(完整版)高中数学学科课堂教学设计的理论与实践虞涛-建平中学

高中数学学科课堂教学设计的理论与实践建平中学数学组一、课题的提出新课程体系下，教师要实现新课程提出的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，构建起课堂教学比较完整的目标体系，由以知识本位、学科本位转向以学生的发展为本的目标。《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中数学的心理特点，不同水平，不同兴趣学生的学习需要，动用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。”由此可见新课程理念倡导的数学课堂教学设计必须以“学生的学为本”，“以学生的发展为本”，即数学课堂教学设计应当是人的发展的“学程”设计，而不是单纯是学科中心的“教程”设计，也就是说，一是课堂教学要向学生的生活世界回归。这就要求我们以人为本，尊重教育规律，要改变课堂教学的内容和形式，要强调学生对学习过程的体验，让学生用活泼多样、易于理解、乐于接受、主动学习的方式方法去学习，以提高学生的学习能力。二是在课堂教学中要注重学生动手实践能力和创新精神的培养，强调在学习过程中有机贯穿价值观教育和道德教育，尊重学生成长规律，关注学生个性发展，充分发挥学生意志、想象、情感、性格、潜意识、灵感对教学认知的作用，增强教学动力，使学生在轻松、和谐、民主的氛围中处于动脑、动口、动手、动笔状态，让学生愉快地汲取知识，实现知识的正迁移。科学、合理的数学课堂教学设计对于学生学会认知，学会做事，学会共同生活，学会生存这四种基本学习具有重要意义。（一）教学设计应有利于让学生学会学习，发挥学生的主体作用；心理学研究表明，学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。传统的课堂设计，常常是“教师问，学生答，教师写，学生记，教师考，学生背。”在这样教学下，学生机械被动地学习，不能主动对话、沟通、交流。久而久之，他们学习数学的兴趣会逐渐褪去。新课程标准要求教师必需转变角色，尊重学生的主体性，以新的理念指导设计教学。在教学过程中，要根据不同学习内容，使学习成为在教师指导下自动的、建构过程。教师是教学过程的组织者和引导者，教师在设计教学目标，组织教学活动等方面，应面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生自主参与探究问题。（二）教学设计应有利于让学生学会做事，加强应用意识的培养；《课程标准》认为：学会认知和学会做事在很大程度上是密不可分的。因此数学教学的一大任务就是教会学生实践他所学的知识，还有在不能完全预计到未来工作变化的情况下，如何适应未来的工作。因而数学课堂教学中应用意识的培养就显得格外重要。因此，我们有必要改变传统教学观念，着力加强数学应用意识的培养，并将之渗透到整个课堂教学过程中去。所以教师必须认真研究新课程标准，设计富有情趣，联系生活的教学活动，让学生有更多的机会以周围熟悉的事物中学习数学，理解数学。使学生自觉地联系数学以及其他学科的知识，让学生参与提出问题，分析问题，解决问题这一全过程，并深刻体会教学的应用价值。（三）教学设计应有利于让学生学会共同生活，培养学生的合作精神；教育的使命是教会学生懂得人类的多样性，同时还要教他们认识地球上所有人之间既具有相似性又相互依存，为实现共同的目标而努力学习。当代科学的发展已呈现出既高度分化，又高度综合的趋势，单凭个人的力量无法胜任科学研究工作。为了促使学生的合作交流，教学设计时应考虑到以单一的班级授课制转向小组合作学习，如把班级的学生分成几个组，有明确的责任分工，教师能有效的组织学生的合作学习、交流。这种设计有助于培养学生合作的精神和竞争意识，同时有助于教师的因材施教，弥补一个教师难以面向有差异的众多学生的教学的不足。从而真正实现“不同的人在教学上有不同的发展”的教学目标。（四）教学设计应有利于让学生学会生存，培养学生的创新意识。《课程标准》认为：应该培养每个学生具有一种独立自主的富有批判精神的思想意识，以及他们自己的判断能力。教学中教师要精心设计教学，不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应把数学知识方法贯彻到每一次探索活动中去，使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体验到成功的快乐，从而激发学生的创新欲望，体会到数学思想方法的作用。二、课题界定⒈本课题所说的“新课程”就是指新一轮改革后的数学课程体系。它体现出全新的教学理念：“强调使学生形成积极主动的学习态度，使学生获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程”，“加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能”，“倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。⒉本课题所说的“课堂教学设计”就是指我们高中数学教师在新课程教学思想和教学设计理论指导下，根据课程标准与教材要求，基于学生的学习特点和要求，对课堂教学活动的目标内容、组织形式、教学方式、学习情境、评价指导、教师角色及教学活动过程所作的整体、系统的策划和具体安排，以此提高课堂教学的质量和效益，实现不同条件下的教学过程最优化。实现“从知识本位到注重发展、从以教为本到主体参与、从单向灌输到情境建构、从静态预设到动态生成”与新课程改革相适应的、真正确立学生主体地位的课堂教学设计。三、理论支撑（一）建构主义理论建构主义学习观认为，学生的学习不是“由不知到知的过程”，而是学习者在个体原有知识经验的基础上不断生长出新知识的过程；学习不是教师将外部结论式知识强硬塞进学习者的头脑中，而是通过学习者对知识产生的过程的理解从而建构新知识意义的过程。建构主义的数学教学观所主张的教学方法与传统的注入式和题海战术，有着本质的区别．建构主义主张的教学方法其核心是强调学习者是一个主动的、积极的知识构造者．他们认为知识就是某观念；学习是发展，是改变观念；教学是帮助他人发展或改变观念；而行为是人类的活动，其实质是观念的操作化．建构主义认为教师的一项重要的工作就是要从学生实际出发，以深入了解学生真实的思维活动为基础，通过提供适当的问题情景或实例促使学生的反思，引起学生必要的认知冲突，从而让学生最终通过其主动的建构起新的认知结构．