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由图可知，插值多项式与原函数之间有一定误差。那么，怎样预计这个误差？依据上节例题，是否能够得出结论：插值多项式次数越高，计算结果越准确？插值余项公式和对高次插值多项式问题分析给出了上述两个问题答案。1第1页第三章插值法和最小二乘法3.2插值多项式中误差计算机数值方法2第2页3.2插值多项式中误差一、插值余项满足插值条件：3第3页这就意味着插值多项式存在着截断误差,而通常情况下f(x)准确值都是未知，那么我们该怎样预计这个截断误差呢？定理：设在含节点区间[a,b]上n+1次可微，是关于给定n+1个节点n次插值多项式，则对于，存在与x相关，使得n次插值多项式余项（即截断误差）为：4第4页证:(1)(2)待定函数5第5页(3)(4)6第6页依据Rolle定理,再由Rolle定理,因为依这类推所以7第7页所以(5)(5)式代入(2)式，得：(6)8第8页设实用插值余项预计式：则(7)则(7)则(7)则(7)9第9页解:例:则(6)(7)10第10页11第11页二、高次插值多项式问题用f(x)插值多项式迫近f(x)时，是否插值节点越密（即多项式次数越高），误差越小？从余项表示式能够看出，插值多项式与被插值函数迫近程度与节点数目和位置是相关。对一些函数，适当提升插值多项式次数，会提升计算精度，但并非插值多项式次数越高，其精度就越高。原因以下：12第12页1）加密插值节点即使能够使插值函数与被插值函在更多节点上取值相等，但却可能使插值多项式函数在一些非节点处震荡加大，因而可能使非节点处误差变大。2）节点加密（多项式次数增高）会增加计算次数，不利于控制舍入误差.13第13页龙格现象(Runge现象)：插值多项式不收敛现象例式，并作图比较.解:14第14页不一样次数Lagrange插值多项式比较图-5-4-3-2-1012345-1.52-1-0.500.511.5n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)Runge现象15第15页Runge现象表明：并不是插值多项式次数越高,插值效果越好,精

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