随机过程通过线性系统

随机过程通过线性系统

频域：若物理可实现，且x(t)有界，则有：

。

所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且对于其通过线性时不变系统的表述为：问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以及与系统函数间的关系如何？第2页,共55页，2024年2月25日，星期天随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。其原因是：

1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为随机过程（信号）是随时间或依时序组成的每个时间点上的随机变量的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函数值都是一个随机变量。即便通过一个具体的实验所得到的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本函数，它也无法表征整个随机过程的行为。

2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个端口的输出，各时间点上随机变量的取值往往具有前后的波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。第3页,共55页，2024年2月25日，星期天

针对随机信号所具有的随机性和波及性，可用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：

1.对于每一时间点上的函数值是随机变量的特征，可用一维统计特性来描述：

函数值的概率密度、均值、方差等；

2.对于各时间点随机变量的波及性，用多维统计特性来描述：

函数值的多维概率密度、相关函数等。第4页,共55页，2024年2月25日，星期天随机过程通过线性时不变系统的表示随机过程的一个样本,若是有界的，则对于线性时不变系统：

时域表示：非因果系统：

因果系统：即，系统输出也只能是随机过程的一个样本且有界。其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本都是有界的，才有第5页,共55页，2024年2月25日，星期天频域表示：

∵随机过程是无限时宽，无限能量，非周期的,∴的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在，故不能用频谱表述。

但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率谱来描述。平稳随机过程通过线性时不变系统：平稳条件：=常数；第6页,共55页，2024年2月25日，星期天

由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存在频谱，但可用功率谱描述。

问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结论？由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积，故其存在Z变换，或付氏变换。物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。第7页,共55页，2024年2月25日，星期天一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析1．系统输出Y(t)的均值:

，其中

输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。2.系统输出Y(t)的自相关函数:输出过程RY(τ)只与时间差τ有关，而与时间起点t无关。第8页,共55页，2024年2月25日，星期天由E[Y(t)]≡常数和RY(τ)可知：

平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。且有：第9页,共55页，2024年2月25日，星期天3.系统输入与输出之间的互相关函数:同理可证，第10页,共55页，2024年2月25日，星期天当X(t)为白噪声，即时，则即有

该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得，则可用功率谱密度为的白噪声激励线性系统来估计该线性系统的冲击响应。第11页,共55页，2024年2月25日，星期天4．物理可实现(因果)系统的响应

物理可实现系统的条件：

因果性将该条件代入上述关系式，可得注意：卷积关系不再成立。第12页,共55页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：X(t)：平稳随机过程h(t)：线性时不变系统的冲击响应

注意：物理可实现系统的条件。第13页,共55页，2024年2月25日，星期天二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析1．系统输出Y(t)的功率谱密度

令，则

，令：

，则其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以，系统的输出功率=系统的输入功率×|H(ω)|

2。

第14页,共55页，2024年2月25日，星期天系统输出Y(t)的自相关函数系统的输出的均方值或平均功率第15页,共55页，2024年2月25日，星期天2.系统输入与输出之间的互谱密度

由付氏变换性质可得:

当X(t)为白噪声，即GX(ω)=N0/2时，则，或

上式说明：如果能设法获得GXY(ω)或GYX(ω)，则可估计线性系统的传输函数H(ω)。第16页,共55页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：GX(ω)

：输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度;H(ω)：线性时不变系统的传输函数;|H(ω)|2

：线性时不变系统的功率传输函数;GY(ω)：输出平稳随机过程Y(t)的功率谱密度；GXY(ω)：输入X(t)与输出平稳随机过程Y(t)的互谱密度。第17页,共55页，2024年2月25日，星期天第18页,共55页，2024年2月25日，星期天三、多个随机过程之和通过线性系统设X1(t)和X2(t)单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输出Y(t)的特性为：1．输出Y(t)的均值第19页,共55页，2024年2月25日，星期天2．输出Y(t)的自相关函数和功率谱密度

推论：

若X1(t)和X2(t)互不相关，则第20页,共55页，2024年2月25日，星期天

若X1(t)和X2(t)互不相关，且均值为零，则3．输入X(t)与输出Y(t)的互相关函数和互谱密度第21页,共55页，2024年2月25日，星期天四、白噪声通过线性系统

设白噪声的功率谱密度为，线性时不变系统的传输函数为，则系统输出的功率谱密度为:，。―双边功率谱密度，。―单边功率谱密度

系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于系统的频率特性H(ω)。系统输出Y(t)也不再是白噪声。

第22页,共55页，2024年2月25日，星期天GY(ω)、RY(τ)的求解都需要知道|H(ω)|，因此

|H(ω)|越复杂，GY(ω)和RY(τ)的计算就越困难。系统输出Y(t)的平均功率为:第23页,共55页，2024年2月25日，星期天1．等效噪声带宽等效思想：对于理想系统和实际系统，当输入相同的白噪声时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一个在频带中心的功率传输函数值与实际系统相等的，且具有矩形传输函数特性的理想系统来代替实际系统。以简化系统分析中的运算。设理想低通线性系统的功率传输函数为则实际系统的等效噪声带宽定义为第24页,共55页，2024年2月25日，星期天设理想带通线性系统的功率传输函数为其中，为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效噪声带宽为表示：系统对噪声功率谱的选择性。第25页,共55页，2024年2月25日，星期天线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功率点的通频带宽（也称为三分贝带宽）。其表示系统对有用信号的选择性。因为，都取决于系统的传输函数，所以一旦确定，则和也就确定了，因而和必然有确定的关系。不同结构的系统和的关系如下：

