DSP-Chapter4-变换域系统答辩【可编辑的文档】

Chapter4变换域系统罗新龙北京邮电大学信息工程学院101#,100876DSP:DigitalSignalProcessing1页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙OverviewFrequencyResponse(FR)TransformFunction(TF)PhaseDelayandGroupDelayDSP:DigitalSignalProcessing2页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统的不同描述对于一个线性移不变离散时间系统,我们有如下的四种描述.频率响应传递函数差分方程卷积关系y(n)=x(n)*h(n)DSP:DigitalSignalProcessing3页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙频率响应(FR)傅立叶分析把所有信号表示成正弦信号的和,如正弦函数是LSI系统的特征函数.正弦函数的尺度变换描述了系统的本质特性---FrequencyResponse.DSP:DigitalSignalProcessing4页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙正弦函数作为特征函数IR的h(n)完全描述了LSI系统输入正弦信号DSP:DigitalSignalProcessing5页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙系统的频率响应H(ej

)如果输入x(n)是单位正弦信号,则脉冲响应为h(n)的系统输出的信号是原信号的|H(ej

)|,相位偏移arg{H(ej

)}=

(

).|H(ej

)|为幅频响应增益arg{H(ej

)}为相频响应相偏移DSP:DigitalSignalProcessing6页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙实正弦信号实际应用的信号都是实数,如DSP:DigitalSignalProcessing7页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙实正弦信号频率为

0的实正弦信号通过脉冲响应为h(n)的LSI系统,它的增益

相偏移

为(0)DSP:DigitalSignalProcessing8页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙系统的暂态/稳态大部分信号从一个有限时间开始,如DSP:DigitalSignalProcessing9页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙系统的暂态/稳态暂态是脉冲响应h(n)傅立叶变换的尾部.对于FIR系统当n

N时h(n)=0,此时暂态也为0.

对于任意稳定的IR系统,当n

很大时,暂态趋于零.DSP:DigitalSignalProcessing10页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙FRExample

MA滤波器

DSP:DigitalSignalProcessing11页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙FRExampleDSP:DigitalSignalProcessing12页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙FRExampleMA滤波器输入

0=0.1

H(ej

0)~4/5ej

0

1=0.5

H(ej

1)~-1/5ej

1输出DSP:DigitalSignalProcessing13页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统的传递函数对LSI系统的差分方程(LCCDE)两边取Z变换得:由Z变换的卷积性质得

Z[y(n)]=Z[x(n)*h(n)]=X(z)H(z)DSP:DigitalSignalProcessing14页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统的传递函数传递函数为系统的输出与输入之比:DSP:DigitalSignalProcessing15页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙FIR系统的传递函数如果LSI系统的传递函数H(z)中,a(k)=0,k=1,2,…,N,并令b(0)=1,则传递函数为:

H(z)=1+b(1)z-1+…+b(M)z-M

对应的差分方程为:

y(n)=x(n)+b(1)x(n-1)+…+b(M)x(n-M)对应的单位抽样响应为:

h(n)=b(0)(n)+b(1)(n-1)+…+b(M)(n-M)DSP:DigitalSignalProcessing16页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙有理多项式的Z变换考虑有理多项式:为了与Z变换一致,我们以z-1

作为变量重新整理了多项式.DSP:DigitalSignalProcessing17页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙有理多项式Z变换的因式分解可以对有理多项式H(z)作因式分解:{zk}为分子多项式的根

H(z)=0,即{zk}为H(z)的零点.{pk}为分母多项式的根

H(z)=,即{pk}为H(z)的极点.

DSP:DigitalSignalProcessing18页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙零点和极点图可以把零点和极点画在同一个复-z平面图中.DSP:DigitalSignalProcessing19页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙IIR系统的稳定性如果a(k),k=1,2,…,N不全为零,输入端包含输出端的反馈,则单位冲激响应h(n)将无限长,记为IIR系统.一个LSI系统稳定的充要条件是它的所有极点都位于单位圆内.Proof:我们先假设有理多项式H(z)的极点是单极点,那么它可以分解为DSP:DigitalSignalProcessing20页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统稳定性的判据每个因式ck

z/(z-pk)对应一个时域序列,因此H(z)对应的时域序列为由于系统稳定的充要条件为

因此为了上式级数有限必须且只需公比|pk|<1.DSP:DigitalSignalProcessing21页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统稳定性的判据如果有理多项式含有多重极点,不妨假设有两重极点p,则:

H(z)的分解式中含有分式z/(z-p)2,因此:H(z)的时域序列h(n)中包含级数,而这个序列当|p|<1时收敛.因此当LSI系统含有多重极点时,它只要位于单位圆内,则也稳定.h(n)序列的级数求和等价于它的Z变换为z=1时的情形.DSP:DigitalSignalProcessing22页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙TFExampley(n)=x(n)–1.2x(n-1)+x(n-3)+1.3y(n-1)-1.04y(n-2)-0.222y(n-3)

