磁场的矢势及其微分方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

2.5

磁场矢势及其微分方程2.5.1

矢势稳恒磁场基本方程是：稳恒磁场是无源有旋场

静电场是有源无旋场，因为其无旋性，能够引入标势来描述（

0）。而磁场因为其有旋性不能引入一个标势来描述整个空间磁场。不过依据磁场无源性，我们能够引入另一个矢量来描述它。

依据矢量场论，若

B

0，B能够表示为矢量旋度，即

(

A)

0，

B

A，A称为磁场矢势。1/242.5

磁场矢势及其微分方程2.5.1

矢势稳恒磁场基本方程是：稳恒磁场是无源有旋场

静电场是有源无旋场，因为其无旋性，能够引入标势来描述（

0）。而磁场因为其有旋性不能引入一个标势来描述整个空间磁场。不过依据磁场无源性，我们能够引入另一个矢量来描述它。

依据矢量场论，若

B

0，B能够表示为矢量旋度，即

(

A)

0，

B

A，A称为磁场矢势。2/24

由B

A，能够看出：由矢势A能够确定磁场B。不过由磁场B并不能唯一地确定矢势A。比如：沿z轴方向均匀磁场B0（为常数）求A

?即Bx

By

0，Bz

B0依据

A

B则有有解：①

有另一解：②

还存在其它解3/24普通说来，若A是磁场B矢势，那么

也是同一个B矢势（

为任意连续可微标量函数）。因为

0

A’

A

B表明：A

与A对应同一个磁场B，也就是说，对于一个磁场B，A不是唯一，它能够相差一个任意标量函数梯度。对任一给定磁场B，矢势可按照A

A’=A

变到A’。这种变换称为规范变换。磁场含有规范变换下不变性。

4/24

既然，规范变换A

A’=A

，A存在这么任意性，能够对A加上一个限制条件，使问题简化。

是任意标量函数，对

限制就是对A限制。可选一个特定

使问题简化。

通常要求

A

0称为库仑规范

下面说明对A加上限制条件

A

0总是能够，即总能够找到一个A满足

A

0。假设有一个不满足

A

0A可另取一个解

取

为泊松方程

2

u一个解，用这么A去作规范变换，那么变换后A’满足：这个A’不影响物理结果，总能够找到适合

A’

0矢势A’。以后所取A都满足

A

0。5/242.5.2矢势A微分方程静磁场基本方程之一对各向同性非铁磁介质B

H，均匀介质

常数。能够写成：又

关于A微分方程注意：这是矢量方程，假如写分量式（直角坐标中）每个分量满足泊松方程6/24Ai满足方程和静电场中电势

方程有相同形式静电场中，泊松方程解：对比静电势解，可写写成矢量式：而且已证实

A

0。说明：此式在2.2中为了求

B，令：所以，上式确实是矢势微分方程解。7/24线电流分布全空间电流分布给定时，可用上式求解磁场。下面举例由矢势A求磁场。在2.2中，从毕奥沙伐尔定律出发，导出磁场微分方程。本节把磁场散度，旋度作为基本定律，从微分方程出发引入矢势A，由A方程取得特解求出A取旋度即可求出B。毕奥沙伐尔沙定律8/24例应用矢势A，求在空气中长直载流细导线磁场。P点坐标是（x,y,0），取导线沿z轴，P点到导线垂直距离为R，电流元Idz到P点距离为细导线jdV

Idz解

(1)先求导线外任一点P矢势A9/24A方向即电流方向，此时I沿z方向，则：当L>>R时，

10/24(2)求B利用柱坐标求旋度公式则

只有z分量

（Az仅与R相关）

得到11/24还能够用另外一个方法令

用公式：

12/242.5.3关于矢量势A物了解释●矢量势与磁通量关系：

矢量势A本身没有直接物理意义，有物理意义是B。●直到上世纪60年代普遍认为：13/24因为B

A，则在A附加任一个

，对应B不变。即：

，而

可见同一个B对应无数个A，A是由数学上引进，通常认为有物理意义B是而不是A。上世纪60年代，试验证实了阿哈朗诺夫和玻姻提出构想，A能够直接影响体系量子行为。●

A-B效应14/24

起初螺线管不通电流，当然管内外B和A均为零。电子行为用波函数表示，因为两束电子有相位差，在屏上得到一幅干涉图象。然后螺线管通以电流，这时也可得到一幅干涉图象，但其干涉条纹极值位置较前一幅有了变动，此时管外仍是B

0，但A

0。所以A对电子量子行为产生影响，称为A-B效应。

试验指出：

电子束K射向双缝，缝后放一无限长密绕螺线管

，电子穿过双缝后被一透镜聚焦在屏y上，

上加以电压以确保电子只在螺线管外飞行。这么电子行为仅与管外空间性质相关。15/24●关于矢量势A另一个物了解释在静电场中在静磁场中可见：

与j相当，

与A相当。在静电场中，电势

表示将单位正电荷从无限远处移至电场某点外力克服库仑力所作功。用表示，A也与

有类似解释。它表示在静磁场中，将一个正电荷从无限远处移到稳恒磁场某点总外力克服洛仑兹力所需冲量。16/24

矢量势A就是移动单位正电荷到电流磁场某点时场电磁动量值。这就是对定义A物了解释。

能够证实:静磁场中某点矢量势A在数值上等于将单位正电荷从无限远处移到该点外力克服洛仑兹力所需施加冲量。在力学中，外力对一个物体所加冲量增加了物体机械动量。在电磁场中，所加这部分冲量在电磁场中储备起来，增加了电磁场动量。将电荷q从A移动到B时，外力所加冲量应等于电磁场动量增量。G——电磁场动量17/24

将电荷q从A点迟缓地至B点，在移动过程中，j’所产生磁场对移动电荷产生洛仑兹力。因移动电荷q需要时间，故外力在q上需要施加冲量。证实

为简单起见，假定产生磁场稳定电流只有一个闭合线圈电流j’。如图示。这个假设是允许，因为空间任何稳恒电流分布总能够分成许多闭合电流管迭加。

另首先，q在移动过程中，在j’处也会产生磁场，j’受到磁场力，外力克服这个磁场力也要冲量。把这两部分冲量加到起来，就得到需要结果。18/24j’在q处产生磁场为q所受洛仑兹力为在q处外力在dt时间内克服洛仑兹力所加冲量为：q以速度v运动，在j’处产生磁场为：取负号原因是

R表示从q到j’位移19/24当q移动dt时间，在j’上所施加冲量（外力克服洛仑兹力所需冲量）外力所施加总冲量为：20/24则：将电荷q从A到B所加总冲量为：21/24相关

积分公式22/24

假如A点在无限远处，AA

0得到所需结果。静磁场中某点矢量势A在数值上等于将单位正电荷从无限远处移到该点外力克服洛仑兹力所需施加冲量。此结果和移动点电荷路径无关。在力学中，外力对一个物体所加冲量增加了物体机械动量。在电磁场中，所加这部分冲量在电磁场中储备起来，增加了电磁场动量。