静态电磁场静电场

静态电磁场静电场2．静态电磁场(积分形式）第2页,共68页，2024年2月25日，星期天2.1.1静电场的基本方程

D=

其媒质的构成方程为:D=

E微分形式:积分形式:显然，静电场是有散(有源)、无旋场。

第3页,共68页，2024年2月25日，星期天2.1.2静电场的有散性(高斯定理)在真空中，高斯定理:其微分形式为：

第4页,共68页，2024年2月25日，星期天上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点▽

E>0，则

>0

(正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在处；若某点▽E<0，则

<0

(负电荷)，电力线从周围向该点汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽E=0，则

=0(无电荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。▽

E<0，

<0图2-1散度与场源的关系▽

E>0，

>0▽

E=0，

=0第5页,共68页，2024年2月25日，星期天例2-1已知真空中半径为a的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分布分别为和。试求该电荷分布。解：根据高斯定理，并按题设场强E的分布特征，应在球坐标系中展开散度表达式（见附录二）。因题设

，故有：

第6页,共68页，2024年2月25日，星期天2.1.3静电场的无旋性这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力线不是闭合曲线。图电场力作功与路径无关对右图闭合曲线作曲线积分，并应用斯托克斯定理，得：即表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的位置。第7页,共68页，2024年2月25日，星期天例2-2试求由例2-1所给定的该静电场的旋度。解：利用球坐标系中旋度表达式（见附录二）。由于电场强度E(r)仅有Er分量，且Er与坐标变量θ、φ无关，因此在整个场空间中应有显然，这是静电场无旋性的必然结果。第8页,共68页，2024年2月25日，星期天2.2自由空间中的电场2.2.1电位函数的引入

因为

E=0，由矢量恒等式(

)=0，E(r)可以表示为:

式中，称为标量函数

(r)为静电场的标量电位函数，简称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度E等于该点电位梯度的负值。另外，由亥姆霍兹定理，有：式中R=|r

r

|=[(x

x

)2+(y

y

)2+(z

z

)2]1/2

第9页,共68页，2024年2月25日，星期天由静电场的基本方程，得：

A(r)=0显然，亥姆霍兹定理再次证实了。第10页,共68页，2024年2月25日，星期天由E求的关系式将电荷q由P点移到Q点时，电场力所作的功为：由梯度和方向导数的关系，上式改写为：因此如取Q点为电位参考点，则P点的电位定义为：工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在理论分析时，任意点P的电位可设为：第11页,共68页，2024年2月25日，星期天2．电位函数的表达式

点电荷：

线电荷：面电荷：

体电荷：第12页,共68页，2024年2月25日，星期天3．电场强度的表达式

因为代入前式，得

点电荷：线电荷：面电荷：体电荷：

第13页,共68页，2024年2月25日，星期天对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。如处于坐标原点的点电荷产生的电场。因此写成矢量形式对于无界自由空间的点电荷系统，应用叠加原理，合成的电场强度为：第14页,共68页，2024年2月25日，星期天思路二：先求电场强度，再利用，求电位。

思路一：先求电位，再利用，求电场强度。4．电位和电场强度的求解思路

例2-3：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为

的电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。

图有限长直线电荷沿

方向的电场第15页,共68页，2024年2月25日，星期天[解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段

l的中点。

利用变量代换z

=

tg

，dz

=

sec2

d

，代入上式，最终解得

式中，。第16页,共68页，2024年2月25日，星期天相当于电量为

l的点电荷产生的电场。如果>>1，这可以视为无限长直的线电荷，此时，则

讨论：如果<<1，这意味着或者l很小或者

很大，此时

，则

显然，这正是高斯定理给出的结果。

第17页,共68页，2024年2月25日，星期天例2-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为

