高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1教案省公开课一等奖新名师获奖课件

3.3

二倍角三角函数(一)1/32【知识提炼】二倍角公式及其变形sinαcosβ+cosαsinβ2sinαcosαcosαcosβ-sinαsinβ2cos2α-11-2sin2α2/32【即时小测】1.思索以下问题:(1)公式T2α成立条件是什么?提醒:α≠kπ+,α≠kπ±,k∈Z.(2)二倍角公式应用过程中,“角”和三角函数式“次数”是怎样改变?提醒:两种改变形式:一是“角”变二倍,“次数”降低为一次;二是“角”变为原来二分之一,“次数”升高为二次.3/322.计算1-2sin222.5°结果等于(

)

【解析】选B.1-2sin222.5°=cos45°=.4/323.sin15°sin75°值为(

)

【解析】选B.sin15°sin75°=sin15°cos15°=×2sin15°·cos15°=sin30°=.5/324.2cos275°-1=________.【解析】2cos275°-1=cos150°=-cos30°=-.答案:-6/325.若tanα=2,则tan2α=________.【解析】tan2α=答案:

7/32【知识探究】知识点正弦、余弦、正切二倍角公式观察如图所表示内容,回答以下问题:问题1:二倍角含义是什么?其有哪些变形?问题2:二倍角公式及其变形各有什么特点?它们怎样使用?8/32【总结提升】1.对二倍角中“倍”说明(1)“倍”含有广泛含义.比如,2α是α二倍角,一样地,4α是2α二倍角,2nα是2n-1α二倍角,α是二倍角,3α是二倍角等.(2)在详细应用中可先对角进行观察,寻求待求角与已知角之间差异,再决定用哪种“倍”关系.9/322.二倍角公式应用(1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证实等运算.(2)变形应用公式主要表达在化异角为同角、化异次为同次、逆用公式等方面,其中二倍角余弦公式最灵活.如:①1+cos2α=2cos2α;②cos2α=;③1-cos2α=2sin2α;④sin2α=,不但仅是逆用,更主要是表达了幂指数改变,其中①③是从一次幂向二次幂转换,所以把它们称为升幂公式,②④则是从二次幂向一次幂转换,所以把它们称为降幂公式.10/32【题型探究】类型一求二倍角函数值【典例】1.若sinα=,则cos2α=________.2.已知

值是________.11/32【解题探究】1.典例1中条件和所求式中角有什么联络?提醒:两角为二倍角关系.2.典例2中

是哪个角二倍?这个角与

有什么关系?提醒:

12/32【解析】1.由sinα=,得cos2α=1-2sin2α=答案:2.因为

所以

答案:-13/32【方法技巧】用二倍角公式求解给值求值问题惯用策略(1)当已知和待求式含有三角函数平方式时,需先降幂,再求解.(2)先探寻到已知和待求式中角倍、单角关系,再正用或逆用二倍角公式求解.(3)当式子中包括角较多时,要探寻其间关系,化异角为同角.14/32【变式训练】已知

求sin2α,cos2α,tan2α值.【解题指南】由sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α知应先求出sinα,cosα值.15/32【解析】因为

所以sinα=-cosα,代入sin2α+cos2α=1,得cos2α+cos2α=1.因为

所以sin2α=2sinαcosα=cos2α=cos2α-sin2α=tan2α=16/32类型二化简与证实三角函数式【典例】1.化简:=________.2.证实:17/32【解题探究】1.典例1中

有什么关系?提醒:

2.典例2中左、右两边差异是什么?怎样消除差异?提醒:左边为弦函数高次分式,右边为切函数,将左边正向利用二倍角公式进行约分化简即可证实.18/32【解析】1.原式=

答案:119/322.左边==tanθ=右边.20/32【延伸探究】(变换条件)若将典例1式子改为“”,结果怎样?【解析】原式=答案:

21/32【方法技巧】1.化简三角函数式策略普通地,三角函数式化简明从降低角种类,降低函数种类,改变函数式运算结构入手,经过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等伎俩,使函数式结构化为最简形式.22/322.证实三角恒等式标准与步骤(1)观察恒等式两端结构形式,处理标准是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,假如两端都比较复杂,就将两端都化简,即采取“两头凑”思想.(2)证实恒等式普通步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”、变换式子结构“变量集中”等标准,设法消除差异,到达证实目标.23/32【变式训练】化简以下各式:

24/32【解析】(1)原式=(2)方法一:原式=方法二:原式=

25/32易错案例由条件求值【典例】(·榆林高一检测)已知

则sinα=____________.或26/32【失误案例】27/32【错解分析】分析上面解析过程,你知道错在哪里吗?提醒:错误根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽略了角范围致误,实际上本题由sin(2α-β)=>0,可深入缩小角2α-β范围.28/32【自我矫正】因为

所以π<2α<2π,0<-β<,所以π<2α-β<.由sin(2α-β)=>0,得2π<2α-β<,所以cos(2α-β)=.因为-<β<0,

29/32所以cos2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)·cosβ-sin(2α-β)·sinβ

由cos2α=1-2sin2α,得sin2α=,又<α<π,所以sinα=.答案:30/32【防范办法】1.审题问题已知条件角度认识不到位,不能够结合三角函数值符号,将已知角范围深入缩小,在本例中求得sin(2α-β)=

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