湖南省永州市杨村甸乡中学高三数学文月考试题含解析

湖南省永州市杨村甸乡中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.运行如图所示的程序框图，若输入的（i=1,2,…,10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（

）A． B． C． D．参考答案：C2.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：B3.设实数x，y满足，则的最小值为（）A.－13 B.－15 C.－17 D.－19参考答案：B【分析】画出不等式表示的可行域，利用z=的几何意义求解即可【详解】由题画出可行域，如图阴影所示：当z=,平移到过A(-2,0)时，z最小，为-15故选：B【点睛】本题考查线性规格，熟练作图准确计算是关键，是基础题4.若,则点Q位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D略5.（5分）（2015?杨浦区二模）在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线参考答案：C【考点】：轨迹方程．【专题】：计算题；数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．【点评】：熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．6.若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】直线的两点式方程．【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．【解答】解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4，所以正方形ABCD的面积S=AB?AD=4sinθcosθ===，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选：C．7.函数和函数的图象重合.则下面结论正确的是

（

）A．

B．

C．

D．取值不确定参考答案：B8.函数的定义域为（

）A．［0，1］

B．（）C．［，1］

D．（）（1，+∞）参考答案：B9.若双曲线的一条渐近线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．4参考答案：C由题意得渐近线方程为故选

10.已知直线，平面，且，给出四个命题：

①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是(

)A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(文科)已知长方体的棱，，，如图3所示，则异面直线与所成的角是

(结果用反三角函数值表示)．

参考答案：12.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是

▲

.参考答案：3213.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___

的学生.参考答案：37因为，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学。所以第8组中抽出的号码为号。14.．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．参考答案：2【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．15.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.参考答案：16.过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为

。参考答案：17.已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在Rt△AOB中，，斜边．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面平面AOB；（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．参考答案：解：证明：由题意，，，是二面角的平面角；又二面角是直二面角，，又，平面，又平面，平面平面；由知，平面，是与平面所成的角；在中，，；当最小时，最大，此时，垂足为，由三角形的面积相等，得，解得，与平面所成角的正弦的最大值为．19.已知等比数列{an}的前n项和为成等差数列，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Tn.参考答案：(1)(2)【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得。【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知，所以所以数列的前项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题。20.某高校从2016年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2016年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110）…[140，150），后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2016年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90，100）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于1的人数为：（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，∵数学成绩在[90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0.05，数学成绩在[140，150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10，∴数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n=15，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，∴至少有1人在分数段[90，100）内的概率：P=．21.在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．（1）求曲线的轨迹方程；（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；否则，说明理由.参考答案：解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为的椭圆．……………2分故曲线的方程为．…………………4分（Ⅱ）存在△面积的最大值.…………………5分因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．则整理得．…………………6分由．设．解得

，．则．因为

．………9分设，，．则在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当时取等号，即．所以的最大值为．……………