传统教学中的注入式和题海战术往往容易忽略学习需要主体的建构，而是把教学最大限度地转移到记忆、复现、再认上去．例如，注入式取消了结论所产生的建构过程，把学习变成反复再现由课本或教师规定的结论；题海战术取消了方法的建构过程，把学习变为重复某些规定的题型解法，等等．传统数学教学的一个主要弊端在于忽视学习者的主观能动性，忽视学习者是学习过程的主体．教师成了知识的“贩卖者”，学生被看成可以任意地涂上各种颜色的白纸，或可以任意地装进各种东西的容器。建构主义的数学教学观同我国数学教育家积极倡导的“让学生通过自己思维来学习数学”内在本质是一致的．在一定意义上说，我们认为没有一个教师能够教数学，好的教师不是在教数学而是能激发学生自己去学数学。好的教学也并非是把数学内容解释清楚，阐述明白就足够了。事实上，我们往往会发现在教室里除了自己以外，学生并未学懂数学．教师必须要让学生自己研究数学，或者和学生们一起做数学；教师应鼓励学生们独立思考，并接受每个学生做数学的不同想法；教师应积极为学生创设问题解决的情景，让学生通过观察、试验、归纳、作出猜想、发现模式、得出结论并证明、推广，等等．只有当学生通过自己的思考建构起自己的数学理解力时，才能真正学好数学。（二）“主导—主体结合”的教学设计理论1、理论基础奥苏贝尔的“有意义接受学习”理论、“动机”理论和“先行组织者”教学策略是以教师为中心教学结构的主要理论基础，建构主义的学习理论与教学理论则是以学生为中心教学结构的主要理论基础。这两种教学结构都有其优点与不足。如能将二者结合起来，互相取长补短、优势互补，则可相得益彰，形成比较理想的教学结构。2、过程与模式（1）可根据教学内容和学生的认知结构情况灵活选择“发现式”或“传递—接受”教学分支；（2）在“传递—接受”教学过程中基本采用“先行组织者”教学策略，同时也可采用其他的“传递—接受”策略作为补充，已达到更佳的教学效果；（3）在“发现式”教学过程中也可从分吸收“传递—接受”教学的长处；（4）便于考虑情感因素的影响；卡内基促进教学基委会主席、斯坦福大学教育学和心理学教授李·舒尔曼博士，在其教育理论专著《范式与课题》中精心勾画过一幅教学研究概括图，试图以此整合各种研究课题之间存在的重要联系。其核心内容有：（1）教师和学生是教学研究的主要成分。教学活动则是教师与学生的共同工作（活动），师生双方的三种属性潜在地决定了教室里的教和学，它们是能力、行动和思考。（2）教学活动发生在不同的背景之下。（3）教师与学生通过教学内容实现交互作用。多年的教学实践证明，学生数学知识的获得、技能的提高、创新的源头很大程度来源于课堂教学（教师、学生共同）活动之中，并且“学生主体”始终未离开过“教师主导”，结合数学课程标准中的新理念，我们认为：教学活动可以作为联系师生双方的第三个维度。在这三个维度构成的空间里，能够充分展示教师的“主导”作用，学生的“主体”意识，从而可以承载新课程的基本理念。数学课堂教学评价应该聚焦于这个空间。关于教师教师是联结学生与教材的纽带，是教学主体化的先导，其作用在于引发诱导、指导示范、反馈矫正与适时点拨。1．引导。虽然近年来关于“建构主义”理论下的教改很有气势（也很有成果），关于“行为主义”（外界刺激与行为体间的有效结合）的理论及实践几乎销声匿迹，但是很多成功的课堂教学实例与教学经验告诉我们：“行为主义”的学习理论也有极其重要的地位，未必要先“构建”再“认知”，通过“构建”去“认知”与通过行为体的“刺激”去“认知”虽属两种不同理论指导下的两种学习行为（或许一堂课不可能将他们同时展示出来），但两种行为的先导都离不开教师。课堂教学评价不该拘泥于教学方法的选择，“循循善诱”应涵盖丰富的新观念。2．指导示范。传统的数学课程体系基本是严格按照科学体系展开的，较少重视学生自己的经验，虽然对学生的“知识储备”起到了作用，但是学生的视野、主动与创造受到抑制。这里的指导示范应建立在充分暴露学生头脑中那些（或许）非正规的数学知识和数学体验基础上，使其发展为科学的结论，并从中感受到数学发展的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识。在这个环节中，教师角色应由传统的课程组织体系的灌输者成为教育学意义上的对话者。3．反馈矫正。因课堂教学内容的不同，自然出现传统“讲解法”与新潮“探究式”的教法选择，或许前者较易掩盖问题与矛盾，但后者所需时间与知识容量间的矛盾也是显然的。这就要求教师充分地了解学生并有预见性。我们认为学生无问题可问，找不出问题的一堂课必存在着重大问题，于是把教师如何站在学生角度并指导学生搜集问题、整理问题、解决问题作为一个重要的评价指标。4．点拨。教师不可能，事实上也无法代替学生的思维。该环节真实反映在“引导”“指导示范”“反馈矫正”的各个历程。较高的“点拨”艺术需要教育、心理学技术的综合。“豁然开朗”“于无声处”见“成果”则是“点拨”的最高境界。关于学生1．参与投入。由于知识并不是主体对客观实在简单的被动反应，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的一个主动的建构过程，同时学生的学习活动是在一个特定的环境──学校里，在教师的直接指导下进行的，所以学生的学习活动就成为一种特殊的建构活动。多年的教学实践中，还未发现课堂上学生“各行其是”却掌握了“数学知识”的事例。可见数学课堂教学中只有引导学生积极参与教学活动，投入精力探讨问题，“互动”才有保障，才有内容。2．展开。有一个普遍的现象：每节课刚开始时“差生”的状态并不差，这里除了保持注意力及其他非智力因素，一个重要的原因是，现行教材的每单元、每小节，总是以非常基础的知识点，甚至以常识为例产生的新问题开始的。正是在这个关键点──展开新环节处“差生”露出“无为”，严重妨碍了新知识、信息的接受，时间一长，“差生”才真正成了差生。展开的过程即是学生将实际问题抽象成纯数学问题（实际问题数学化）的过程，帮助学生学会数学地思考，学会数学地观察世界，这将影响到学生科学世界观的形成。3．深入。数学知识的获取、能力的提高以及数学教学的进程呈“螺旋式”上升模式，学生的数学知识储备之所以不断扩大，就在于“逻辑思维”与“非逻辑思维”能力的协调。数学知识的创新主要靠想象、直觉、顿悟等非逻辑思维方法，而不是靠严格的推证；同时，若没有严格的推理论证，创新的“成果”经不起推敲，也就难成“正果”。数学课堂教学正是让学生“领悟”这个过程，并引导学生进入科学研究领域，形成科学的世界观。比如，“触摸”概念，发现“定理”，认识“定理”并证明应用“定理”，便是课堂教学的最高境界。