辽宁省鞍山市宝德第二高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析

辽宁省鞍山市宝德第二高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A﹣BCD的体积是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，连接OB，OC．∵△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC===．∴OB2+OC2=BC2，∴∠BOC=90°．∴三棱锥A﹣BCD的体积V===．故选D．2.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故选：A4.已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：D【考点】3T：函数的值．【分析】利用分段函数的性质先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=3﹣（﹣1）=4，f（f（﹣1））=f（4）==2．故选：D．5.已知实数满足，若取得最大值时的唯一最优解是（3,2），则实数的值范围为

（

）A．a<1

B．a<2

C．

a>1

D．0<a<1参考答案：A6.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标有1，2……9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（

）种

A．18

B．36

C．72

D．108参考答案：D7.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为A．1

B．

C．2

D．

参考答案：D8.已知命题：若，则；命题：若，则.在命题①②；③；④中，真命题是A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案：C【知识点】复合命题的真假．A2

解析：根据不等式的性质可知，若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C【思路点拨】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论9.已知函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（

）

参考答案：C略10.已知函数，则=(

）、

、

、

、参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为1的正三角形中，设，则

．参考答案：．因为，所以为的中点即，∵，∴，∴．12.若函数的图像经过点，则

.参考答案：

13.已知：的值为

。参考答案：略14.已知(a>0)，则

.参考答案：415.盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．

参考答案：16.（坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A（2，）到直线l：的距离为

.

参考答案：117.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是

A．

B.

C．

D.参考答案：C三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知变量，满足关系式，且，且，变量，满足关系式，变量，满足函数关系式.（1）求函数表达式；（2）若函数在上具有单调性，求实数的取值范围.参考答案：略19.将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数的最小值为________．参考答案：【知识点】的图像与性质.

C41解析：函数===，向右平移个单位后为：，这时图像关于y轴对称，所以，,所以正数的最小值为1.

【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为：y=,再由其平移后关于y轴对称得，，所以正数的最小值为1.20.某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（2）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【解答】解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于文学院中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列：X123P和数学期望EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.设n为正整数，规定：fn(x)＝f(f(…f(x)…)，已知(1)解不等式f(x)≤x；(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x；(3)探求(4)若集合B＝{x|f12(x)＝x，x∈[0,2]}，证明：B中至少包含8个元素．参考答案：(1)①当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x得x≥，∴≤x≤1.②当1<x≤2时，因x－1<x恒成立，∴1<x≤2.由①②得f(x)≤x的解集为．(2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，∴当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；当x＝1时，f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；当x＝2时，f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.即对任意x∈A，恒有f3(x)＝x.(3)f1＝2＝，f2＝f＝f＝，f3＝f＝f＝－1＝，f4＝f＝f＝2＝，一般地，f4k＋r＝fr(k，r∈N)．∴f2012＝f4＝．(4)∵f＝，∴fn＝，则f12＝，∴∈B.由(2)知，对x＝0或1或2，恒有f3(x)＝x，∴f12(x)＝f4×3(x)＝x，则0,1,2∈B.由(3)知，对x＝