几何不等式讲解

应用一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式.常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等.重要的几；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三应用个关于角〔边〕的不等式转化成边〔角〕的不等式.的特征，挖掘几何图形中最根本的几何不等关系.事实上，一些最根本的几何不等关系在有关几何不等式的论证，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识.ABCD是圆内接四边形.DACDE2/11B号P那么dA+dB+dC>2(da+db+dc)那么AYX∽ABC∴AX=AC,AY=ABXYBCXYBCAXPYCB又∵SAXY=AX.dc+AY.dbXY.dAAXPYCB∴dA+dB+dC>2(da+db+dc)∴dA+dB+dC>2(da+db+dc)在EFP中，由余弦定理得EF2=dc2+db2一2dc.db.cos(B+C)BdbsinC∴EF>dcsinB+dbsinC∴dA>dc+dbAFEPBCDBCCca∴dA+dB+dC>2(da+db+dc)BC2=dB2+dC2一2dB.dC.cosCA2=dC2+dA2一2dC.dA.cos又BC.da=dB.dC.sin3/1122222222cs明略 IBa+c1ICa+b1IA/IB/IC/ IBa+c1ICa+b1IA/IB/IC/4/11ttt3)(t1t2t3)(t1t2t2t3t3t1)t1t2t3∴4AA/BB/∴4AA/BB/CC/27∴xyz()3xyzx(2xz)z(2z)z(z)z[(z)2]zzxyz[(z)2][(1)2]amnbnkckm AIBICImn2km2nk2mnkAA/BB/CC/2(mnk)2(mnk)2(mnk)BARSSPCQCSASRSBSQSCQRSABC/11通分整理xz(x+z)+yz(y+z)+xy(x+y)>(x+y)(y+z)(z+x)yxzxyz+z2(x+y)>6xyzyxzxyzzxyxyyzzxxy+yz2+zx2)>33x2y.y2z.z2x+33xy2.yz2.zx2=3xyz+3xyz=6xyzxyzPABC的重心BARSSPCQC证明1：由海伦公式，设p=(a+b+c)S=p.()3=p2=()2当且仅当pa=pb=pc即a=b=c时取等号/11 D D从而结论得证，当且仅当a=b=c时，取等号2=43S证明1：设AB=c=x+y,BC=a=y+z,CA=b=z+x那么cot3+cot3+cot3=()3+()3+()3=xxr IAxFzyByEzC又S==、S=(a+b+c)r=(x+y+z)r xyz∴xyz(x+y+ xyz∴xyz(x+y+z)=(x+y+z)rcotcotcot=>=>=9证明2：设AB=c=x+y,BC=a=y+z,CA=b=z+x那么cot3+cot3+cot3=()3+()3+()3=由例3得S()2=(x+y+z)2∴(x+y+z)，即r(x+y+z)C/AB/C/AB/OCBOCBA//11OAB)R同理OB/C)R、OC/B)R只要证A)>8AB/AB/OCBDA/DCC然成立C/AEB/C/AEB/FBCDA/FBCDA/S+S23>8RSSS+S23>8RSSS223方式〔2〕令=x,=y,=z那么 OBCOACOBAODS1OES OBCOACOBAADSABCx+1BESADSABCx+1BESABCy+1CFSABCz+1∴xyz=x+y+z+2>3+2,,/11BCCDBDBCB/BCCDBDBCB/ORA/略PPND为ONOCBND为ONOCBDD CBAMs线段距离最短来证明，这种“化直法〞在解决几何不等式问题中是常用的．ABA1CBA1CA1OSB11OSXA1Y4.设凸四边