广东省江门市东甲中学高一数学理模拟试题含解析

广东省江门市东甲中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（）A．64 B．32 C．16 D．8参考答案：C【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出集合，然后求解集合的子集的个数．【解答】解：因为{y∈z|0＜y≤4}={1，2，3，4}，所以集合的子集的个数：24=16．故选：C．【点评】本题考查集合的求法，子集的个数问题，基本知识的考查．2.已知点，，则线段PQ的中点为（

）A.(4,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(1,2)参考答案：B【分析】利用中点坐标公式直接求解出的中点的坐标.【详解】因为点，，所以的中点的横坐标为，纵坐标为，所以线段的中点为，故本题选B.【点睛】本题考查了中点坐标公式，熟记中点坐标公式是解题的关键.3.要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=cosx的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（x+）的图象，故选：A．4.等差数列的公差为2，若a1、a3、a4成等比数列，则a2=

A．－6

B．－8

C．8

D．6参考答案：A5.已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：D【考点】函数的值．【分析】由题意，代入分段函数求函数的值．【解答】解：f（﹣10）=f（﹣10+3）=f（﹣7）=f（﹣7+3）=f（﹣4）=f（﹣4+3）=f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1．故选D．6.已知数列{an}的通项an=2ncos（nπ），则a1+a2+…+a99+a100=（）A．0 B． C．2﹣2101 D．（2100﹣1）参考答案：D【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知条件推导出数列{an}的通项公式．由此能求出a1+a2+…+a99+a100的值．【解答】解：∵an=2ncos（nπ），∴a1=2?cosπ=﹣2，an=2n?cos（nπ）n为奇数时，cos（nπ）=﹣1，an=﹣2?n为偶数时，cos（nπ）=1，an=2?，综上，数列{an}的通项公式．∴数列{an}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a1+a2+…+a99+a100==．故选：D．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．7.定义在上的运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是

．

．

．

．参考答案：C8.△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则xy等于（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意可知是的重心，根据重心的性质可知，根据，可求得，进而得到的取值，从而得到结果.【详解】由题意知：是的重心，延长与边交于点又因为点为边的中点，点为边的中点，故，则，即

本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够根据重心的性质将用来表示.9.若，则的值为(

)A．

B.1

C.±1

D.0参考答案：A略10.（5分）函数的零点所在的区间是（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 函数零点的判定定理．分析： 根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=ex，y=的图象，由图得一个交点．解答： 画出函数y=ex，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．点评： 超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知函数f（x）=，其中表示不超过x的最大整数（如=﹣2，=3，…）．则函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点个数是

．参考答案：4考点： 对数函数的图像与性质；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 由题意作出函数f（x）和y=log3|x|的图象，数形结合可得．解答： 由题意作出函数f（x）和y=log3|x|的图象，数形结合可得图象的交点个数为4个，故答案为：4点评： 本题考查函数图象的交点，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12.（5分）已知函数，则f的值为

．参考答案：-3考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题： 计算题．分析： ﹣3在x＜0这段上代入这段的解析式求出f（﹣3），将结果代入对应的解析式，求出函数值即可．解答： 因为：，∴f（﹣3）=﹣3+4=1f=f（1）=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．点评： 本题考查求分段函数的函数值：根据自变量所属范围，分段代入求．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．13.甲、乙二人各自选择中午12时到下午1时随机到达某地，他们约定：先到者等候15分钟后再离开，则他们能够会面的概率为

参考答案：略14.对定义在区间D上的函数，若存在常数，使对任意的，都有成立，则称为区间D上的“k阶增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当，．若为R上的“4阶增函数”，则实数a的取值范围是

．参考答案：(－1,1)因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，则当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-|x+a2|+a2所以函数的最大零点为2a2，最小零点为-2a2，函数y=f（x+4）的最大零点为2a2-4，因为f（x）=|x-a2|-a2．若f（x）为R上的“4阶增函数”，所以对任意x∈R恒成立，即函数y=f（x+4）图象在函数y=f（x）的图象的上方，即有2a2-4＜-2a2，所以a取值范围为（-1，1）．故答案为

15.若表示不超过的最大整数（如等等）则＝______．参考答案：2010略16.已知，则的值是

参考答案：17.已知，是方程的两根，则=

．

参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数定义在上，对于任意实数，，恒有，且当时，．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）证明在上是减函数．（Ⅲ）设集合，，且，求实数的取值范围．参考答案：见解析解：（Ⅰ）∵，，为任意实数，取，，则有，即，∵当时，，∴，∴．（Ⅱ）设，，且，则：，，∵，∴，∴，∴，又∵当时，，∴，则，取，，则，∴，又当时，，∴在上，，故，∴，即，∴在上是减函数．（Ⅲ）在集合中，，由已知，得，∴，即，在集合中，有，∵，所以与无交点，∵，∴，∴，即的取值范围是．19.（本题12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形，且P、Q分别为AD、SB的中点．(l)求证：CD平面SAD;(2)求证：PQ//平面SCD;(3)若SA=SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD，并证明你的结论参考答案：20.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.【分析】(Ⅰ)在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得，中，根据余弦定理求得，∴．(Ⅱ)由已知可得，∴．中，由正弦定理可得，∴分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.21.如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）是否存在直线与圆有两个交点，并且，若有，求此直线方程，若没有，请说明理由；（2）设点满足：存在圆上的两点和使得，求实数的取值范围.参考答案：(1)由已知，可知直线，直线为，即，又圆心到直线的距离，即直线与圆相离，所以不存在.(2)设，，

①点在圆上，.

②将①代入②，得，于是既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，，解得，因此，实数的取值范围是.22.从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[,)，第二组[,)，…，第八组[,]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上（含cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件{}，事件{}，求．参考答案：所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为人．………………8分