[解]：由高斯定理，当r

a时

当r>a时，

第18页,共68页，2024年2月25日，星期天设无限远处为电位参考点，当r

a时

当r>a时，

基于位函数的分析若场源为n个点电荷，应用叠加原理，任一场点(r)处的电位为：第19页,共68页，2024年2月25日，星期天例2-5设真空中电荷在半径为a的圆盘形平面域中均匀分布，其电荷面密度分布函数为σ。试求：（1）与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布；（2）轴线上的电场强度解：典型的圆环状电荷上的元电荷在轴线上任一场点P处引起的元电位为：

所以：第20页,共68页，2024年2月25日，星期天（2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：（2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：第21页,共68页，2024年2月25日，星期天图电偶极子例2-6求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。[解]：定义电偶极矩p(简称电矩，即p=qd，d为正负电荷间的距离，且规定d的方向由负电荷指向正电荷)表征其特性。在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。仅考虑r>>d的情况，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，z轴与d相重。应用叠加原理，任意点的电位为当r很大时，r1、r2和r三者将近乎平行，此时r2

r1

dcos

，r1r2

r2代入上式，得第22页,共68页，2024年2月25日，星期天应用球坐标系中的梯度公式，得任意点的电场强度为

可见，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。此外，其电位或电场强度均与方位角

相关。

第23页,共68页，2024年2月25日，星期天2.2.4电力线和等位面（线）

电力线(E线)的概念是法拉第提出的，是用图形描绘电场分布的有效工具之一。E线定义为其上任一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致，即

E

dl=0

在直角坐标系下，有

可得E线的微分方程为

上式便是E线的微分方程，而该微分方程的解答就是描绘E线的函数关系式。通常，E线的函数关系式可一般性地记为

(x,y,z)=C，取不同的C值，即可获得一系列E线的分布，从而直观地描绘了电场场强E(r)的空间分布。第24页,共68页，2024年2月25日，星期天等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工具。根据电场强度的定义，等位面分布愈密，该处电场场强愈高，且电力线与等位面正交。

利用本节例3的结果，可以画出电偶极子远区的等电位线和电力线场图。电偶极子远区电位分布为可得等位线方程为

r2=k1cos

取决于不同的k1值，画出不同的等位线。在0

</2范围内，

>0；而在

/2<

时，

<0，其等位线关于

=/2呈镜象对称。基于电偶极子电场的轴对称性，将等位线绕z轴旋转便得空间三维的等位面分布，其中z=0(即

=/2)的平面为零电位面。由利用球坐标系微元关系式，得E线的微分方程为第25页,共68页，2024年2月25日，星期天代入电偶极子远区电场强度的Er和E

分量，得

=〉解得lnr=2ln(sin

)+lnk2可得E线等位线方程为r=k2sin2

z＋－图电偶极子远区场图取不同的k2值，可画出不同的电力线(E线)。下图画出了电偶极子远区场图。第26页,共68页，2024年2月25日，星期天2.3导体和电介质1．导体

导体内部E=0，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电力线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分布密度取决于导体表面的曲率。第27页,共68页，2024年2月25日，星期天2．电介质的极化

极化现象：束缚电荷在外电场作用下的响应。含位移极化和取向极化。无论哪种极化现象，其结果均使束缚电荷的分布发生变化，导致极化电场。极化电场与外电场相叠加，便形成有电介质存在时的合成电场。电极化强度矢量：极化后形成的每单位体积内电偶极矩的矢量和，即

(C/m2)

实验结果表明，大多数电介质的电极化强度P与电介质中的合成电场强度E成正比，即P=

e

0E式中，e称为电介质的电极化率，它是一个无量纲的正实数。第28页,共68页，2024年2月25日，星期天介质的分类：当电极化率与电场方向无关时，称为各向同性介质，否则，称为各向异性介质；当电极化率为常数时，称为均匀介质，否则为非均匀介质；当电极化率的值不随电场强度的量值变化，称为线性介质，反之为非线性介质。图电介质的极化电场(b)束缚电荷建立的电场(a)束缚电荷分布的示意图束缚电荷（极化电荷）密度：第29页,共68页，2024年2月25日，星期天设图示中V