窄带单调谐电路系统：；双调谐电路系统：；高斯频率特性的电路系统：；级联调谐电路越多的电路系统，和两者越接近。线性系统的通频带宽与等效噪声带宽的关系第26页,共55页，2024年2月25日，星期天2．白噪声通过理想线性系统

有了等效噪声带宽的概念，就可以用带宽为等效噪声带宽的理想系统来等效或逼近实际系统。

白噪声通过理想低通线性系统理想低通线性系统的传输函数正半轴部分为：系统输入白噪声单边功率谱密度为：第27页,共55页，2024年2月25日，星期天系统输出特性如下：输出单边功率谱密度

2)输出相关函数

3)输出平均功率第28页,共55页，2024年2月25日，星期天4)输出Y(t)的自相关系数

5)输出Y(t)的相关时间

输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。，输出过程随时间变化越快；反之则越慢。第29页,共55页，2024年2月25日，星期天白噪声通过理想带通线性系统理想带通线性系统的传输函数正半轴部分为：

若系统输入白噪声单边功率谱密度为：，

则系统输出特性如下：第30页,共55页，2024年2月25日，星期天

输出单边功率谱密度

若系统满足条件时，则该系统称为窄带系统；若随机过程的功率谱密度满足条件时，则该随机过程称为窄带过程。第31页,共55页，2024年2月25日，星期天2)输出相关函数令则。

由于的变化只与有关，因此若满足条件，则的变化将比的变化慢得多。一般为的包络。

称且低通输出相关函数为第32页,共55页，2024年2月25日，星期天

当时，则。其除了差一个系数2外，与低通系统输出相关函数完全一样。这说明，一个窄带系统（满足）输出平稳过程的相关函数等于相应的等效低通系统输出的相关函数与的乘积。3)输出平均功率4)输出的自相关系数自相关系数也可以分成快、慢变化两部分。窄带系统输出相关函数=2×等效低通系统输出相关函数×

cosω0τ第33页,共55页，2024年2月25日，星期天5)输出Y(t)的相关时间

注意：上式利用窄带过程的条件，由的包络定义相关时间。因此反映的是窄带过程包络的相关时间。输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。则由此可知，输出过程包络随时间变化越快；反之则越慢。第34页,共55页，2024年2月25日，星期天白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统高斯频率特性线性系统的传输函数正半轴部分为：若系统输入白噪声单边功率谱密度为：，则系统输出特性如下：1）

输出单边功率谱密度

第35页,共55页，2024年2月25日，星期天2)输出相关函数其中，为等效低通传输函数。窄带系统输出相关函数=2cosω0τ×等效低通系统输出相关函数第36页,共55页，2024年2月25日，星期天4)输出Y(t)的自相关系数5)输出Y(t)的等效噪声带宽

3)输出平均功率第37页,共55页，2024年2月25日，星期天五、线性系统输出随机过程的概率分布一般情况:很难从理论上找到一般的求解输出随机过程的概率分布。多采用实验估计方法。特殊情况：1）输入为高斯过程，输出也是高斯过程；

2）输入为非高斯过程，但输入过程的带宽远大于线性系统的带宽。则线性系统输出随机过程的概率分布都服从高斯过程。1．高斯过程通过线性系统的输出过程Y(t)的分布若X(t)是一高斯过程，则Y(t)也是一高斯过程。

第38页,共55页，2024年2月25日，星期天由于X(t)是高斯过程，故亦为高斯随机变量。因为为一时刻点，而为确知量，所以

表示：任一时刻t的Y(t)是无限多个高斯随机变量的和。而多维高斯随机变量的线性组合仍为多维高斯随机变量，故高斯过程X(t)通过线性系统的输出Y(t)也是一高斯过程。但是必须注意：虽然输出过程是高斯过程，但其数字特征已改变。第39页,共55页，2024年2月25日，星期天2．宽带非高斯过程通过窄带线性系统输出过程的分布

若输入非高斯过程X(t)的功率谱带宽与线性系统带宽满足：则系统输出Y(t)的概率分布趋于高斯分布。由中心极限定理可知，大量统计独立的随机变量之和的概率分布趋于高斯分布。第40页,共55页，2024年2月25日，星期天

的统计独立性

，∴当足够大，以使，则可认为输入过程各取样值相互统计独立。

构成y(t)的累加性

系统的对输入信号的响应（建立）时间ty与系统的带宽⊿f也成反比关系，即

当⊿f足够窄，以使响应时间，则可认为输出过程y(t)由输入过程各取样值经足够长的时间累加构成。第41页,共55页，2024年2月25日，星期天综上所述，当满足条件时，Y(t)的概率分布将趋于高斯分布。由可知，Y(t)的概率分布趋于高斯分布的条件为：。即，线性系统输入随机过程X(t)的功率谱带宽⊿fX

远大于系统带宽⊿f时，输出随机过程Y(t)的概率分布将趋于高斯分布，而与输入随机过程是否为高斯分布无关。第42页,共55页，2024年2月25日，星期天

六、随机序列通过离散线性系统*其中：x(n)、y(n)分别为系统的输入与输出，

H(z)为系统传输函数。1．离散线性系统的分类第43页,共55页，2024年2月25日，星期天第44页,共55页，2024年2月25日，星期天由Z变换可得其模型传递函数为：

该模型称为自回归滑动平均（ARMA：AutoregresiveMovingAverage）模型。第45页,共55页，2024年2月25日，星期天如果，则该模型称为滑动平均（MA：MovingAverage）模型第46页,共55页，2024年2月25日，星期天如果