曲线拟合最小二乘法

数学与计算科学学院实验报告实验工程名称曲线拟合最小二乘法所属课程名称数值计算实验类型验证实验实验日期班级学号姓名成绩一、实验概述：【实验目的】掌握最小二乘法，熟练掌握求函数的近似最小二乘拟合多项式【实验原理】在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，这是为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即

(3.1)

这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中

(3.2)

这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法.

(3.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得

(3.3)

根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号

(3.4)

那么(3.3)可改写为

这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为

(3.5)

(3.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，那么称在X上满足Haar条件，此时(3.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(3.5)的解为

从而得到最小二乘拟合曲线

(3.6)

可以证明对，有

故(3.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为

(3.7)

均方误差为

在最小二乘逼近中，假设取，那么，表示为

(3.8)

此时关于系数的法方程(3.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取作为基.【实验环境】C++6.0二、实验内容：【实验方案】1.验证教材p151例题1，2.验证教材p161例题2，3.求解p171习题1〔线性拟合〕，习题34.求解p280数值试验六-1-拟合多项式实验〔表10-2〕【实验过程】〔实验步骤、记录、数据、分析〕启动C++6.0编写好程序；运行代码，得出实验数据；实验结果分别为：p171习题1〔线性拟合〕：y=2.014000e+000+2.250000e+000xp171习题3：y=-1.071071e+001+1.404405e+001xp280数值试验六-1-拟合多项式：y=4.957055e-001+2.463190e+000x【实验结论】〔结果〕通过实验，在计算机中能较好地实现线形拟合最小二乘法。【实验小结】〔收获体会〕通过实验的验证，可以更深刻地理解曲线拟合最小二乘法在数值计算的重要性，同时其根本原理在计算机数值拟合的应用，也更深刻地理解了曲线拟合最小二乘法的计算原理。三、指导教师评语及成绩：评语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字表达流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程〔实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻〕4实验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：附录1：源程序p171习题1〔线性拟合〕：#include"stdio.h"#include"math.h"#defineN5voidmain(){ longdoublex[N]={-1,-0.5,0,0.5,1}; longdoubley[N]={-0.22,0.88,2.00,3.13,4.28}; longdoubleu11=0,u12=0,u21=0,u22=0,c1=0,c2=0;longdoubleA,B; inti; for(i=0;i<N;i++) { u12+=x[i]; u22+=x[i]*x[i]; c1+=y[i]; c2+=x[i]*y[i]; } u21=u12; u11=N; A=(c1*u22-c2*u12)/(u11*u22-u21*u12); B=(c1*u21-c2*u11)/(u12*u21-u22*u11); printf("y=%le+%lex\n",A,B);}p171习题3：#include"stdio.h"#include"math.h"#defineN8voidmain(){ longdoublex[N]={1,2,3,4,5,6,7,8}; longdoubley[N]={15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.8,117.6}; longdoubleu11=0,u12=0,u21=0,u22=0,c1=0,c2=0;longdoubleA,B; inti; for(i=0;i<N;i++) { u12+=x[i]; u22+=x[i]*x[i]; c1+=y[i]; c2+=x[i]*y[i]; } u21=u12; u11=N; A=(c1*u22-c2*u12)/(u11*u22-u21*u12); B=(c1*u21-c2*u11)/(u12*u21-u22*u11); printf("y=%le+%lex\n",A,B);}p280数值试验六-1-拟合多项式实验：#include"stdio.h"#include"math.h"#defineN8voidmain(){ longdoublex[N]={0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}; longdoubley[N]={1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00}; longdoubleu11=0,u12=0,u21=0,u22=0,c1=0,c2=0;longdoubleA,B; inti; for(i=0;i<N;i++) { u12+=x[i]; u22+=x[i]*x[i]; c1+=y[i]; c2+=x[i]*y[i]; } u21=u12; u11=N; A=(c1*u22-c2*u12)/(u11*u22-u21*u12); B=(c1*u21-c2*u11)/(u12*u21-u22*u11); printf("y=%le+%lex\n",A,B);}附录2：实验报告填写说明1．实验工程名称：要求与实验教学大纲一致。2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3．实验原理：简要说明本实验工程所涉及的理论知识。4．实验环境：实验用的软、硬件环境。5．实验方案〔思路、步骤和方法等〕：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容根底上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，还应注