随机抽样和抽样分布

随机抽样和抽样分布一、总体与样本1、总体与个体被研究对象的全体称为总体，组成总体的每一个元素称为个体。总体有限总体：个体数是有限的（当个体数非常多时，可视为无限总体）无限总体第2页,共27页，2024年2月25日，星期天一、统计量人们取得样本后，并不能直接利用它作出对总体分布的推断或分布参数的估计，而是对取得的数据进行数学加工，改造成具有较好性质且便于应用的形式。在数理统计学中，往往通过构造一个合适的依赖于样本的函数来解决问题，这个函数称为统计量。1、定义设为取自总体X的样本，g=是样本函数，且函数中不含任何未知参数，则称g为一个统计量。第3页,共27页，2024年2月25日，星期天2、样本从同一总体中抽取出若干个体组成的集合称为样本。样本中每一个体称为样品。样本中包含的样品个数称为样本容量。例如，从某批1万只显像管中抽取100只做寿命调查。其中，样本为：100只显像管的寿命样品：抽取出的每一只显像管的寿命样本容量：100只第4页,共27页，2024年2月25日，星期天3、随机抽样——简单随机样本从总体中抽取样本可以有不同的方法，为了使样本能对总体作出比较可靠的推断，对抽样方法有以下要求：（1）抽样是随机的。即总体的每一个体都等可能地被抽取；（2）样本的分量是相互独立的随机变量，即每一分量的观测结果并不影响其它分量的观测结果。这样的抽样称为简单随机抽样，得到的样本称为简单随机样本。第5页,共27页，2024年2月25日，星期天结论：若

是从总体X中抽取的简单随机样本。则相互独立，且每一个与X同分布。抽取样本的方式有放回和不放回两种。从无限总体中无论是放回还是不放回，得到的样本都可看成简单随机样本。从有限总体中，放回抽样得到简单随机样本；不放回抽样得到的不是简单随机样本。但当总体容量Ｎ很大，样本容量n较小（通常）时，不放回抽样可近似看成放回抽样。第6页,共27页，2024年2月25日，星期天二、样本的数字特征1、样本均数2、样本方差样本标准差样本变异系数第7页,共27页，2024年2月25日，星期天例

开胸顺气丸崩解时间X～N(μ,σ2)．随机抽取5丸崩解时间为:36,40,32,41,36(min),求样本均值与样本方差解364032413612961600102416811296第8页,共27页，2024年2月25日，星期天3、标准误：样本均数的标准差，记为且有证明：设总体均数为EX=，方差DX=即得证但在实际抽样研究中，DX通常未知，故采用样本标准差S来代替总体标准差，因此得到标准误的计算公式为第9页,共27页，2024年2月25日，星期天4、其它常用的数字特征众数它是随机变量的概率函数或概率密度函数取最大值所对应的变量值极差它等于随机变量有限个样本中最大值与最小值之差中位数它是累积概率分布或者分布函数等于50%所对应的变量值。换言之，随机变量的取值大于它的概率和小于它的概率恰好相等，在概率意义上它位于正中。第10页,共27页，2024年2月25日，星期天（2）若，则5、与的运算性质（1）若样本值（i=1,2,…n)

则证明略第11页,共27页，2024年2月25日，星期天一、正态变量的独立可加性设n个相互独立的变量都服从正态分布，（i=1,2,…n)其中(i=1,2,…n)是不全为零的常数。2、正态变量X的线性函数Y=aX+b仍服从正态分布，且则它们的的线性组合仍服从正态分布,即第12页,共27页，2024年2月25日，星期天设总体，是从总体中取出的样本，则说明：对于非正态总体，当抽样为小样本时，没有确定性结论；当抽样为大样本时，有即对于大样本，无论总体服从何分布，上式总成立。第13页,共27页，2024年2月25日，星期天例

设从总体中随机抽取一容量为25的样本，求样本均值落于(140，147.5)的概率。解由，得第14页,共27页，2024年2月25日，星期天二、（卡方）分布1、定义设总体X~N(0,1)，是取自X的样本，则称服从自由度为n的分布。记作自由度：统计量中独立随机变量的个数—约束条件个数例如，样本方差中有n个独立的变量，它们之间存在唯一的约束条件故的自由度为n－1第15页,共27页，2024年2月25日，星期天分布的概率密度函数为概率密度曲线图n越小，曲线越偏向左侧，当n充分大时，分布近似于正态分布。第16页,共27页，2024年2月25日，星期天2、独立变量的可加性若，且与相互独立。则推广到k个变量，若，i=1,2,…k则3、定理设是取自总体

的样本，则证明略第17页,共27页，2024年2月25日，星期天三、t分布1、定义设，

U与V相互独立，则服从自由度为n的t分布。记作t~t(n)。t分布的密度函数为第18页,共27页，2024年2月25日，星期天当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度函数的图形.概率密度曲线图显然，图形是关于t=0对称的。第19页,共27页，2024年2月25日，星期天定理1

设是取自总体

的样本，则证第20页,共27页，2024年2月25日，星期天定理2（两个正态总体的抽样分布）1、设与是分别取自总体，的相互独立简单随机样本，则标准化第21页,共27页，2024年2月25日，星期天2、其中设与是分别取自总体，的相互独立简单随机样本，则称为联合方差第22页,共27页，2024年2月25日，星期天证第23页,共27页，2024年2月25日，星期天第24页,共27页，2024年2月25日，星期天三、F分布其中称为第一自由度，称为第二自由度。定义第25页,共27页，2024年2月25日，星期天

2、定理设与