当然并不是每节课都会产生定理，倘若学生能不拘泥于“参与投入”“展开”状态，在教师的积极引导下，总结或发现新观点、新方法，也是“深入”的精华所在。因为这个环节包含了极其丰富的数学思想（类比、联想、发现、论证、创新）及诸多的教育心理学技巧（兴趣、注意力、意志的调动与培养）。4．拓展。数学源于实践，又最终为实践服务。经“参与投入”“展开”“深入”历程之后，“数学”还未完结，应用才是目标，将前三段历程的积累进行“拓展”，将是课堂教学乃至数学的最高目标和境界。数学课程标准要求“把宝贵的精力放在创新与互动上”，从一个侧面强调了课堂教学中“拓展”环节的重要性与必要性，该环节是创新的“分流”和“实验场”关于教学活动教学活动的核心是：重视学生对知识发生过程的心理体验、心智感受，并不断上升为理性的判断与创新，直至达到创新能力的形成。具体到课堂教学，其核心观念是：数学教育中指导学生，把握好数学知识方法体系与使学生体验数学知识方法的过程并重，提高学生的数学素养与基本素质并重。1．材料组织化。数学教育教学大纲指出，在数学教学中“应使学生通过背景材料、并运用已有知识进行观察、试验、比较、猜想、分析、综合、抽象和归纳，将实际问题抽象为数学问题，建立起数学模型，从而解决问题拓宽自己的知识”。可见进行一系列数学知识应用的前提，是不断地将背景材料加工整理组织的过程。该环节还有一个主要任务：在学生个性差异前提下，使不同层次的学生都有适合自己的状态，即在材料的组织内容和要求上有一定的弹性，以体现不同的教学要求。2．材料逻辑化。材料逻辑化主要针对新信息技术下的数学课堂教学。教师在设计教学过程时注意体现以人的发展为本，突出学生的主体和主动性，设计要以学生为中心，以情境创设为前提，以问题驱动为导向，引出每节课的学习课题，学生围绕课题查阅信息资料，自主学习或与同学协作学习或与教师交流。教师通过网络及时收集学生的反馈信息，进行指导和帮助，学生通过思考探索，对获取的信息进行判断和逻辑推理，完成对课题的理解、掌握应用和建构。3．材料数学化。力求体现知识的发生过程、对规律的探求和发展过程。在教师指导下，通过观察、操作、分析、比较，由学生自己去发现关系、性质和方法，并作出合理的判断。让学生在做数学的过程中学会“数学化”。4．内化。学生活动也可能启示教师的再活动（信息扩充、教法创新、材料重组）。这个活动是师生间互动、学生间互动的产物，将使教材应用生命化、教学活动灵魂化，是目前课程改革所需要的教学变革。四、教学设计的一般程序教学设计模式是一套程序化的步骤，不同的教学设计模式包含的步骤会有所不同，不存在适合所有内容的教学设计模式,但一般教学设计模式都包括一些基本的要素,如学习需要分析；学习内容分析；学习者分析；学习目标的阐明；教学策略的制定；教学材料的选择和利用；教学设计成果的评价。学习需要分析学习需要分析学习内容分析学习者分析编写学习目标制定教学策略选择和开发教学材料形成性评价总结性评价修改（一）对学生学习情况的有效分析；对学生需要、学习内容和学生情况等方面的分析，既要反映学生掌握数学知识和技能的状况，又要关注学生的学习过程和数学思维过程，以及考察学生解决问题的能力，还应了解学生学习数学时的情感与态度，因为有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关。在新的教育理念下，对于高中生数学学习的分析应该包括这样几个方面：1、对学生的数学基础知识与基本技能的分析；数学知识不仅包括“客观性知识”，即那些不因地域、学习者而改变的数学事实。如乘法运算法则、等比数列求和公式、直线与平面的位置关系等，它们被整个数学共同体所认同，反映的是人类对数学的认识；数学知识还包括从属于学生自己的“主观性知识”，即带有鲜明个体认知特征的数学活动经验。如对“复数”的作用的认识、分解立体图形的基本思路、解决某种数学问题的习惯性方法等，它们仅仅从属于特定的学习者自己，反映的是他在某个学习阶段对相应数学对象的认识。主要包括一些基本的数学事实性的知识，如定义、定理、公式，特定的证明，历史性的资料等。对知识与技能的分析中还包括对过程性内容的分析，如将一些实际问题抽象为算法的过程；探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程；提出问题、收集和处理数据、做出决策和预测的过程。2、对学生的数学能力的分析；数学能力，首先是基于上述基础知识的理解能力，表达能力，应用能力等。同时，还要重视对学生数学表达、交流、与人合作、发现问题、解决问题等方面能力的分析。数学能力具有丰富的含义，如，张奠宙先生在从回顾历史和展望将来的视角对常规思维数学能力和创新能力进行了具体的科学的界定。常规数学思维能力的10个方面：①数形感觉与判断能力；②数据收集与分析；③几何直观和空间想象；④数学表示与数学建模；⑤数学运算与数学变换；⑥归纳猜想与合情推理；⑦逻辑思考与演绎证明；⑧数学联结与数学洞察；⑨数学计算和算法设计；⑩理性思维与构建体系。数学创新能力的10个方面:：①提出数学问题和质疑能力；②建立新的数学模型并用于实践的能力；③发现数学规律的能力；④推广现有数学结论的能力；⑤构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力；⑥将不同领域的知识进行数学联结的能力；⑦总结已有数学成果达到新认识水平的能力；⑧巧妙地进行逻辑联接,做出严密论证的能力；⑨善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌；⑩知道什么是“好”的数学,什么是“不大好”的数学。3、数学学习态度、情感与数学价值观；分析的目的是要促进学生的发展。发展既包括认知的发展，也包括情感的发展和数学价值观。在对学生进行分析时，不仅要分析其记忆、理解、思维能力等认知方面的发展，还要关注学生情感与态度的分析。要考察学生是否主动地参与教学、对学习数学是否有信心、感兴趣、对与数学有关的问题是否充满好奇心、遇到难题时是否能够积极地努力去克服和解决等等。当前，在高中生数学学习如下一些问题仍值得深入研究：怎样才能有效地避免学生在知识与技能方面“只学不用”、“只会学不会用”的现象发生？怎样分析学生参与数学活动的程度和行为表现、合作交流的意识和能力？如何分析学生在学习过程中表现出来的数学思维策略、思维水平和思维品质？应从哪些方面分析学生提出、分析和解决问题的能力？什么时候进行情感与态度分析最合适？进行情感与态度分析的方法有哪些？（二）教学目标的有效教学设计；教学目标的设计是课堂教学设计的一个重要方面，决定着整个课堂教学设计的方向、过程及结果评估，直接关系到课堂教学效果和学生的发展。