2024年-利用二次函数解决几何面积的最值问题

第二章

二次函数第4节二次函数的应用第1课时利用二次函数解决几

何面积的最值问题121课堂讲解二次函数的最值几何面积的最值2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升221知识点二次函数的最值1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处

取得最值．即当x＝－

时，y最值＝.

当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大

值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在

最小值．知1－讲32知1－讲2.当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范

围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，

最小值在x＝

处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的

较大的函数值；当a＜0时，

最大值在x＝

处取得，

最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；42知1－讲（来自《点拨》）(2)若

不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和

最小值同时存在，且函数

在x＝x1，x＝x2时的函数值

中，较大的为最大值，较

小的为最小值，如图②.52知1－讲（来自《点拨》）3.易错警示：

当二次函数自变量的取值范围是全体实数时，最值是

最大值还是最小值要根据二次项系数a的正负来确定，

当a＞0时，为最小值，当a＜0时，为最大值．62导引：先求出抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标，然后

看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值

范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，

利用图象求解．例1

分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值：(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.知1－讲72解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴图象的顶点坐标为(1，－4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4.∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的

图象左右对称，端点处取不到，

∴不存在最大值．知1－讲82知1－讲（来自《点拨》）(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，

而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y最大值＝32－2×3－3＝0；

当x＝2时，y最小值＝22－2×2－3＝－3.92总

结知1－讲（来自《点拨》）

求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．1021二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值

为(

)A．2B．4C．－4D．162已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是(

)A．－1B．2C.D．3知1－练（来自《典中点》）1123已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x

的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，

则实数a的取值情况是(

)A．a＝9B．a＝5C．a≤9D．a≤54二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范

围是________________．知1－练（来自《典中点》）1222知识点几何面积的最值知2－导

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm，

那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x

取何值时，y的值最大？

最大值是多少？问

题132知2－讲1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相

关的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且

用函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．2．易错警示：实际问题中的最大(小)值未必就是抛物线

的顶点的纵坐标．最大(小)值的取舍要结合自变量的

取值范围．（来自《点拨》）142知2－讲例2某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，

下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所

有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通

过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的

面积是多少？（结果精确到0.01m2）152知2－讲解：

∵

7x+4y+πx=15,

设窗户的面积是Sm2,则S=πx2+2xy

当x=≈1.07时，S最大

=≈4.02.

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.

此时，窗户的面积约为4.02m2.（来自《教材》）162知2－讲例3

如图，已知△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四

边形BDEF为平行四边形，设BD＝x(cm)，S▱BDEF＝y(cm2)，求：(1)y与x之间的函数关系式．(2)自变量x的取值范围．(3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出△DCE的边CD上的高和△ABC的边BC

上的高，根据条件求出△ABC的边BC上的高，再利用

相似找出其他等量关系，然后设法用x表示▱BDEF的边BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据x的取值范围及求最值的方法解题．172知2－讲解：(1)设△DCE的边CD上的高为hcm，△ABC的边BC上的

高为bcm，则有S▱BDEF＝xh(cm2)．∵S△ABC＝

BC·b，∴2400＝×80b.∴b＝60.∵四边形BDEF为平行四边形，

∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.∴∴y＝x·＝－

x2＋60x，即y＝－

x2＋60x.

（来自《点拨》）182知2－讲(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80.(3)由(1)可得y＝－(x－40)2＋1200.∵a＝－

＜0，0＜x＜80，∴当x＝40时，y取得最大值，最大值是1200.（来自《点拨》）192总

结知2－讲（来自《点拨》）

本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．202知2－讲例4

〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15m的墙

和长38m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，

并在养殖场的一侧留出一个2m宽的门．(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数关系式．(2)当BC边的长为多少时，养殖场的

面积最大？最大面积是多少？导引：由BC边的长和栅栏的总长可以表示出AB的长，故可求

养殖场的面积y与BC边的长x的函数关系式，再由二次

函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的

最大面积．212知2－讲解：(1)由题意得，AB＝

m，∴y＝x·＝x·＝－

x2＋20x.

由题意知

∴0＜x≤15.∴y＝－

x2＋20x，其中0＜x≤15.

（来自《点拨》）222知2－讲(2)y＝－

x2＋20x＝－(x2－40x)

＝－(x－20)2＋200.∵a＝－

＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大．∴当x＝15时，y最大＝－×(15－20)2＋200＝187.5.

答：BC边的长为15m时，养殖场的面积最大，最大面

积是187.5m2.（来自《点拨》）232总

结知2－讲（来自《点拨》）

本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值．2421已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则

这个直角三角形的最大面积为(

)A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不确定2用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长

方形，a的值不可能为(

)A．20B．40C．100D．120知2－练（来自《典中点》）2523

如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，从较短

边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们

的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面

积之和最小时，点E应选在(

)A．