共6+6+1+2=15种不一样分配方案.44/53【方法总结】选(抽)取问题解答策略对于选(抽)取问题,普通带有一些限制条件,其解答方法是:(1)当数目不大时,可用枚举法.为确保不重不漏,可用树形图法、框图法及表格法进行枚举.45/53(2)当数目较大时,符合条件情况较多时,可用间接法计数.但普通还是依据选(抽)次序分步,依据选(抽)元素特点分类,利用两个计数原理进行处理.46/53【巩固训练】(1)设某班有男生25名,女生30名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不一样选法?(2)用三只口袋装小球,一只装有5个白色小球,一只装有6个黑色小球,另一只装有7个红色小球,若每次从中取两个不一样颜色小球,共有多少种不一样取法?47/53【解析】(1)第1步,从25名男生中选出1人,有25种不一样选法;第2步,从30名女生中选出1人,有30种不一样选法.依据分步乘法计数原理,共有N=30×25=750种不一样选法.48/53(2)第一类方法:取白球、黑球,共有N1=5×6=30种取法;第二类方法:取黑球、红球,共有N2=6×7=42