传统的课堂教学设计过分强调认知性目标，而智力、能力、情感、态度、价值观等方面形同虚设。由此导致的结果是课堂教学只关注知识的有效传递，见书不见人，从根本上失去了对人的生命存在及其发展的整体关怀，从而使学生成为被“肢解”的人，甚至被“窒息”的人。本研究以知识为本位转向以学生发展为本位。做到：=1\*GB2⑴教师要“目中有人”、“心中有人”。=2\*GB2⑵教师要有“全人”的概念。=3\*GB2⑶要注重学生个性发展。教学目标设计中的一般问题：①教学目标的表述形式——行为主体+行为动词（教学内容）+行为条件+表现程度。②目标的确定：A知识与技能：依据课标和教材；B过程与方法（能力）：依据课标、教材、学生；C情感态度与价值观：主要依据学生。③确定教学目标的原则：全面性；科学性；针对性；导向性；可操作性；可测性等。④课标中教学目标分类及行为动词目标领域水平层次行为动词知识与技能知道/了解/模仿了解，体会，知道，识别，感知，认识，初步了解，初步体会，初步学会，初步理解，求。理解/独立操作描述，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，推测，想象，理解，归纳，总结，抽象，提取，比较，对比，判定，判断，会求，能，运用，初步应用，初步讨论。掌握/应用/迁移掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题。过程与方法经历/模仿经历，观察，感知，体验，操作，查阅，借助，模仿，收集，回顾，参与，尝试。发现/探索设计，梳理，整理，分析，发现，交流，研究，探索，探究，探求，解决，寻求。情感态度与价值观反应/认同愿意，相信，主动，感受，认识，了解，初步体会，自信，有目的，体会。领悟/内化获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥，发展。（三）教学方法的有效课堂设计；教学有法，教无定法，贵在得法。要在整个教学方法体系中根据具体的教学目的和任务、教材内容的特点、学生的年龄特征和知识的基础，进行综合分析，把多种教学方法有主有从地配合起来，创造性地加以运用，达到教学方法的优化组合。在新课程理念的指导下，教学方法的有效课堂设计实质上是设计“导法”，而不是设计“教法”。1、确定教法的原则①依据教学原则；②依据教学任务；③依据教学内容；④依据学生实际；⑤依据自身特点。（2）选择教法应注意的问题①注意多样性和综合性。②注意灵活性和调控性。③对所选择的教学方法的掌握水平。④注意积极性和整体性。不同的教学目标会影响教学方法，不同的方法则使教学过也很不相同，教学侧重点也不相同。（四）情境创设的有效课堂设计；新课程的重要理念之一是倡导建构学习，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理新信息的能力以及交流与合作的能力。课堂教学设计从本质上以“知识建构”为核心，为“知识建构”提供良好的环境和支撑的过程。具体地讲，就是为学生进行“知识建构”创造一种具有“情境性”和“协作性”的学习环境，从而推动其在建构的过程中获得发展。课堂教学设计应注重情景创设，激发学生的求知欲望。许多数学家都认为，数学是美学的四大支柱（音乐、造型、诗歌、数学）之一：感受到自然界和人类的美，并用幽雅的韵律和美丽的辞藻讴歌她，这就是诗歌；用美丽的色彩和线条去表达她，这就是绘画；而感到存在于数与行之间的美，并以在理智引导下的证明去表达她，这就是数学。教学是艺术，数学也是艺术，数学教学更是艺术。广大教师作为艺术的直接展示者和传授者，在教学设计中能行云流水，闲云野鹤般的创造情境，去展示数学精神之魅力，阐述数学推理之妙谛，去展示教学的活泼与冷峻，浅显与深奥，体现数学艺术之风采。以此激发学生的求知欲望。1、创设问题情境。通过创设多种形式的教学情境，作用于学生的学习心理过程，使学生在充分参与的基础上，获得个体生命的体验，并在体验的基础上获得发展。如：新课程中每个章节都有数学家的名言、引言、阅读理解、实际问题的情景创设、思考·探究·链接等都是好的激发学生兴趣的素材，要提倡让学生通过阅读、观察，不断积累丰富的感性认识，并在实践感受中逐步认识、发展乃至创造，以提高学生的数学素质，从而培养学生学习数学的兴趣。又如：新课程实验教材中的算法验证，概率与统计中的数据处理，以及图象变换，情景创设等都渗透了信息技术的应用。多媒体辅助教学图文声像并茂，容易激发学生学习兴趣，提高理解和记忆效果，从而大大提高课堂教学效率。情境创设中注重以和谐的师生人际关系为基础，以有关史实材料分析、实物展示、实验演示或多媒体放映等手段为切入点，以教师的语言、动作为感染力，通过对学生感官的刺激和心理的感应，使学生形成一种积极的心态和良好的品质，从而明确目标，迎接挑战。2、设计协作情境。学习是一种社会性活动，师生的交往互动是促进学生有效学习的基本途径。学生个体以其原有的经验、方式、信念为基础进行学习，对同样的现实问题会有多样化的理解，而理解的差异本身就是一种非常宝贵的资源；共享和交流对同一问题的不同看法与理解，并在此基础上形成共识或达成谅解，就是一种广泛、深入而有效的学习。旧教材体现的是演绎体系，而新课程实验教材体现的是归纳体系，所以教师必须引导学生认真观察实验，归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，学生要通过分析，概括，抽象出数学概念，通过探究，推理，建立数学理论。学生要积极地运用这些理论去解决问题。在问题的探究过程中，教师要设计安排学生进行小组学习，鼓励小组活动，促进信息交流，创造条件，使学生有机会交流，发表自己的意见，评价他人的观点。这种方式有助于发挥学生学习的主动性，从而使学生的学习过程成为在教师引导和同学协作下“再创造”的过程。（五）课堂提问的有效课堂设计；课堂提问，是协调师生教与学的重要手段，一方面是对学生而言，提问能够启发学生思维，诱导学生主动探索知识和思考问题，从而培养和提高学生的思维能力。另一方面对教师而言，提问能使教师根据学生的答问得到学生对知识学习的反馈信息，从而调整教学方法，提高课堂的教学效益。1、设计提问的基本要求：要有科学性；要有启发性；要有层次性；要有适度性；要有针对性；要有趣味性；要有多向性。2、提问的设计第一类：基础型提问，按教材要求，掌握双基。第二类：深刻性提问，引导学生深入思考，获得方法，提高能力。第三类：点拨型提问，学生思考出现思维障碍时教师的点拨、引导。