内的电极化强度为P(r

)，则体积元dV

内的等效电偶极子的电偶极矩为∑p=P(r

)dV

，它在远区P点处产生的电位为由于

因此，体积V

内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为又由矢量恒等式得第30页,共68页，2024年2月25日，星期天可以看出，面积分中的(P

en)相当于一种面电荷密度，体积分中的(-P)相当于一种体电荷密度。由此，定义极化电荷的面密度与体密度分别为

P

=P

en

P=-▽P显然，均匀介质其内部无极化电荷分布，

P

=0，极化电荷只出现在介质的表面上。此外，介质极化后整体极化电荷分布的总和应等于零，即极化电荷在真空中所产生的极化电场：第31页,共68页，2024年2月25日，星期天2.4电介质中的电场

2.4.1电位移矢量由高斯定理，得整理得

▽

(

0E+P)=

定义电位移矢量：D=

0E+P=

0(1+e)E=

E

其中，

=

0(1+e)=r

0，r

=

/

0

=(1+e)第32页,共68页，2024年2月25日，星期天2.4.2介电常数

上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量D、E或位函数

的定解问题。

例1：同轴电缆其长度L远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a和b。其间充满介电常数为

的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U0相联接。试求：(1)介质中的电场强度E；(2)介质中Emax位于哪里？其值多大？图同轴电缆的电场第33页,共68页，2024年2月25日，星期天图同轴电缆的电场[解]：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+

和-。由应用高斯定理，得即

所以

(a<

<b)

又因为

则得

(a<

<b)(2)最大场强位于内导体表面(

=a)，其值为第34页,共68页，2024年2月25日，星期天例2一理想的平板电容器由直流电压源U充电后又断开电源，然后在两极板间插入一厚度等于d的均匀介质板，其相对介电常数εr=6忽略极板的边缘效应，试求：(1)插入介质板前后平行板间各点的电场强度E、电位移矢量D和电位

以及极板上的电荷分布；(2)介质板表面和内部的极化电荷分布解(1)此问题是典型的平行平面场问题，故在插入介质板前的电场强度为：电位移矢量取负极板的电位为零，则板间任一点的电位为：第35页,共68页，2024年2月25日，星期天根据高斯定理，做一圆柱形高斯面S，则：因而得插入介质板后，电容器的电荷保持不变，则：得而电场强度为：则板间任一点的电位为：第36页,共68页，2024年2月25日，星期天(2)介质极化，可得介质中的极化强度为：故可得介质板上下两端面上极化电荷面密度为：而介质板中极化电荷的体密度为：故合成电场是自由电荷与极化电荷共同在真空中产生效应的叠加，即第37页,共68页，2024年2月25日，星期天图E切向分量的边界条件2.4.3边界条件

介质分界面上的边界条件：

跨越分界面的一狭小的矩形回路l如图所示，且令

l2→0而l1足够地短。求电场强度在l上的环量，有即

E1t=E2t

或

en

(E2-E1)=0

上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。第38页,共68页，2024年2月25日，星期天图D法向分量的边界条件跨越分界面的一个扁平圆柱体S如图所示，令两个底面

S足够小且平行于分界面，圆柱面高度l→0。求电位移矢量在圆柱面的通量，有式中分界面上法线方向单位矢量en规定为由介质1指向介质2，

是分界面上可能存在的自由电荷面密度。从而得D2n-D1n=

或en

(D2

-D1

)=

一般两种介质分界面上不存在自由电荷(

=0)，此时有D1n

=D2n

或en

(D2

-D1

)=0上式表明，在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的。第39页,共68页，2024年2月25日，星期天对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得E1sin

