【差分方程模型及其应用探究3300字（论文）】

差分方程模型及其应用研究摘要 11差分方程的概念独 11.2差分方程常用解法独 11.3差分方程稳定性独 22蛛网模型独 32.1问题重述独 32.2问题分析独 32.3符号说明独 32.4蛛网模型独 32.5差分方程模型独 52.6干预办法独 52.7模型的推广独 63人口的预测与控制模型独 73.1问题重述独 73.2问题分析独 73.3建立模型独 73.4模型的扩展独 9结论 9参考文献 9 差分方程模型及其应用研究摘要:本文针对差分方程的概念和过程特点进行全面深入的讨论和研究,了解差分方程的概念及其相关背景,学习了有关差分方程的基本理论知识,在此基础上还深入地研究了差分方程的平衡和稳定性,研究了其相应的数学和模型,这不仅让它比较普遍的问题变得更容易被解决,而且大大增加了现代社会的需求,实践工作经验.差分方程模型被认为是一种重要的数学模型,能够准确、形象的反映复杂的生活问题,并通过对结果的分析对模型进行评估与改进.本文主要研究了两种差分方程模型,一是蛛网模型:在我国市场经济稳定的情况下,对其结果做了深入的分析研究,最后讨论了在我国市场经济不稳定的条件下,政府部门可以采取的干预措施;二是通过研究构建人口预测与控制的模型,探究了人口总量的变动趋势.在本文的论述中我们利用matlab软件对方程式进行了分析绘制出的画图；二是建立人口的预测与控制模型,探究人口总数的变化趋势.在本文的论述中使用Matlab软件进行分析画图关键字:差分方程；稳定性；数学建模；matlab独1差分方程的概念独差分：数列,在处的[1]差分算子：(向前).在处的差分算子：(向后).在处的二阶差分为：.进而定义为处的阶差分[7].独差分方程的形式：独独或独或独差分方程的一般解:如果将一个简单的函数代入替换成一个代入差分方程以使得差分方程两边的个数完全相等,则这个差分方程被我们称为解.如果一个差分方程的阶数大约必须等于其中一个差分方程所有的求解中独立常数的个数,则被我们称为差分方程的一般解,它就是反映了一个事物在其中的变化过程中的一种客观条件规律,通常是根据对初始状态的一个事物进行处理的状态,添加初始条件.如果初始条件决定了在一个特殊的通解过程中的任何一个常数,则可以认为这个解被统称为差分方程特解.独1.2差分方程常用解法独方程独（1-1）独为常数,则该方程为常系数线性方程.独（1-2）独齐次方程.独该方程解为时,代入得独（1-3）独其是方程（1-1）和（1-2）的特征方程.独得到其根就能够求出方程（1-2）的解.独通解为:独(个不同实根)( (重根)独(,记,,独)(重复根,记)独可知（1-3）有个根,则（1-2）通解为,若方程（1-1）的一个特解,方程（1-1）通解为：独独1.3差分方程稳定性独特征根,有,阶常系数线性差分方程稳定.独一阶非线性差分方程独（1-4）独为时的平衡点,在处泰勒展开稳定不稳定,独独2蛛网模型独2.1问题重述独在竞争自由的市场中,这样的情况时常发生：一段时间内,鸡蛋等某些商品的供给已经超过了需求.由于销量不好,价格降低,生产者发现亏本了,于是转投其他产业.一段时间后,鸡蛋的供给将大大减少.供给不足将导致价格上涨.生产商将看到利润,并恢复到原来的业务.这样,他们在下一个时期就会回到供大于求、价格下降的状态2.2问题分析独商品的数量和价格主要由供求关系决定.当供求平衡时,商品的数量和价格基本稳定.一旦出现不平衡,商品的数量和价格就会振荡.在市场经济中,这种振荡是绝对的、不可避免的.它可以采取两种完全不同的形式：一种是老百姓可以接受的；另一种是幅度越来越大,如果没有政府等外部干预,一定程度上会导致经济崩溃.在本节中,我们将建立一个描述振荡的简化数学模型,研究稳定的条件,并讨论政府在不稳定情况下可能采取的干预方法2.3符号说明独第时段产品的数量第时段产品的数量平衡点在函数的斜率的绝对值平衡点在函数的斜率的绝对值独2.4蛛网模型独本文将时间离散化分为几个阶段,产品的生产周期为一个周期[5]独（2-1）独因为商品的产出与价钱成反比,故是单调递减函数.独设或（2-2）独为的反函数,由于本期价钱与下期商品产出数量成正比,故是单调递增函数[14].独通过函数和得到和的点列连接起来（见图2-1）,称为蛛网模型.独独图2-1图2-2独若点列按箭头方向趋向,即,为稳定平衡点,商品数量和价钱震荡趋向平稳.反之趋势不稳定.分析上图可以得到：稳定不稳定独设：商品本阶段产出由上阶段价钱决定[15],得,商品需求由商品销价钱取决,得,蛛网模型为：独独其中都是正值.