（六）课堂活动的有效课堂设计；课堂活动的有效课堂设计应遵循“以学生发展为本”的理念，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，使学生真正体验学习成功的乐趣，走向成功的彼岸。在数学课堂教学设计时，教师要根据教学内容有针对性地设计组织学生参加探究活动。具体可采用自主探究、合作探究、网络探究等方式，充分调动学生学习的积极性、主动性和创造性，最大限度地让学生参与到教学活动中去。在此过程中教师要转变观念，转换角色，要把自己置于学生学习活动的组织者、引导者和合作者的地位，要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，要充分相信学生，给学生参与探究活动的时空，引导学生投入到自主探究、合作探究、网络探究活动中去。（七）课件制作的有效课堂设计；建构主义理论认为，知识不是通过教师的传授得到的，而是学习者在一定的情景即社会文化背景下，借助他人（包括教师和学习伙伴以及现代教育技术等）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的，“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。因此建构主义学习理论强调以学生为中心，要求学生由外部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体，知识意义的主动建构者；要求教师由知识输灌者转变为学生主动建构意义的帮助者和促进者。把现代教育技术引入到数学教学，优化了课堂教学，激发了学生浓厚的学习热情，使整个学习过程充满激情，课堂上充分体现了学生是学习的主体。教师应充分挖掘教材中的有趣因素与艺术魅力。运用现代教育技术表现手段多样化的特点，充分唤起学生的学习兴趣。在课件制作的设计时，应该充分考虑给学生以多种的感官刺激，激发学生对所学数学的“兴奋点”。课堂教学设计过程中，课件制作的特点是：①教师在课堂中起主导作用，控制教学过程；②现代教学媒体与传统教学媒体有机结合；③通过教学设计确定教学目标，选择教学媒体（包括教学软件，影像资料）、策划教学过程、进行学习评价；④融合现代教育技术，促进学生自主的探究式学习，培养学生创造性思维。五、课堂教学设计的一般模式（一）“合作－探究”模式新课程区别于以往课程的最大特点之一是“创设情境”、“合作交流”、“自主探究”的教学与学习方式。新课程的理念是：倡导全面、和谐发展的教育；重新设置新的课程结构，体现课程内容的时代特征；倡导建构式的学习；形成正确的评价观念；促进课堂教学的民主化与适应性；课程有普及性、基础性、发展性，有人本主义的教育思想，强调与实际生活的联系，注重学生创新意识的培养；以此而形成的新的数学教学模式，应体现以下特征：合作交流、活动尝试合作交流、活动尝试生生探究、师生探究评价反思、深入质疑创设情境、提出问题回归现实、解决问题（二）“问题教学”课堂模式问题性教学的关键是必须界定什么是“问题”。问题有两类：一是指一些问答式的问题，它具有陈述性和简单性，如“求值域有哪几种方法？”、“圆的定义是什么？”等等；二是指一些求解式的问题，它具有程序性和复杂性，必须通过周密的思考，借助某些特定的有效程序，经过主观努力才能完成的。如“本节课里你学到了什么知识和数学思想方法？”，前者是学生学习或回忆陈述性知识，而后者能使学生在知道陈述性知识的同时，学习程序性知识或促使陈述性知识向程序性知识转化。在现实中有这样的课堂：教师提出的问题很多，回答得也很热闹，一堂课下来，课堂内没有学生静静思考问题的时间。据调查发现：教师的课堂提问次数很多，让学生思考的时间很少；从问题类型来看，事实性问题太多，理解性问题极少，应用与综合性的问题几乎没有，其实，这样的教学不是问题性教学。究其原因，我们很多教师没有搞清什么是“问题”？教学的组织中，只有增加第二类问题，才能在课堂上增加学生的思维力度，所以，我们所说的问题性教学中的“问题”主要是指第二类。

对问题而言，也有好的和一般之分，应尽量采用或选择一些“好问题”。一个“好问题”应具有以下一个或几个特征：（1）有与它有关的简单的、学生能够理解和解决的问题；（2）在学生已有的知识和能力范围内有多种解决途径；（3）学生能据此导出其他类似的问题；（4）学生有直接的兴趣或有一个有趣的答案；（5）能用学生已有的知识和方法或通过探索可达到的知识和方法进行推广。在心理学上把问题大致分为三类：呈现型问题、发现型问题和创造型问题，这三类问题的要素如下表所示。问题是否给定求解的思路是否已知答案是否一定呈现型问题是是是发现型问题否否是创造型问题否否否以上三种“问题”是不等价的，“呈现性问题”往往追求唯一正确的答案，因而妨碍创造性的发挥；“创造型问题”因其独特、新颖而且富有科学意义而难得见到；中学生的问题意识主要体现在“发现型问题”，是让学生自由探讨、积极思维、大胆地提出问题、揭示问题。尽管这种探索并非每次都有所发现，有所创造；但它激发了学生对问题、现象保持一种敏感性和好奇心，通过批判性思维，形成自己的独特见解。六、课堂教学设计模板（一）教学内容分析1．教学主要内容2．教材编写特点本节课内容在单元中的地位，本节课教材编写的意图及特点等。3．教材内容的核心数学思想4．我的思考下面的学习目标、活动设计、组织与实施是如何落实对教学内容分析的理解，特别是核心数学思想的落实。说明：教学内容分析应该建立在教师良好的数学素养之上。可以在教学组内或学区中心集体研讨，或专家的指导下完成。需要注意的是，对教学内容的分析应体现在学习目标和教学过程的设计上。（二）学生分析1．学生已有知识基础（包括知识技能，也包括方法）2．学生已有生活经验和学习该内容的经验3．学生学习该内容可能的困难4．学生学习的兴趣、学习方式和学法分析5．我的思考：下面的学习目标、活动设计、组织与实施是如何落实对学生分析的理解。说明：学生分析应该通过学生调研，以作为科学依据，不能仅凭经验判断。学生分析是个性化的工作，不能由他人的结果简单代替自己的学生分析。已有知识基础的调研可以通过设计几个指向明确的小问题实现，对这方面的数据统计及分析是更为重要的，这种分析是教师设计和修正“学习目标”的重要依据。学生经验、学生学习困难、学生学习兴趣等的调研可以通过访谈实现，可以是抽样，也可以是有针对性的，如对于学困生做特别的访谈，可能会发现他们身上所具有的学习要素。调研中可以将学生测验、访谈、小组观察等结合起来。（三）学习目标（以学生为主语）知识与技能过程与方法（数学思考、解决问题）情感态度价值观说明：1．教学内容分析和学生分析是学习目标制定的依据和前提。