直线与直线平行 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间直线、平面的平行直线与直线平行A1B1C1D1CBDA观察如图：长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC∥AB，

A1B1∥AB，

DC与A1B1平行吗？思考：AB、CD、A1B1、C1D1所在直线间有什么关系？基本事实4：平行于同一条直线的两直线互相平行.abc若a//b,a//c,则b//c.作用：判断线线平行的依据。数学语言：基本事实4表述的性质通常叫做空间平行线的_______传递性图形语言：例：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.FGDAEBCH思考：若再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？∵EH是△ABD的中位线∴EH∥FG，且EH=FG，∴EFGH是一个平行四边形.证明：连接BD，同理，FG∥BD,且FG=BD∴EH∥BD，且EH=BD所以EH∥FG，EH＝FG，因为AC＝BD，则EF＝FG＝GH＝EH，所以四边形EFGH为菱形.已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.AC＝BD.FGDAEBCH证明两条直线平行的两种方法①利用平行线的定义:证明两条直线在同一平面内且无公共点.②利用基本事实4:寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,根据基本事实4,显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.思考在平面内，如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？ABCDD’EE’A’B’C’定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。等角定理数学语言：AC∥A′C′，AB∥A′B′⇒∠CAB＝∠C′A′B′或∠CAB＋∠C′A′B′＝180°推论2:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论1：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.例:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点.求证：∠BEC＝∠B1E1C1.如图，连接EE1.∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1E1∥AE，∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1A∥E1E，又A1A∥B1B，∴E1E∥B1B，∴四边形E1EBB1是平行四边形.∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，且∠B1E1C1和∠BEC均为锐角，∴∠B1E1C1＝∠BEC.∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，8.5.2直线与平面平行8.5空间直线、平面的平行思考：转门转动过程中与门边的位置关系平行吗？课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？你能举出其他例子吗？探究：怎样判定直线与平面平行呢？DACB如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.线线平行线面平行直线与平面平行的判定定理平面外AEFBCD例：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，求证:EF∥平面BCD.证明：如图，连接BD，∴EF∥平面BCD.∴EF∥BD,又EF平面BCD,BD平面BCD,在△ABD中，E,F分别为AB，AD的中点，即EF为中位线.练习2.如图，正方体中，E为的中点，试判断与平面AEC的位置关系，并说明理由．证明：连接BD交AC于点O,连接OE,在中，E，O分别是的中点．C’CBAB’DA’D’EO证明：如图，取PC的中点M，∴FM∥AE且FM＝AE，即四边形AFME是平行四边形.∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.练习3.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点.求证：AF∥平面PCE.（1）利用定义：直线与平面没有公共点（2）直线与平面平行的判定定理.线线平行线面平行

bab

a∥ba

a∥

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。总结：证明直线与平面平行的方法探究：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？教室内日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？思考1:如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？abα

aαb平行异面思考2:如果一条直线与一个平面平行时，过这条直线作一平面与已知平面相交，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是什么?平行abβ思考3:如果一条直线和一个平面平行，则在平面内可以作无数条直线和这条直线平行.adcb

ba

证明：

线面平行线线平行

一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。线面平行的性质定理

ba

数学语言:例1：

如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．过点P作直线EF，使EF//B'C'，并分别交棱A'B'、C'D'于点E、F，连结BE、CF，FPBCADA'B'C'D'E解：⑴如图，在平面A'C'内，则EF、BE、CF就是应画的线．⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？则EF、BE、CF为应画的线．BC//B'C'EF//B'C'BC//EFEF、BE、CF共面．思路：FPBCADA'B'C'D'EEF//面AC(2)由⑴，得BE、CF都与面相交．EF//BC，EF//BC线面平行线线平行线面平行练习：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．已知：直线a、b，平面

，且a//b，求证：ab证明思路：过a作平面

，且c性质定理