山西省大同市柴油机厂子弟中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省大同市柴油机厂子弟中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数A．

B．

C．

D．参考答案：C

2.若,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.若则A.a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.c＜a＜b

D.b＜c＜a参考答案：B4.已知函数则下列结论正确的是（

）A.是偶函数

B.是增函数

C.是周期函数

D.的值域为参考答案：D5.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为

(

)A.

B.1

C.

D.2参考答案：【知识点】抛物线重要不等式H7E6A如下图所示，设.

则，，所以

故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得.6.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】程序框图；茎叶图．【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选：C．7.设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D【考点】两点间的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．【解答】解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT1|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D8.已知，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D9.函数的图象大致为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为，，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，，排除A，当时，，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。10.若集合，且，则集合可能是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A因为，所以.又因为集合，所以集合可能是.选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，则A∩B=______.参考答案：.【分析】解不等式，化简集合的表示，求函数的定义域，化简集合的表示，然后求出.【详解】，函数有意义时，所以,因此.【点睛】本题考查了不等式的解法、函数的定义域、集合的交集运算，解题的关键是正确理解集合元素的属性特征和正确解出不等式的解集.12.直线被圆截得的弦长为__________参考答案：略13.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【答案解析】解析：解：把曲线的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为（x≥0，y≥0）．

曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程为．

解方程组

，求得，∴与交点的直角坐标为，

故答案为：．【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得与交点的直角坐标．14.已知函数，其定义域为R，则实数a的取值范围为

。参考答案：(2)略15.已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：考点：函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=0得=2a，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．解答： 解：由得=2a，①若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知＜a≤，②若x＜0，设g（x）=，则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1，当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2，当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知≤a＜，综上：＜a≤或≤a＜，故答案为：．点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．16.已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（，1]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数y=g（g（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．【解答】解：当x＜0时，g（x）=﹣x+1＞0，此时g（g（x））=（﹣x+1）2﹣1=x2﹣2x当0≤x＜1时，g（x）=x2﹣1＜0，此时g（g（x））=﹣（x2﹣1）+1=﹣x2+2当x≥1时，g（x）=x2﹣1≥0，此时g（g（x））=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2，函数y=g（g（x））=．函数y=g（g（x））的图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1]故答案为：（]【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17.数列{an}满足的等差中项是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

一个四棱锥P-ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．

（1）求四棱锥P-ABCD的体积：

（2）求直线PC和面PAB所成线面角的余弦值；

（3）M为棱PB上的一点，当PM长为何值时，CM⊥PA?

参考答案：（1）VP-ABCD=SABCD·PD=

（2）以D为坐标原点，建立

设为平面PAB的法向量

，PC与所成角，有，PC与PAB所成角为

∴余弦值为（3）由M在棱PB上，，得M（）即当|PM|=|PB|=时CM⊥PA19.

若人们具有较强的节约意识，到饭店就餐时吃光盘子里的东西或打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查得到如下统计表：

(I)求a、b的值并估计本社区[25，55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；

(Ⅱ)从年龄段在[35，45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35，40）与[40，45）两个年龄段的概率．

参考答案：略20.（本小题满分12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．所以符合题意的直线l不存在．参考答案：解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有解得··········2分

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.········

······4分

(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.················6分因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.由于±2?[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．······································12分略21.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，且，．(1)PA⊥平面ABCD；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．参考答案：(1)见证明(2)见解析【分析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．【详解】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面

又∵平面

∴∵，

∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使

则又由（1）得平面

∴平面又∵平面

∴

作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵

∴是二面角的一个平面角设

则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.已知双曲线.(1)