因此，如果对教学内容分析的要求越透彻，对学生分析的要求越科学和规范，学习目标的设计就越不是一件简单而迅速的工作。2．学习目标是为学生的“学”所设计，教师的“教”是为学生的学习目标的达成服务的。学习目标是个性化的，又是尊重数学学科发展需要和学生未来学习需要的。3．学习目标的制定应从以上几个方面进行思考，但具体形式不一定逐条对应。4．学习目标应该在下面的教学活动中得到实在的落实。特别是教学活动中设计意图应该阐释，活动及其组织与实施是如何为达成目标服务的。（四）教学活动教学活动就是为学习目标的实现所设计的活动。包括1．活动内容2．活动的组织与实施说明：指教学活动开展的具体形式，包括学生学习方式—独立学习，还是合作学习等；教师活动的开展—提问或提出任务，组织合作学习，组织交流，讲授等；教学资源的准备等，如学具、教具、课件等。3．活动的设计意图说明：为教学活动和活动的组织实施进行辩护，辩护的出发点是分析它们是否促成了学生学习目标的达成。不是简单地主观臆断是为目标服务，应该有一定的理由—数学的、教学的。更不应该写成一些没有针对性，放之四海而皆准的“普遍真理”。活动的时间分配预设说明：主要指对教学活动的时间分配预设，以便于自己检测教学设计上合理与否。下面为参考格式活动内容活动的组织与实施（含教师活动和学生活动）设计意图时间分配（五）教学效果评价目的是检测学习目标是否实现，为进行教学反思和改进教学提供依据。可以采取测验、访谈、课堂观察等多种方式评价教学效果。教学设计中应包括教学效果评价的方案。例如，对于知识技能目标达成度的评价，可以设计当堂课或课后能够做的1-2个小问题。以下几点供教师思考：情境的作用是什么？应该为学习目标服务，不是仅仅追求“热闹”。如何组织教学活动，如小组活动的组织、信息技术的使用、练习的设计等，使得它们更为有效？学习目标是教学设计的核心，设计了就要努力执行和实现。所有的教学活动和教学设计都应该为促成“目标”的实现服务。教学是需要设计的，最后达到寓教于“无形”之中。设计应该考虑单元或更大的范围。七、课堂教学设计案例及其分析数学教学设计案例1课题名称：余弦定理教学年级：高一年级（下）姓名：虞涛（一）教学内容分析1．教学主要内容本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。余弦定理是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。2．教材编写特点“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本、必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓。正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题。3．教材内容的核心数学思想正弦定理、余弦定理构建斜三角形的完整知识体系，是解斜三角形的重要工具。通过解三角形的应用，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。4．我的思考《余弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。为此我们根据“问题教学”模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为主线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。（二）学生分析布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。“余弦定理”教案上海市建平中学虞涛教学目的1．掌握余弦定理及其证明方法．体会向量的工具性.2．通过对余弦定理的研究和初步应用,培养观察发现、合作交流能力和探索精神.教学重点余弦定理及其应用教学难点证明余弦定理教学过程一、复习提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？已知两边和夹角；已知三边.首先分析最特殊的三角形——直角.如图1.已知两边a,b及夹角，能否求第三边？勾股定理二、引入提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？在△ABC中，当时，有．实验：若a,b边的长短不变，的大小变化,与有怎样的大小关系呢？如图2，若时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变短，即.如图3，若时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变长，即.图1图2图3当时，，那么与到底相差多少呢？与怎样的角有关呢？显然应与∠C的大小有关.图1图2图3三、定理证明探求与及∠C的大小关系.提问3：如何利用向量解决：（1）探求与及∠C的大小关系.边与∠C有怎样的位置关系？（2）边c的所在直线向量怎样用所在直线向量表示出来？如图4，向量的点乘公式：（引导学生选择合适的向量方向）图4向量的减法法则：图4.同理可得..这就是余弦定理.它在实际测量中有很好的作用.16世纪，法国数学家韦达利用三角法证明余弦定理.一些教材还介绍了利用解析法证明.事实上还可以利用几何法证明.对勾股定理的证明目前有40多种，而对余弦定理的证明方法却不多见，这正我们同学积极思考和创造的机会.留给同学课后研究.四、定理研究提问4：余弦定理中有什么特点、规律？蕴藏什么秘密？等待着我们探索发现，分4人一小组合作完成.小组代表发言，一组一条不重复.学生对定理的研究：表示关系：1．边角关系2．三边和一角文字表述：3．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式作用：4．已知两边和它们的夹角的大小，可求第三边的大小；5．已知三边，求三个角.基本练习：（1），求（2）（课本p132例题）在中,已知，求和C（精确到1°）.另一种表现形式：...定理推广：6．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.当时，.定理推广：7．直角三角形中的锐角三角比是余弦定理的特例当时，，定理联系：8．若①+②得：这是三角形中的射影定理.判断三角形的形状：9．判断钝角三角形的充要条件：有一边的平方大于另两边的平方和.10．判断锐角三角形的充要条件：任意两边的平方和大于第三边的平方.