山西省临汾市洪洞县大槐树镇第二中学高三数学理联考试题含解析

山西省临汾市洪洞县大槐树镇第二中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A．2

B．4

C．5

D．7参考答案：B略2.（理科）地球北伟45°纬度圈上有A、B两点，点A在东经30°处，点B在东经120°处，如图，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是

（

）

A．4：3

B．

C．

D．参考答案：D略3.执行右面的程序框图，若输出结果是，则输入的为A．

B．

C．

D．参考答案：B4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1，半圆锥的高为2，圆柱的高为2，代入圆锥和圆柱的体积公式，可得答案．【解答】解：该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1，半圆锥的高为2，圆柱的高为2，故组合体的体积：，故选B．【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．5.已知集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈|2＜x≤6}，全集U＝A∪B，则?UB＝（）A.{1，2，7} B.{1，7} C.{2，3，7} D.{2，7}参考答案：A试题分析：由题设知，，，则．所以，故正确答案为A．考点：集合的运算．6.若集合则“”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7.“”是“恒成立”的（

）A.充分且不必要条件

B.必要且不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：A8.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋

bi，其中虚数有A．30个

B．42个

C．36个

D．35个参考答案：Cb有6种取法，a也有6种取法，由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数9.要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位 B．向右平移单位C．向左平移单位 D．向右平移单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，故选C．10.已知函数的图像的一条对称轴是，则函数的最大值是

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm．参考答案：考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：求出球的体积，利用圆锥的体积与球的体积相等，求出圆锥的高，然后求出圆锥的母线长即可．解答：解：由题意可知球的体积为：=，圆锥的体积为：=，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以，所以h=4，圆锥的母线：=．故答案为：．点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．12.在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为

．参考答案：【答案解析】(0，15)或(－8，－1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（－10,0）或（－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，15)或(－8，－1).【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.13.已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．参考答案：﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．14.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为

▲

．参考答案：略15..已知复数（，i是虚数单位）的对应点z在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____参考答案：π【分析】先把复数分母有理化，再根据z在第四象限和，可得关于x，y的不等式组，进而可得点P在平面上形成的区域面积。【详解】由题得，z在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性。16.是R上的减函数，其图像经过点和，则不等式的解集是

.参考答案：17.的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）根据定义在集合A上的函数y=，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①

输入数据，计算出；②

若，则数列发生器结束工作；若，则输出，并将反馈回输入端，再计算出。并依此规律继续下去。现在有，。（1）

求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；（2）

若，记，求数列的通项公式；（3）

在（2）得条件下，证明。参考答案：解析：（1）当，即时，由，可知，又，即故对任意

有，由

有，

有；以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列………………4分（2）由，可得，，即。令，则，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列。，即=+1……..9分（3）要证，即证，只需证，当时，有，因为，当时，由。所以，当时

<1+1+又当m=1时，所以对于任意，都有所以对于任意，都有……..14分19.（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性．专题： 导数的综合应用．分析： （1）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}当x＞0时，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜，则f'（x）＜0，f（x）递减；若x＞，则f'（x）＞0，f（x）递增．递增区间是（﹣，0）和（，+∞）；递减区间是（﹣∞，﹣）和（0，）．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．当k＞0时，f'（x）=x?（2lnx+1）设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）即a2lna+a2﹣1=0（*）显然，a=1满足（*）而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0∴（*）有唯一解a=1此时k=f'（1）=1再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质．20.已知是关于的方程的根，证明：（Ⅰ）;（Ⅱ）.参考答案：略21.已知两圆C1：x2+y2﹣2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且|PC1|+|PC2|=2．（1）求动点P的轨迹M的方程；（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C1C|=|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；圆与圆的位置关系及其判定．专题：存在型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|可知动点P的轨迹是以C1和C2为焦点、长轴长为2a=的椭圆，从而易求椭圆方程即所求轨迹方程；（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则有△＞0，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=﹣1，解出方程的解k，再检验是否满足△＞0即可；解答：解：（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2（﹣1，0），∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|，∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C1（1，0）和C2（﹣1，0）为焦点，长轴长为2a=的椭圆，所以a=，c=1，b===1，∴椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为；（2）假设存在这样的直线l满足条件，当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x﹣2），由方程组得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0①，依题意△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，即﹣2k2+1＞0，解得﹣＜k＜，当﹣＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），方程①的解为，，则=，∴y0=k（x0﹣2）=k（﹣2）=，要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=﹣1，∴k=﹣1，化简得0=﹣1，显然不成立；

所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的方程，考查存在性问题，存在性问题往往先假设存在，然后以此为条件进行推理论证，检验是否矛盾．22.某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为5:2）．（1）补充完整2×2列联表中的数据，并判断是否有99%的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；

复发未复发总计甲方案

乙方案2

总计

70

（2）从复发的患者中抽取3人进行分析，求其中接受“乙方案”治疗的人数X的数学期望．附：0.1000.0500.0100.001k2.7063