则：独（2-3）独在期商品价钱：独独平衡价格,带入（4-3）式得,代入上式有独（2-4）独对（2-4）式进行分析可得：时,那么收敛型蛛网时,那么发散型蛛网时,那么是常数封闭型蛛网独2.5差分方程模型独分别取函数和在点附近的近似曲线,可得[6]：独（2-3）独（2-4）独将（2-3）和（2-4）整理：独（2-5）独进而得独（2-6）独 表示对应斜率,前者小于后者时稳定,前者大于后者时不稳定，说明差分方程推导与蛛网模型的直观分析完全一致.独是单位商品数量减少时价格的增加,因此表示用户需求敏感度,在生活必需品上表现明显.是单位价格上涨时产品数量的增加,在卖家逐利时表现明显.独2.6干预办法独当一定时,愈小,说明民众对该商品不是很需要,对经济发展有利;当一定时,愈小,代表厂商不执着逐利,对经济有利.反之则对社会发展不利.独独图2-3图2-4独对于此种情况有两方面的解决办法,一让尽可能小,不妨设,（见图2-3）此刻f变为水平,无视商品数量的变化,政府控制物价来达到稳定.二是让尽可能小,设,标新为为竖直直线（见图4-4）,无视商品的价格变化,控制数量一定来达到市场稳定,.独2.7模型的推广独设下一阶段商品数量为,本阶段价格为,上一阶段价格为,（2-2）可写为：独（2-7）独（2-4）写为：独（2-8）独式（2-1）和（2-3）不变,整理式（2-3）和（2-8）：独（2-9）独得到特征根都在单位圆里时,当,,点稳定.独（2-9）式的特征方程为：独 （2-10）独（2-10）的特征根为独（2-11）独当独独,不在单位圆内,不取.时,可由（2-11）式得：独若独（2-12）独是点稳定的条件.与相比,这个模型的的使用范围都放宽了,即稳定性条件变宽了.独更进一步来说,计算时,结合近三年的价格变化,.独3人口的预测与控制模型独3.1问题重述独人口的发展若是不加以控制,对社会资源及环境都是不小的考验,所以要控制人口的增长，防止出现老龄社会以及人口爆炸增长的社会,这些都是不健康的社会模式.3.2问题分析独本文通过性别比、女性生育率和死亡率对人口规模的影响.进而用总人口、死亡率、性别比和生育率之间的关系,建立模型.独3.3建立模型独设为在t年年龄为i的民众数量；为死亡率.独设在区间生产率是；女性为岁的人口比例为独在年的新生儿为：独独其中,在年新生儿存活数量为独独为总生育率,,若女性生育率恒定,则：独独可知：为女性生育后代的数目.独独独记：独独则独独用代表人口的分布向量,即[12]独独独独独独可以得到独独独独是状态变量,是控制变量.独得知人口初始状态与存活率矩阵,同时得知生育模式矩阵,那么再知道总和生育率后就可以进行人口的预测,改变总和生育率就可以控制人口.独3.4模型的扩展独独人口总数：独平均年龄：独平均寿命：独利用上述式子与可以对该模型进行更加科学的分析,.独结论差分方程模型是离散数学的一个重要组成部分,使用差分方程模型可以更好的对生活中的各种情况进行分析解决.对于研究某种意义下的稳定状态的特征有着巨大的优势差分方程的模型也可以直接用来进行数值的表示和分析变量的特征和性质.参考文献[1]吴传生.经济数学微积分第二版[M].北京：高等教育与出版社,2014:406-410.独[2]杨德平.赵维加.管殿柱等.MATLAB基础教程[M].北京：机械工业出版社,2013：193-196.[3]姜启源.数学建模第四版[M].北京：高等教育与出版社,2011:5-26.[4]数学建模导论[M].北京邮电大学出版社,陈理荣主编,1999独[5]数学建模融入经济数学教学中的案例及分析[J].钱和平,徐清舟.大学数学.2012(03)[6]数学建模与数学实验[M].高等教育出版社,赵静,2014[7]微积分[M].科学出版社,蔡光兴,2016[8]贺晓东.差分方程在数学建模中的应用[J].中国科技博览,2012,37:100-101.[9]张婧.数学建模的几种常用方法[N].太原大学教育学院报,2012,3:38-40.独[10]姜辉.我国人口预测分析[J].科技管理研究,2005,11:142—145独[11]徐新荣.差分方程数学建模分析[J].中国科技信息,2012,14:46-46.独[12]张功盛.康光清.差分方程在数学建模中的几个应用实例[N].江西电力职业技术学院学报,2009,1:75-77. [13]D.D.Mooney,R.J.Swift.AcourseinMathenamaticalModeling[J].TheMathematicAcss