1

=E2sin2，1E1cos1

=2E2cos2两式相除，得上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电场的折射定律。

图E切向分量的边界条件第40页,共68页，2024年2月25日，星期天导体表面上的边界条件：设导体为媒质1、导体外介质为媒质2，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，得

E1t=E2t

=0，D2n-D1n=D2n

=

式中，

是导体表面的电荷面密度。上式说明在导体表面相邻处的电场强度E和电位移D都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该点的电荷面密度(需注意en是导体表面的外法线单位矢量）。一般写为

Et

=0或

en

E=0；

Dn

=

或en

D=

第41页,共68页，2024年2月25日，星期天4．边界条件的电位表达介质分界面：由于介质分界面上E1t=E2t，显然可以得出

1=2即电位在介质分界面上是连续的。又由于D2n-D1n=

和最后可以得出，边界条件的电位表示为

1=2，

导体表面上的边界条件：

=C

，式中，C是由所论静电场导体系统决定的常数。

第42页,共68页，2024年2月25日，星期天图平板电容器例2：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为U0，试求：(1)两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密度。

[解]：(1)在电压U0下，并应用分界面的边界条件，得

(2)极板A上的电荷面密度为

极板B上的电荷面密度为

=-D2n=-

2E2

=-

第43页,共68页，2024年2月25日，星期天

讨论：本例中，设

r2

r1，则E1

E2。在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为

r2，则空气层中电场强度E1将为绝缘材料中电场强度E2的

r2倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。第44页,共68页，2024年2月25日，星期天2.5边值问题1．泛定方程

由

D=

、D=

E

，得

D=

E

=

E+E

=

对于均匀介质

为常数，得

2

=-/

上式称为电位

的泊松方程，式中称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中

对于场中无自由电荷分布(

=0)的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程，即

2

=0E=-由于，第45页,共68页，2024年2月25日，星期天2．边界条件

第一类边界条件（狄利赫莱条件）：场域边界S上的电位分布已知，即式中rb为相应边界点的位置矢量。它与泛定方程构成第一类边值问题。第二类边界条件（纽曼条件）：场域边界S上电位的法向导数分布已知，即当f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。它与泛定方程构成第二类边值问题。第46页,共68页，2024年2月25日，星期天第三类边界条件（混合条件）：场域边界S上电位及其法向导数的线性组合已知，即它与泛定方程构成第三类边值问题。无限远边界条件：对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有即电位

在无限远处趋于零，

(r)|r→=

0第47页,共68页，2024年2月25日，星期天静电场边值问题：就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的电位函数。介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边界条件。第48页,共68页，2024年2月25日，星期天2.5.2直接积分法

对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。这时可以直接积分求解电位函数。例1：图示二块半无限大导电平板构成夹角为

的电极系统。设板间电压为U0，试求导电平板间电场。图角形电极系统[解]：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量

的函数，可以写出如下的第一类边值问题：第49页,共68页，2024年2月25日，星期天由给定的两个边界条件，得将泛定方程直接积分二次，得通解为

=C1

+C2

，C2=0所以

第50页,共68页，2024年2月25日，星期天例2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为[解]：设球状电荷分布内、外的电位分别为

1和

2，显然，

1满足泊松方程，

2满足拉普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有

(0<r

a)

(r

a)

可解得

1和

2的通解为第51页,共68页，2024年2月25日，星期天代入边界条件，得C1=0，C4=0，C2=，C3=最终得电位函数的解为

(r

a)

(r

a)利用球坐标系中的梯度表达式，求得

(r

a)

(r

a)可见，以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。边界条件为第52页,共68页，2024年2月25日，星期天2.5.3分离变量法

基本思路：当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。对于拉普拉斯方程对应的边值问题，其步骤是：首先，结合场域边界形状，选用适当的坐标系；其次，设待求电位函数由两个或三个各自仅含一个坐标变量的函数乘积组成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，将拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程；第三，解这些常微分方程并以给定的定解条件决定其中的待定常数和函数后，即可解得待求的电位函数。一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。第53页,共68页，2024年2月25日，星期天直角坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为

