对数函数的性质与图像高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第1课时对数函数的性质与图像第四章指数函数、对数函数与幂函数高中数学人教B版必修第二册对数函数的性质与图像问题:已知细胞的分裂个数y与分裂次数x满足函数y=2x,那么反过来,x是不是关于

y的函数?关系式是什么?情境导学答案因为y=2x是增函数,所以对于任意y∈(0,+∞),都有唯一确定的x与之对应,

故x也是关于y的函数,其函数关系式是x=log2y.1.对数函数的定义一般地,函数①

称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.教材研读2.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质与图像y=logax思考:如图,函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响?

提示观察题图可知:(1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图像越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴.(2)左右比较:(比较图像与直线y=1的交点)交点的横坐标越大,对应的对数函数的

底数越大.特别提醒画对数函数图像时要注意的问题(1)明确图像位置:对数函数图像都在y轴右侧,当x趋近于0时,函数图像会越来越

靠近y轴,但永远不会与y轴相交.(2)强化讨论意识:画对数函数图像之前要对底数a的取值范围是a>1还是0<a<1进

行判断.(3)牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像经过点(1,0)、(a,1)和

.探究一对数函数的概念例1

(易错题)若函数y=log(2a-1)x+a2-5a+4是对数函数,则a=

.易错辨析:忽视对数函数对系数、底数、真数的要求致误.4解析因为y=log(2a-1)x+a2-5a+4是对数函数,所以

解得a=4.易错点拨判断一个函数是对数函数的方法

跟踪训练1.(1)函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=

.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-8)=

.1-3解析(1)由a2-a+1=1,解得a=1或a=0,又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1.(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.

探究二对数函数的图像及性质例2(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列

结论成立的是

()

A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1D(2)已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是

()A.(2

,+∞)B.[2

,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)C解析(1)由题图知函数单调递减,∴0<a<1.当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1

+c>1,∴c>0,当x=0时,loga(x+c)=logac>0,即c<1,∴0<c<1,故选D.(2)因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)或b=

,所以a+2b=a+

,又0<a<b,所以0<a<1<b,令f(a)=a+

,0<a<1,由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+

=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞),故选C.跟踪训练2.函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图像大致为

()

A解析

当x>0时,f(x)=logax+1,其图像可以看作由f(x)=logax的图像向上平移一

个单位长度而得到,因为f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函数,所以x<0时的图像与x>0时

的图像关于y轴对称,故选A.探究三对数函数的定义域、值域问题例3(1)求下列函数的定义域:①y=

;②y=log(2x-1)(-4x+8).(2)求下列函数的值域:①y=log2(x2+4);②y=lo

(3+2x-x2).解析(1)①由题意得

即

解得x≤1.故函数y=

的定义域为(-∞,1].②由题意得

解得

故函数y=log(2x-1)(-4x+8)的定义域为

∪(1,2).(2)①令t=x2+4,则t≥4,且y=log2t为增函数,所以y=log2(x2+4)≥log24=2.即函数y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).②令t=3+2x-x2,则t=-(x-1)2+4≤4,且y=lo

t为减函数,所以lo

(3+2x-x2)≥lo

4=-2.即函数y=lo

(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).思维突破求函数值域的方法(1)求对数型函数的值域时,一般根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.(2)求函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响,然后结合函数的单调性求解,

当函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.变式训练3.(1)(变条件)把本例(1)①中的函数变成“y=

”,结果如何?(2)(变条件、变结论)把本例(1)①中x的取值范围限定为[-8,1],其他条件不变,求函

数的值域.解析(1)由题意可知

所以

所以

解得1≤x<2.故函数y=

的定义域为[1,2).(2)易知y=

在x∈[-8,1]上为减函数,所以ymax=

=1,ymin=

=0.所以函数的值域为[0,1].1.下列各组函数中,定义域相同的一组是

()A.y=ax(a>0且a≠1)与y=logax(a>0且a≠1)B.y=x与y=

C.y=lgx与y=lg

D.y=x2与y=lgx2

课堂检测C解析选项A中,y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,y=logax(a>0且a≠1)的定义域

为{x|x>0};选项B中,y=x的定义域为R,y=

的定义域为{x|x≥0};选项C中,两函数的定义域均为{x|x>0};选项D中,y=x2的定义域为R,y=lgx2的定义域为{x|x∈R且x≠0}.故选C.2.函数f(x)=

-lg(1-x)的定义域为

()A.[-2,1]

B.[-2,1)C.(-2,1)

D.[-2,+∞)B解析由题意得

解得-2≤x<1.3.已知对数函数的图像过点M(9,2),则此对数函数的解析式为()A.y=log2x

B.y=log3x

C.y=lo

x

D.y=lo

x解析设对数函数为y=logax(x>0,a>0且a≠1),因为对数函数的图像过点M(9,2),所以2=loga9,所以a2=9,因为a>0,所以a=3.所以此对数函数的解析式为y=log3x.B4.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为

.[2,+∞)解析当x≥1时,log2x≥0,所以y=2+log2x≥2.5.函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图像必经过点

.(2,2)解析当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以f(x)的图像必经过点(2,2).数学抽象——定义法判断函数奇偶性判断函数f(x)=ln

的奇偶性.审:运用函数的奇偶性的定义,并结合对数的运算性质可得.联:当函数的定义域关于原点对称时,判断其奇偶性的等价形式为f(-x)=±f(x).解:由

>0,可得①

,所以函数f(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称.解法一:f(-x)=ln

=②

=-f(x),素养演练-2<x<2所以函数f(x)=ln

是奇函数.解法二:f(x)+f(-x)=ln

+ln

=③

=ln1=0,即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=ln

是奇函数.思:指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成

奇函数(或偶函数);含对数式的函数的奇偶性一般用f(x)±f(-x)=0来判断,其运算相

对简单.