……五、定理应用例1．（课本p33例题）在中，已知解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）提问5：已知什么条件，求什么，先求什么，再求什么.（1）已知两边及夹角，先求第三边；（2）通过三边，求角A；（3）求角六、小结提问6：这节课我们学习了什么知识、它有什么作用、利用了什么数学思想或方法.（1）本节课我们研究余弦定理.它有两种表现形式，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．（2）余弦定理的作用通过它的两种形式直接表现：已知两边及夹角求第三边；已知三边求三内角．它和正弦一起解决了解三角形中各类问题.（3）本节课我们利用向量法证明定理，体现向量法的灵活运用.七、作业基础性巩固练习1．课本p133,3.4.2．在△ABC中，已知下列条件,求解三角形（1）．（2）．（3）.独立性探求问题3．写出三角形为锐角三角形的一个充要条件.合作性研究问题研究利用几何法、三角法、解析法或创造新的方法证明余弦定理.教学课后反思与总结在下面几个方面很好地完成教学任务和实现教学目标：1．课题引入：研究一般三角形的一类问题，目标明确.由特殊的直角三角形开始研究，探讨斜三角形中一边的平方和另两边平方和及夹角的关系.展现知识发生和发展过程.2．定理证明：利用向量证明定理，条理清晰、思路轻松自然.3．定理研究：创造学生自主探究的氛围，让学生（细心）观察、（小组）讨论、（交流）合作、（代表）报告.充分调动学习的积极性，促进不同层次的学生合作交流.4．思想总结：本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。创设数学情境是“问题教学”模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。这种教学模式主张以问题为“主线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。数学教学设计案例2课题名称：分形几何的研究教学年级：高二年级（下）姓名：王长俊（一）教学内容分析1.教学主要内容与特点课题《“分形”几何的研究》是建平中学模块课程改革中数学人文模块课程系列之数学大师板块的一个案例。这个课题的选择是在对中外古今数学大师成果经过系列研究，得到一些基本共识的基础上，由学生课题研究组自己选择落实的。在以往的模块课程中，我们对笛卡儿平面直角坐标系的坐标法思想进行了研究，对吴文俊教授从研究中国古代算法中受到启发，并结合现代计算机技术进行思考，发展出了世界领先的“数学定理机器证明”方法（世称“吴方法”）等课程研究之后，结合学生现有的数列与数列的极限的知识结构的基础上，在与学生课题组对迭代等思想方法经过交流讨论之后，再由学生课题组独立完成的。2.教材内容的数学核心思想数学模块课程之数学人文——数学大师板块，注重数学概念的学习，数学文化的渗透，注重民族精神和生命意识的教育，注重数学概念发生、形成、发展和应用的过程及其与社会发展的相互作用，使学生从数学的内容、数学的思想方法的学习过程中，感受数学的人文精神。强调以人为中心，强调人的情感，人的体验，求善求美，从而逐渐养成学生自强、自立和不怕困难的品格、善于思维、善于创新，追求在与他人、集体、民族和国家的和谐相处中实现个人的价值及对“真、美、善”的崇高追求。强调为学生探索求知创设合适的情境，重视从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程，为学生建立合理的数学学习训练系统，向学生提供丰富的学习资源、自主探究的时间以及必要的指导和帮助，使学生的认知获得、过程经历、情感态度与价值观不断提升，并在数学学习中得到和谐统一。（二）学生与教学现实的分析“数学大师”模块课程在内容的选择方面，主要围绕高中数学知识体系和学生现有的认知结构知识背景，选取了与现行高中数学课程教学大纲有关的古今中外数学大师，主要针对他们的生平事迹、主要研究成果（影响）以及数学思想发生、发展和形成过程等方面进行了实践探索。通过课题研究的形式，以师生互动、合作探究的教学方式实施模块课程，力求在具体课堂教学过程中凸显数学发展史、渗透数学本源和体现数学人文价值，实现数学的“人文精神、科学素养、道德品质”等三个维度目标（具体论述详见案例分析）。其中数学大师的主要研究成果中所蕴涵的数学思想发生、发展和形成过程等成为学生数学学习实践活动、感悟数学大师和提升数学人文价值的重点。而实现该重点的突破口是问题解决。这里所谓的“问题”是指：（1）对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决，是学生实践过程中对数学思想方法和数学思维的提炼和升华；（2）可以是一种情境，其中隐含的数学问题要学生自己提出、求解并作出解释；（3）具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；（4）不一定有终极的答案，各种水平的学生都可以由浅入深地作出回答；（5）解决它往往需伴以个人或小组的数学活动。走进数学大师、了解数学大师和感悟数学大师，是数学人文——数学大师的基本模式。通过这一模式，完善一种“教育进程”，完成一种实践状态的“教育事件”。“数学大师”模块课程强调学生在教师指导下所获得的经验或体验，以及学生自发获得的经验或体验，强调对教师特长、学生兴趣、数学学科发展、环境利用等四因素的整合，这四个要素间持续的相互作用便构成“数学大师”模块课程的基本内涵。模块课程的主体是教师和学生，他们是课程的共同开发体，是课程的建构者。在师生平等对话、合作学习的过程中，教师通过进行有效地指导，热情地鼓励，学生通过进行积极地探究，自主地建构，共同实现推动学生学习方式的变革。（三）学习目标【教学目标】1、了解“分形”几何概念的发生、形成、发展的过程，感知数学史中一些重要概念、原理和方法的来龙去脉，领会数学大师们创造性思维的形成过程。2、掌握雪花曲线的周长、面积公式，体会构造、递推、极限等数学思想方法以及迭代思想方法。3、领会“分形”几何的应用，落实“发现美”、“欣赏美”和“鉴赏美”的数学人文的学科价值，渗透“民族精神”之“国家意识”和“生命意识”之实践生命价值的教育。【教学重点】“分形”几何的概念。【教学难点】雪花曲线的周长、面积公式的推导。【教学方法】根据学生的知识结构背景，确立研究课题，引导学生自主积极参与，充分发挥学生的主体作用，力求增强学生在活动全过程中的体验感悟，采用合作探究式的教学方式，形成教学互动，激发学生创造热情。