(x，y)，满足拉普拉斯方程：

(x，y)=X(x)Y(y)设电位函数有分离变量形式，即代入拉普拉斯方程，整理得

显然，上式两边在x和y取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。记该常数(常称为分离常数)为

，这样，上式即转化为两个常微分方程。第54页,共68页，2024年2月25日，星期天式中，分离常数

可取0、mn2

>0和-mn2

<0，可分别得出如下三种形式的解，即当

=0时 X(x)=A10+A20x； Y(y)=B10+B20y

当

=mn2>0时X(x)=A1ncosh(mnx)

+A2nsinh(mnx)；Y(y)=B1ncos(mny)

+B2nsin(mny)当

=-mn2

<0时 X(x)=A1n

cos(mnx)

+A2n

sin(mnx)；

Y(y)=B1n

cosh(mny)

+B2n

sinh(mny)当mn取不同值时，上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解，即第55页,共68页，2024年2月25日，星期天最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。第56页,共68页，2024年2月25日，星期天例3：长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为

0。求槽内电位分布。

[解]：依题意，本问题为第一类边值问题，即图接地金属槽的横截面0.8

00.6

00.4

00.2

0

=

0

=0

=0

=0yoxab由于电位函数在x方向具有周期性、在y方向具有单调性，得A1n=0和A2n=0。通解为

第57页,共68页，2024年2月25日，星期天由边界条件，当x=0和y=0时，

=0，得A10=0，A1n

=0，B10=0，B1n

=0

即又因为当x=a时，

=0，得C0=0，

,(n=1,2,3,

)

故得

最后，当y=b时，

=

0

，代入上式，有

第58页,共68页，2024年2月25日，星期天作傅里叶正弦级数展开，积分，得

又上式，得本问题的电位函数解答为本问题的等位线的分布如图虚线所示。

图接地金属槽的横截面0.8

00.6

00.4

00.2

0

=

0

=0

=0

=0yoxab第59页,共68页，2024年2月25日，星期天圆柱坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为

(

，

)，满足拉普拉斯方程：令电位函数为

(

，

)=R(

)Q(

)，代入上式，并理得式中n2为分离常数，上式转化为下列两个常微分方程：第60页,共68页，2024年2月25日，星期天当n＝0时 R(

)=A10+A20ln

；Q(

)=B10+B20

当n

0时R(

)=A1n

n

+A2n

-n；Q(

)=B1ncos(n)

+B2nsin(n)

得电位函数的通解为由给定的边界条件，即可确定上式中的各个待定常数，最终得到待求的电位函数。第61页,共68页，2024年2月25日，星期天图均匀外电场中的介质圆柱体例4：一个横截面半径为a，介电常数为

1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电中(场强为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，介质外的介电常数为

2，如图所示。求圆柱体放入后，场域中的电位和电场强度。[解]：采用圆柱坐标系，且令z轴与圆柱轴重合，外电场方向与x轴同向，如图所示。分别以

1和

2表示圆柱内外的电位函数。首先，确定定解条件。选坐标原点为电位参考点，即

1=0，

=0

因而，均匀外电场E0=E0ex对应的电位函数为

0=-xE0=-E0

cos

显然，当

时介质圆柱体产生的极化电场应当消失，在

处的电位应与均匀外电场对应的电位

0相一致，即

2

=0

=-E0

cos

，

第62页,共68页，2024年2月25日，星期天

1=2在圆柱表面

=a处，介质分界面的边界条件为由本例图示可以看出，电场分布关于x轴对称，即

(

,

)=

(

,-

)，这意味着特解Q()是偶函数，所以，B10=

B20=B2n=0。另外，根据场的对称性可以推知，y轴是电位等于零的等位线，即(

，

/2)＝0，也就是A10=A20=0