分解

0=0.6+j0.8,0=0.3,1=0.5+j0.7.DSP:DigitalSignalProcessing23页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙TFExample极点为

i

ROC因果序列ROC:|z|>max{|

i|}

包含单位圆稳定DSP:DigitalSignalProcessing24页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙有理多项式Z变换的频率响应LSI系统的频率响应关系式:传递函数的关系式:只要在传递函数中令z=ej

就可以得到系统的频率响应.DSP:DigitalSignalProcessing25页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙有理多项式Z变换的频率响应由传递函数得到系统的频率响应:由于|z|=1,因此当取不同的值时,ej

在单位圆上变化,可以得到模与幅角都在变化的向量:ej

-zr

,ej

-pk.DSP:DigitalSignalProcessing26页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统的幅频响应和相频响应复数的运算法则:

z=z1

·z2|z|=|z1|·|z2|,=1+2.z=z1

/z2

|z|=|z1|/|z2|,=1-2.LSI系统的幅频响应:LSI系统的相频响应:DSP:DigitalSignalProcessing27页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统的频率响应举例例:一个LSI系统的差分方程为

y(n)=x(n)–4x(n–1)+4x(n–2)大致分析一下该系统的幅频和相频响应.解:容易求得系统的传递函数为

H(z)=1–4z-1+4z-2=(z–2)2/z2.这个系统是FIR系统,它在z=2处有两重零点,在原点处有两重极点.令z=ej

则

H(ej

)=(ej

–2)2/(ej

)2DSP:DigitalSignalProcessing28页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙LSI系统的频率响应举例幅频响应:|H(ej

)|=|ej

–2|2/|ej

|2=(cos

–2)2+sin2

=5–4cos

|H(ej

)|的周期为2,当0<时,它是一个单调增函数,当<2时,它是一个单调减函数,当=取得最大值9,当=0时,取得最小值1.DSP:DigitalSignalProcessing29页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙幅频曲线图DSP:DigitalSignalProcessing30页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙相频响应相频响应:(z–2)=(cos

–2)+jsin=rej

即rcos=cos

–2rsin=sin=+arctg(sin/(cos

–2))相位为:()=2–2

=2+2arctg(sin/(cos

–2))–

2.DSP:DigitalSignalProcessing31页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙相频响应图DSP:DigitalSignalProcessing32页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙UnwrapPhaseResponseMatlab的子程序为:unwrap(p)DSP:DigitalSignalProcessing33页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙IIR系统的信号流图与结构IIR系统的信号流图:

y(n)+

1kN

a(k)y(n-k)=

0rMb(r)x(n-r),b(0)=1用表示单位延迟,用表示乘法器,表示加法器.

Z-1b(i)DSP:DigitalSignalProcessing34页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙滤波Idea:构造H(ej

)分离有用信息.e.g.x(n)=Acos(

1n)+Bcos(

2n),

第一部分我们感兴趣,第二部分我们不感兴趣.构造滤波器:|H(ej

1)|~1|H(ej

2)|~0那么y(n)=h(n)*x(n)Acos(1n+(1))DSP:DigitalSignalProcessing35页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙FilteringExample3点FIR滤波器h(n)={}混合频率1=0.1rad/samp

和2=0.4rad/samp,滤去1,即H(ej1)=0.

H(ej

)=

nh(n)e-jn=

+e-j

+e-j2

=e-j

(+(ej

+e-j

))=e-j

(+2cos())

|H(ej

)|=|+2cos()|,

=0.4时,|H(ej

)|=1,

=0.1时,|H(ej

)|=0=13.76,=-6.76.DSP:DigitalSignalProcessing36页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙FilteringExampleFilterIR频率响应Input/OutputDSP:DigitalSignalProcessing37页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙相延迟和群延迟对于正弦输入x(n)=cos(

0n),y(n)=|H(ej

0)|cos(

0n+(0)),|H(ej

0)|为增益,(0)为时偏移或者相偏移.i.e.or,此处称为相延迟.DSP:DigitalSignalProcessing38页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙PhaseDelayExample对于三点滤波器

H(ej

)=e-j

(+2cos())

()=-

()=-(()/)=1即对于所有频率有一个采样点的延迟.DSP:DigitalSignalProcessing39页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙群延迟考虑调制载波x(n)=A(n)cos(

cn),A(n)=Acos(

mn),并且

m<<

c包络的延迟和载波的延迟可能不同.DSP:DigitalSignalProcessing40页北京邮电大学信息工程学院:罗新龙GroupDelay因此x(n)=Acos(

mn)cos(

cn)=A/2[cos(

m-

c)n+cos(

m+c)n]从而y(n)=h(n)*x(n)=A/2[H(ej(

m-

c))cos(

m-

c)n+H(ej(

m+

c))cos(

m+

c