山西省大同市阁老山中学高三数学理月考试题含解析

山西省大同市阁老山中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对于任意x∈R恒成立，且f()＞f(π)，则f()的值为（）A． B．0 C． D．参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意得f（）是函数f（x）的最值，求得φ=kπ﹣．再根据f（）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，从而求得f（）的值．【解答】解：由题意可得，f（）是函数f（x）的最值，故有2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣．再根据f（）=sin（π+φ）=﹣sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：D．2.若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为

A．(0，1)

B．(，1)

C．(，+∞)

D．(1，+∞)参考答案：D3.设是双曲线的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是的角平分线，过点作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则的长为（

）A.定值a B.定值bC.定值c D.不确定，随P点位置变化而变化参考答案：A【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．【详解】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，∵PQ是∠F1PF2的角分线．TF1是PQ的垂线，∴PQ是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P为双曲线1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，∴|OQ|＝a．

故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题，属于中档题．4.（

）A．

B．

C．2

D．不存在

参考答案：B5.已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．参考答案：B略7.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率，求得b=c，则椭圆的标准方程转化成x2+2y2=2b2，求得右焦点关于直线x+y﹣1=0对称的点，代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，则b=c，则设椭圆方程为x2+2y2=2b2，∴右焦点（b，0）关于l：y=﹣x+1的对称点设为（x′，y′），则，解得，由点（1，1﹣b）在椭圆上，得1+2（1﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴椭圆的标准方程为：，故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点关于直线对称的求法，考查计算能力，属于中档题．8.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B由图象可知，所以函数的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，选B.9.在△中，，，，则（A）

（B）（C）

（D）

参考答案：C略10.设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5},B={2,5},则A∩(CUB)等于（

）A.{2}

B.{2,3}

C.{3}

D.{1,3}参考答案：D,所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点在曲线上，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为

。参考答案：答案：（1．0）12.某舰艇在A处侧得遇险渔般在北偏东45.距离为10海里的C处.此时得知.该渔船沿北偏东105方向.以每小时9海里的速度向一小岛靠近.舰艇时速21海里.则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟.参考答案：4013.已知有限集.如果A中元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②是“复活集”，则；③不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且.其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号）参考答案：①③④易判断①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；③不妨设A中a1<a2<a3<…<an，由a1a2…an=a1+a2+…+an<nan，得<n，当n=2时，即有a1<2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确;当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．14.抛物线焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是________.参考答案：A试题分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：A．考点：抛物线的简单性质．15.二项式的展开式中的常数项为．参考答案：15【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式的通项公式即可得出．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6r（）6﹣r（﹣）r=（﹣1）rC6r23r﹣12x，令6﹣r=0，解得r=4，∴二项式的展开式中的常数项为（﹣1）4C6420=15故答案为：15．16.设等差数列的前项和为，若，则数列的公差▲；▲．参考答案：【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2由，=12，得d=，=，则20.【思路点拨】根据等差数列的通项公式和性质求出公差和。17.（5分）（2015?淄博一模）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）参考答案：①②③【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知，，函数,其中,若相邻两对称轴间的距离大于等于(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)在△ABC中,分别是角的对边,,当最大时,,求△ABC的面积．参考答案：(2)由(1)知的最大值为,

而,所以,即由余弦定理得,所以,又联立解得

所以19.已知等差数列{an}的公差d=2，等比数列{bn}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13．（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）因为等差数列{an}的公差d=2，由题知：，所以，解得a1=3，得an=3+（n﹣1）×2=2n+1；（2）设等比数列{bn}的公比为q，则，所以，于是．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知向量，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，求a的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，及正弦函数的图象和性质，即可得到所求；（2）运用特殊角的正弦函数值，求得A，再由三角形的面积公式，可得c，再由余弦定理可得a．【解答】解：（1）向量，函数f（x）==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期为=π，x∈，即有2x+∈（﹣，]，可得sin（2x+）∈（﹣，1]，则在上的值域为（2，5]；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，可得3+2sin（2A+）=4，即sin（2A+）=，由0＜A＜π，可得＜2A+＜，可得2A+=，即A=，由=bcsinA=?4c?sin=c，解得c=1，则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13，即a=．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，平面向量数量积的坐标表示，以及正弦函数的图象和性质，以及三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）

已知数列中，为的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和参考答案：略22.已知数列{an}的前n项和，n为正整数.（1）令，求证数列{bn}是等差数