广西壮族自治区柳州市市第二十一中学高三数学理上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区柳州市市第二十一中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线的右焦点为，是双曲线上任意一点，点的坐标为，则的最小值为A．9

B．

C．

D．参考答案：答案：B2.设a，b均为不等于1的正实数，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】首先通过对数运算可判断出时，，得到充分条件成立；当时，可根据对数运算求出或或，得到必要条件不成立，从而可得结果.【详解】由，可得：，则，即可知“”是“”的充分条件由可知，则或或或可知“”是“”的不必要条件综上所述：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：A3.已知集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：D4.下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是

A．①② B．①③ C．③④ D．②④参考答案：D略5.已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数 B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期 D．函f（x）在（0，）内是减函数参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；化简函数f（x），求出它的最小值为；化简f（x），求出它的最小正周期为；判断f（x）在x∈（0，）上无单调性．【解答】解：对于A，函数f（x）=cos4x+sin2x，其定义域为R，对任意的x∈R，有f（﹣x）=cos4（﹣x）+sin2（﹣x）=cos4x+sin2x=f（x），所以f（x）是偶函数，故A正确；对于B，f（x）=cos4x﹣cos2x+1=+，当cosx=时f（x）取得最小值，故B正确；对于C，f（x）=+=+=+=+=+，它的最小正周期为T==，故C正确；对于D，f（x）=cos4x+，当x∈（0，）时，4x∈（0，2π），f（x）先单调递减后单调递增，故D错误．故选：D．6.在中，。若点D满足=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知函数的反函数为，则等于

A.0

B.1

C.2

D.4参考答案：A8.设函数f（x）=ex﹣e﹣x，g（x）=lg（mx2﹣x+），若对任意x1∈（﹣∞，0]，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2），则实数m的最小值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．0参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．【解答】解：∵f（x）=ex﹣e﹣x在（﹣∞，0]为增函数，∴f（x）≤f（0）=0，∵?x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴g（x）=lg（mx2﹣x+）的值域包含（﹣∞，0]，当m=0时，g（x）=lg（﹣x+），显然成立；当m≠0时，要使g（x）=lg（mx2﹣x+）的值域包含（﹣∞，0]，则mx2﹣x+的最大值大于等于1，∴，解得﹣≤m＜0，综上，﹣≤m≤0，∴实数m的最小值﹣故选：A．【点评】本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．9.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则A．2

B．3

C．4

D．0参考答案：10.函数的图象的一个对称中心是(

)A．

B．

C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．参考答案：512.下列结论：①若命题命题则命题是假命题；②已知直线则的充要条件是；③命题“若则”的逆否命题为：“若则”其中正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：①③13.将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

参考答案：答案：414.已知函数，若，f(x)≥mx，则m的取值范围是________。参考答案：[-2,e]15.过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．【解答】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：16.已知函数y=f（x）的图象在点M（3，f（3））处的切线方程是y=x+，则f（3）+f′（3）的值为

．参考答案：2【考点】导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先将x=3代入切线方程可求出f（3），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（3）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（3）=×3+=，切点处的导数为切线斜率，所以f'（3）=，所以f（3）+f′（3）==2故答案为：2．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．17.（文）设，满足条件则点构成的平面区域面积等于

.参考答案：2作出不等式对应的平面区域阴影部分，，由图象可知四边形为正方形，且，所以正方形的面积为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）已知函数．（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明．参考答案：（1）解：因为，所以，函数的图像在点处的切线方程；…………3分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………4分令，则，……4分令，则，所以函数在上单调递增．………5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，…6分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．…………7分所以．故整数的最大值是3．………8分（3）由（2）知，是上的增函数，……………9分所以当时，．…10分即．整理，得．………………11分因为，所以．…12分即．即．………………13分所以．………14分略19.设，．（I）当时，求曲线在处的切线方程；（II）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（III）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．参考答案：（I）当时，，，，，

…所以,曲线在处的切线方程为.

…

（II）存在，使得成立，等价于：，考察，，

2

—+

递减极小值递增1

由上表可知：，，所以满足条件的最大整数；

（III）对任意的，都有成立,等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，由（II）知，在区间上，的最大值为。，下证当时，在区间上，函数恒成立。当且时，，记，，

.

当，；当，，所以,函数在区间上递减，在区间上递增，，即，所以当且时，成立，即对任意，都有.

略20.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形．（1）求此圆锥的表面积；（2）求此圆锥的体积．

参考答案：（1）因为，所以底面圆周长为，……………1分所以底面圆的面积为，…………2分所以弧长为，…3分又因为，则有，所以．…………4分扇形ASB的面积为所以圆锥的表面积=…………7分（2）在中，.，…10分所以圆锥的体积．…14分

21.（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。参考答案：解析:解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形，

，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。

……4分（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE

……8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.

FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG==故二面角F-BD-A的大小为arctan.

………………12分解法二:(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.从而，.所以,,.,.所以EF⊥BE,EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)M（0，0，）.P（1,,0）.从而=（，）.于是所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM∥平面BCE.

………………8分(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1，1，0)，

即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小为.

……12分22.（