判断函数f(x)=lg(

-x)的奇偶性.针对训练解析由

-x>0,可得x∈R,所以函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.解法一:因为f(-x)=lg(

+x)=lg

=lg

=-lg(

-x)=-f(x),所以函数f(x)=lg(

-x)是奇函数.=lg[(

-x)(

+x)]=lg(1+x2-x2)=0,所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=lg(

-x)是奇函数.解法二:因为f(x)+f(-x)=lg(

-x)+lg(

+x)第2课时指数函数的性质与图像的应用第四章指数函数、对数函数与幂函数高中数学人教B版必修第二册4.2.3对数函数的性质与图像探究一指数式的大小比较例1比较下列各题中两个值的大小:(1)1.7-2.5,1.7-3;(2)1.70.3,1.50.3;(3)1.70.3,0.83.1.解析(1)∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵-2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3.(2)解法一:∵1.7>1.5,∴在(0,+∞)上,y=1.7x的图像位于y=1.5x的图像的上方.又∵0.3>0,∴1.70.3>1.50.3.解法二:

=

,又

>1,0.3>0,∴

>1,∴1.70.3>1.50.3.(3)∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,∴1.70.3>0.83.1.思维突破比较两个幂的大小的方法(1)比较同底数不同指数的两个幂的大小时,利用指数函数的单调性来判断.(2)比较底数不同指数相同的两个幂的大小时,利用指数函数的图像的变化规律

来判断.(3)比较底数不同指数也不同的两个幂的大小时,则通过中间值来判断.跟踪训练1.若a=0.

,b=0.

,c=0.

,则a、b、c的大小关系是

()A.a>b>c

B.a<b<cC.a<c<b

D.b<c<a解析

∵y=0.5x在R上是减函数,且

>

>

,∴a<b<c,选B.B探究二解含指数式的不等式例2

(易错题)解关于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).易错辨析:忽视对底数a的讨论致误.解析当0<a<1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x≥-6};当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.易错点拨解含指数式的不等式的基本方法是先将其化为同底指数式,再利用指数函数的

单调性求解,注意底数对不等号方向的影响.跟踪训练2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是

.解析∵a2+a+2=

+

>1,∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x⇔x>1-x⇔x>

,∴x∈

.探究三指数型函数的单调性例3函数y=

的单调递增区间是

()A.[-1,+∞)

B.(-∞,-1]C.[1,+∞)

D.(-∞,1]C解析函数由y=

,t=-x2+2x(x∈R)复合而成,因为y=

是减函数,所以只需求t=-x2+2x(x∈R)的单调递减区间即可,易求得t=-x2+2x的单调递减区间为[1,+∞),故

选C.思维突破确定指数型函数的单调性的方法与指数函数有关的单调性问题,可先求出内层函数的单调区间,再与外层函数的

单调性结合,利用复合函数的单调性确定其单调性.变式训练3.(1)(变条件)f(x)=

的单调递增区间为

.(2)(变条件、变问法)函数y=

的值域是

,单调递增区间是

.(-∞,-5]解析(1)令y=

,u=x2+10x-5(x∈R),易知y=

为减函数,u=x2+10x-5的图像的对称轴是x=-5,∴u=x2+10x-5的减区间是(-∞,-5],∴函数f(x)=

的单调递增区间为(-∞,-5].(2)易知函数的定义域为[-1,2],令t=

,则t=

,x∈[-1,2],则0≤t≤

,∴y=

∈

;y=

是减函数,当

≤x≤2时,函数t单调递减,∴函数y=

的单调递增区间为

.1.若2x+1<1,则x的取值范围是

()A.(-1,1)

B.(-1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)课堂检测解析

不等式2x+1<1=20,∵y=2x是增函数,∴x+1<0,即x<-1.D2.已知三个数a=60.7,b=0.70.8,c=0.80.7,则这三个数的大小关系是

()A.a>b>c

B.b>c>aC.c>b>a

D.a>c>b解析

因为a=60.7>60=1,c=0.80.7>0.70.7>0.70.8=b,c=0.80.7<0.80=1,所以a>c>b.D3.(2019北京北师大实验中学高三月考)函数y=2-|x|的单调递增区间是

()A.(-∞,+∞)

B.(-∞,0]C.[0,+∞)

D.[1,+∞)解析

∵y=2-|x|=

∴函数的单调递增区间是(-∞,0],故选B.B4.设0<a<1,则关于x的不等式

>

的解集为

.(1,+∞)解析∵0<a<1,∴y=ax在R上是减函数,又∵

>

,∴2x2-3x+2<2x2+2x-3,解得x>1.5.函数y=

的单调递增区间为

.解析

设u=2x2-3x+1(x∈R),其图像的对称轴为直线x=

,则u=2x2-3x+1在

上单调递减,在

上单调递增,因为y=5u是增函数,所以y=

在