（四）教学活动活动内容活动的组织与实施（含教师活动和学生活动）设计意图时间分配创设情境，导入新课。教师活动学生活动约1分钟一、教师导入课题。【走近分形几何】我们前面已经学习了数列和数列的极限等知识点，并对其中的递推、极限等思想方法有了一定的了解。大家有没有想到过，在数学学科中还有一门叫“分形几何”学的数学分支中也蕴含着递推、极限等思想方法，甚至还有更丰富的数学思维意识。今天我们的模块课程就“分形几何”的产生、形成和发展过程，对其中所蕴含的迭代思想方法、“分形几何”的应用以及创造分形对象等方面来进行研讨。二．教师引导、师生共作完成对“分形”几何的研究过程。1、通过观察分形几何的静态平面图形、静态立几图形和动态的图像，使学生处于真实的情景，感知“分形”，引入“分形”几何的概念，形成初步印象。在得出一般感性认知的基础上，教师呈现课题组研究成果，并着重强调分形几何的三个特征：无限复杂、一定规则、自相似性。◆分形几何：研究无限复杂但具有一定规则下的自相似性的图形或结构的几何学。◆自相似性就是局部与整体相似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包含的细节并不比整体所包含的少，不断重复的无穷嵌套，形成了奇妙的分形图案，它有严格的几何相似性。2、“分形”几何的发生、形成、发展和应用的过程。使学生对分形几何产生兴趣，激发学生探求新知的欲望。1、学生占有资料，通过观察等手段，想处理和解决这个问题；2、使学生了解分形几何。大胆猜想，寻求新知。（课件展示）（1）回顾历史问题——问题一：英国的海岸线有多长？学生各个课题组探讨，并形成讨论结果，课堂上师生进行交流这个“问题”：（1）对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决，是学生实践过程中对数学思想方法和数学思维的提炼和升华；（2）具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；（3）不一定有终极的答案，各种水平的学生都可以由浅入深地作出回答；（4）解决它往往需伴以个人或小组的数学活动。约7分钟议一议课题研究组汇报研究结果：◆《英国的海岸线有多长？》是当代美籍法国数学家和计算机专家曼德尔勃罗特于1967年在《科学》杂志上发表的一篇论文的标题。◆论文中，曼德尔勃罗特认为：你不可能有准确答案！◆英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度。（2）阐述曼德尔勃罗特的假设推理过程，展现分形几何的发生、形成过程，与学生一起归纳分析曼德尔勃罗特的假设推理过程所蕴含的数学思想方法和数学思维。曼德尔勃罗特假设推理：1、如果你乘一架飞机在10000m的高空沿海岸线飞行测量，同时不断拍摄海岸照片，然后按适当的比例尺并计算这些照片显示的海岸总长度，其答案是否精确呢？2、如果你改乘一架小飞机在500m高处重复上述的拍摄和测量，其答案是否精确呢？3、假设你就在地面上，用长度为10m的标尺来测量海岸线的长度，其答案是否精确呢？4、如果你改取长度为1m的标尺呢？5、在不同的情况下，你所得到的答案都将不断增大。为什么呢？学生主动参与，课题研究组汇报成果。与数学大师的数学思想方法和数学思维意识发生碰撞，形成对比与反差，解释原因，进行深入探究。4分钟想一想原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则。1、测量其长度时，如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L1；2、测量其长度时，如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略,此时得出的长度L2＞L1；3、测量其长度时，如改用厘米作单位，所得长度L3＞L2＞L1,…．采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大（如图所示）．可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的。•曼德尔勃罗特于1975年发表了他的划时代的专著《分形：形、机遇和维数》，第一次系统地阐述了分形几何的内容、意义、方法和理论。给学生思考的时间和空间，独立思考并适当交流理解“分形几何”产生、形成的过程，区别与联系领会特殊与一般的辨证关系。6分钟应用举例，发展深化问题2：从数学思想方法或数学思维的角度，谈谈你们小组对曼德尔勃罗特的假设推理过程的认识？例如，数学思想方法方面：递推思想、分类思想、极限思想等；数学思维方面：类比与联想、归纳与推广、特殊与一般、顿悟与灵感等；回归数学的本源意义，促进学生用数学思想方法、数学思维意识考虑并解决问题，问题不一定有终极的答案，各种水平的学生都可以由浅入深地作出回答。2分钟练一练，你会了吗？（3）为了更好地解释这个实际问题，提出数学建模意识，建立“分形”几何的数学模型——“雪化曲线”，强化“分形”几何的定义：研究无限复杂但具有一定规则下的自相似性的图形或结构的几何学。瑞典数学家黑尔格·冯·柯克（H.vonKoch，1870~1924年）的“雪化曲线”为曼德尔勃罗特的海岸线问题提供了理想的数学模型。教师对分形几何的三个特征予以强化，如强调：雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样。规则：将一个正三角形的每一边三等分，然后以居中的那一段为底边向外作正三角形并且把底边去掉，便得到第一条雪花曲线，它是一个六角形。再将六角形的每一边三等分，又以中间的一段为底边向外作正三角形并把底边去掉，便得到第二条雪花曲线。不断地重复上述操作，便得到一个雪花曲线系列。学生思维积极，独立求解。及时巩固，内化，提高解决问题的能力2分钟动脑筋（4）推导雪花曲线的周长和所围成的面积的计算公式，分析雪花曲线的内在规则，渗透递推思想方法，雪花曲线中的迭代思想方法分析，再一次解释问题：英国的海岸线有多长？【课堂上师生共作，分析完成对数学知识结构的建构】学生在思考的基础上,进一步合作交流,设计目的是引领学生利用分形几何的本质属性进行计算，解决计算问题。5分钟运用知识，拓展思维（5）通过雪花曲线的递推关系，分析分形几何中所蕴含的“迭代”思想方法，并与计算机程序流程图进行比照，进一步理解“自相似性”中的迭代思想方法，强调分形几何的数学特征。问题3：根据下面的