无理函数值域的求法探究

无理函数值域的求法探究值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比拟灵活，它所涉及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的根本内容。而无理函数由于含有根式，形式看起来比拟复杂，对于求其值域，学生常常束手无策，本文多角度，多层次，全面的分析无理函数值域的求法。另外，本文所用例子结构很相似，但方法却不同，尤其注重一题多解，以拓宽学生的解题思路。一、单调性〔观察法〕：例1．求函数y＝4—值域。解：∵≥0，∴函数值域为。例2．求函数y＝4+的值域。

解：函数的定义域为，函数y＝4和函数y＝在上均为单调递增函数，故y≥4×+＝2

因此，函数y＝4+的值域是。例3．求函数的值域。解：函数的定义域为，∵∴函数在上单调递减，=时，=1，又∴函数值域小结：一个函数我们直接或作一些变形就能判断函数的单调性，用单调求值域是一种比拟快捷的方法。二、配方法：

例1．求函数y＝的值域。解：由≥0，得－1≤x≤3,∵y＝∴=－1或3时，=4;=1时，=6∴函数的值域为：例2．求函数y＝的值域。由，得－6≤x≤8,∵=∴=－6或8时，=14;=1时，=28，∴y2∈［14，28］，∴函数y＝的值域。小结：将一个函数通过平方或换元化为形如的函数，借助配方法求函数的值域，解题过程中要注意的取值范围。三、换元法：

例1．求函数y＝4—的值域。解：定义域为，令t＝(t≥0)，那么于是，由t≥0知函数的值域为。例2．求函数的值域。解：设，那么。所以，故所求函数值域为。例3.求函数的值域。解：由，得。令且，那么。由，得，那么，故函数的值域为。小结：通过代数换元或者三角函数换元，把无理函数中的根式去掉，很好的把问题转化成熟悉的二次函数或三角函数值域问题，解题过程中要注意所换新元的范围。四、数形结合法：

例1.求函数的值域.解：原函数可变形为：上式可看成轴上的点到两定点，的距离之和，由图可知当点P为线段AB与x轴的交点时，∴所求函数的值域为例2.求函数的值域.解：将函数变形为：上式可看成定点到点的距离与定点到点的距离之差。由图可知：①当点P在x轴上且不是直线AB与轴的交点时，如点，那么构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：；②当点P恰好为直线AB与轴的交点时，有∴函数的值域为：例3.求函数的值域。解：原函数可变成：①取点,显然点P在四分之一圆弧C：上；由①式得点P在直线上，且y表示在轴上的截距，可得例4．求函数y＝的值域。解：取点,显然点P在半圆弧C：上；那么点P在直线上，即，表示在轴上的截距，可得小结：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为距离或截距的范围问题。数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法，运用图形的直观性，通过数形结合使抽象问题直观化，复杂问题简单化，综合问题浅显化，充分训练发散思维。五、导数法：例1.求函数的值域。解：由，得；由，得∴，y递增；，y递减当时，；又时，；时，，∴∴函数的值域为：例2．求函数y＝的值域。解：由，得即或解之，得或；即由，得∴，y递增；，y递减当时，；又时，；时，，∴∴函数的值域为：小结：导数是解决值域的有力工具，它全面表达了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想。参考文献：〔1〕求几类无理函数值域的方法甘肃教育王菊萍2007年第8期〔2〕