湖北省随州市小林中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省随州市小林中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2016?泉州校级模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．2.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……（） A． B． C． D．参考答案：A6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为,选A.

3.已知向量a,b，其中|a|，|b|，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a=a2－a·b，设为向量a，b的夹角，则，即，又，∴向量a，b的夹角为。故选A。4.如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（）A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2n C．an=3n+1 D．an=2×3n参考答案：D【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】利用数列中an与Sn关系，得出，且a1=6，由此判定数列为等比数列，通项公式可求．【解答】解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=，化简整理，所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．通项公式an=6×3n﹣1=2×3n．故选D．5.设a=

b=

c=

则a,b,c的大小关系为A.a﹥b﹥c

B.b﹥a﹥c

C.c﹥b﹥a

D.c﹥a﹥b参考答案：C【知识点】函数的单调性B3解析：根据所比较的三个数的形式，可以构造新的函数，即，因为在内恒成立，所以函数为增函数，故，即，故选择C.【思路点拨】根据已知数的形式，构造新的函数，即比较，利用导函数判断函数的单调性，进而比较三数的大小.6.已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则k的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，，则，解得：设，，则，解得：，则本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.7.已知A，B分别为双曲线的左右顶点，两个不同动点P，Q在双曲线上且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（）A．

B．

C.

D．2参考答案：A所以=选A

8.《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”。试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（A）1235

（B）1800

（C）2600

（D）3000参考答案：A9.设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为．参考答案：C略10.设集合，集合B为函数的定义域，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，=．参考答案：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．解答：解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期T==2π，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，f（）=sin（+）=sin==，故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键12.设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），若，则数列{an}的前n项和的取值范围是．参考答案：【考点】数列的求和；抽象函数及其应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得Sn的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=∴f（n）=∴=∈[，1）．故答案：[，1）【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据已知条件确定出等比数列的首项及公比13.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则的最小值为．参考答案：3考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：由已知x≥0，y≥0，且x+y=1，可得0≤x≤1，y=1﹣x．代入可得==f（x），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：∵x≥0，y≥0，且x+y=1，∴0≤x≤1，y=1﹣x．∴==f（x），∴f′（x）==≥0，∴函数f（x）在[0，1]上单调递增．∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值3．故答案为：3．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．14.给出的下列四个命题中：①已知随机变量，，；②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件；③设圆与坐标轴有4个交点，分别为，则；④关于x的不等式的解集为R，则其中所有真命题的序号是_______.参考答案：①③④15.已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B={x|x≤0}，则A∩（?RB）=．参考答案：（0，3）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式得集合A，根据补集与交集的定义写出A∩（?RB）即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，集合B={x|x≤0}，∴?RB={x|x＞0}，∴A∩（?RB）={x|0＜x＜3}=（0，3）．故答案为：（0，3）．16.已知点F(-,0)(c>0)是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线与抛物 线y=相切，则该双曲线的离心率为

▲

．参考答案：2或略17.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4，则实数＝

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？参考答案：解：（Ⅰ）证明：平面平面,,平面平面=，∴平面．平面，∴，又为圆的直径，∴，∴平面．平面，∴平面平面．

…………5分（Ⅱ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为，,又，

…………7分设平面的法向量为，则,．即

令，解得．

………………9分由（I）可知平面，取平面的一个法向量为．，即，解得，即时，平面与平面所成的锐二面角的大小为．

………………12分19.

设函数处的切线与直线平行。

（I）求m的值；

（II）求函数在区间[0，1]的最小值；

（III）若，根据上述（I）、（II）的结论，

证明：

参考答案：解析：（I）因为，所以

…………2分解得m=—1或m=—7（舍），即m=—1

…………4分

（II）由

…………5分列表如下：x01

—

+

22

…………7分所以函数在区间[0，1]的最小值为

…………8分

（III）因为由（II）知，当，故（当且仅当时取等号）

…………14分20.（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异点A的任意一点，点P与点A关于点M对称。（1）若点P的坐标为，求的值；（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求的取值范围。

参考答案：（1）,（2）.因为，所以点的坐标为．………2分由点在椭圆上，

所以，解得．

…………4分21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．参考答案：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3。………2分又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b），由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12

………4分（2）由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）

………8分（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2

………10分即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪………12分22.如图6，