方程的根与函数的零点经典讲课大赛获奖教案

新授课§方程的根与函数的零点1．知识与技能：(1)、初步掌握函数零点的概念、理解其意义；(2)、理解函数的零点和方程根的关系，初步掌握判定函数零点的简单方法，并会简单应用。2．过程与方法：(1)、通过研究具体的二次函数方程的根和二次函数图象与x轴的关系，培养学生观察、归纳、抽象的能力；(2)、进一步渗透数形结合的数学思想和函数与方程的数学思想。3．情感态度和价值观：(1)、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；(2)、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。教学重点：理解函数的零点与方程根的关系，使学生遇到一元二次方程的根的问题时能顺利联想到函数的思想和方法。教学难点：函数零点存在的条件。教学设计：观察二次函数的图象归纳抽象一般方程的根与函数的零点关系探究函数零点的存在条件应用教学过程：〔一〕创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：〔用投影仪给出〕①方程与函数②方程与函数③方程与函数引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，并填写下表：一元二次方程方程根的情况二次函数函数的图象图象与x轴的交点x2+2x-3=0y=x2+2x-3x2-2x+1=0y=x2-2x+1x2-2x+3=0y=x2-2x+3归纳出一般的一元二次方程与相应二次函数的关系，填写下表：△=b2-4acax2+bx+c=0的实根y=ax2+bx+c图象与x轴的交点△>0△<0△=0总结出方程ax2+bx+c=0的实根情况函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点情况。抽象出f(x)=0的实根情况函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况.〔二〕研探新知1、函数零点的概念：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．2、函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．由特殊到一般，由具体的二次方程、二次函数抽象出一般的二次方程、二次函数，再到一般的方程、一般的函数。注意：函数的零点不是坐标，是使f(x)=0的实数。3．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：对于二次函数．〔1〕，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．〔2〕，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．〔3〕，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．4、函数零点的求法：求函数的零点〔1〕〔代数法〕求方程的实数根；〔2〕〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．假设f(x)-g(x)=0,可在同一直角坐标系分别画出f(x)、g(x)图像，两个图像交点的横坐标就是函数的零点。5.连续函数在某个区间零点存在性的探索：〔Ⅰ〕观察二次函数的图象：eq\o\ac(○,1)在区间上有零点______；____，___，·_____0〔＜或＞〕．eq\o\ac(○,2)在区间上有零点______；·____0〔＜或＞〕〔Ⅱ〕观察下面函数的图象eq\o\ac(○,1)在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或＞〕．eq\o\ac(○,2)在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或＞〕．eq\o\ac(○,3)在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或＞〕．由以上两步探索，引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．启发学生得出结论：函数零点的存在条件〔教材P88〕〔三〕质疑辩论，排难解惑，开展思维例1、求函数的零点的个数．启发学生：你可以想到什么方法来判断函数零点个数？〔解略〕引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识。引导学生反思：1、为何必须确定函数的单调性2、能否回避复杂的运算，运用函数零点存在性定理，判断零点个数。结合图象考察零点所在的大致区间，让学生认识到函数的图象及根本性质〔特别是单调性〕在确定函数零点中的重要作用。总结判定方程在某个区间存在根的根本步骤．〔四〕、课堂练习课本P88练习1——〔1〕、〔3〕〔五〕、课堂总结：本节我们从较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，发现函数与方程之间的联系，充分结合图象，抽象归纳出方程的根与函数的零点的关系，再进一步发现连续函数在某区间上存在零点的判定定理。〔六〕、作业：1．课本P88练习1—〔2〕、〔4〕〔写本上，交〕2、〔选做〕〔1〕利用函