随机变量与分布函数

随机变量与分布函数一、随机变量的定义(1)

掷一颗骰子，出现的点数

1，2，……，6.(2)n个产品中的不合格品个数0，1，2，……，n(3)某商场一天内来的顾客数0，1，2，……(4)某种型号电视机的寿命:

[0,+)(1)

掷一颗骰子，出现的点数

1，2，……，6.(2)n个产品中的不合格品个数0，1，2，……，n(3)某商场一天内来的顾客数0，1，2，……(4)某种型号电视机的寿命:

[0,+)第2页,共153页，2024年2月25日，星期天随机变量的定义定义3.1.1

设

={}为某随机现象的样本空间，是定义于概率空间(Ω,F,P)上的单值实函数，如果对直线上任何一个博雷尔点集B,有

F则称为随机变量，而称为随机变量的概率分布。.第3页,共153页，2024年2月25日，星期天注意点(1)随机变量是样本点的函数，

其定义域为，其值域为R=(，)

(2)若

为随机变量，则

均为随机事件.即第4页,共153页，2024年2月25日，星期天若随机变量可能取值的个数为有限个或

可列个，则称

为离散型随机变量.若随机变量的可能取值充满某个区间

[a,b]，则称为连续型随机变量.前例中的,,为离散型随机变量；而为连续型随机变量.两类随机变量第5页,共153页，2024年2月25日，星期天定义3.1.2

设

为一个随机变量，对任意实数

x，称F(x)=P{<

x}为

的分布函数.(distributionfunction)

记为

随机变量的分布函数第6页,共153页，2024年2月25日，星期天二、分布函数的性质定理3.1.1

分布函数F(x)具有下列基本性质：

(1)F(x)

单调不降；

(2)有界：0

F(x)

1，F(

)=0，F(+)=1；

(3)左连续：F(x-0)=F(x).第7页,共153页，2024年2月25日，星期天注意点注意以下一些表达式：第8页,共153页，2024年2月25日，星期天三、离散型随机变量设离散随机变量ξ

的可能取值为：x1，x2，……，xn，……

称pi=P(ξ

=xi)，i=1,2,……

为ξ

的分布列.分布列也可用表格形式表示：ξ

x1

x2

……

xn

……

P

p1

p2

……

pn

……

第9页,共153页，2024年2月25日，星期天分布列的基本性质

(1)pi

0，

(2)(正则性)(非负性)第10页,共153页，2024年2月25日，星期天注意点对离散随机变量的分布函数应注意：

(1)F(x)是递增的阶梯函数;

(2)其间断点均为左连续的;

(3)其间断点即为ξ的可能取值点;

(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第11页,共153页，2024年2月25日，星期天ξx1x2……xk……Pp1p2……pk……一般，设离散型r.v.ξ的分布律为：则X的分布函数F(x)=P{ξ<x}=第12页,共153页，2024年2月25日，星期天例已知ξ

的分布列如下：X012P1/31/61/2求ξ

的分布函数.第13页,共153页，2024年2月25日，星期天常见离散型分布1、退化分布（单点分布）2、伯努利分布（两点分布）B(1,p)3、二项分布B(n,p)4、超几何分布5、泊松分布P(λ)6、几何分布7、巴斯卡分布第14页,共153页，2024年2月25日，星期天常用离散分布1

二项分布记为ξ

~B(n,p).ξ为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.第15页,共153页，2024年2月25日，星期天例设ξ

~b(2,p)，η

~b(4,p)，已知P(ξ

1)=8/9，求P(η1).解:

由P(ξ1)=8/9

，知P(ξ=0)=1/9.

由此得：P(η1)=1P(η=0)所以1/9

=P(ξ=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第16页,共153页，2024年2月25日，星期天若随机变量ξ

的概率分布为则称ξ

服从参数为

的泊松分布,

记为ξ

~P(

).泊松分布第17页,共153页，2024年2月25日，星期天超几何分布对应于不返回抽样模型

：

N个产品中有M个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.超几何分布第18页,共153页，2024年2月25日，星期天

X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.

几何分布具有无记忆性，即：

P(ξ

>m+n|ξ

>m)=P(ξ

>n)几何分布第19页,共153页，2024年2月25日，星期天巴斯卡分布(负二项分布)巴斯卡分布与几何分布的关系：为独立重复的伯努里试验中，“第r次成功”时的试验次数.为从第i-1次成功后算起，“首次成功”时的试验次数.第20页,共153页，2024年2月25日，星期天四、连续型随机变量连续随机变量ξ的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量ξ

，有P(ξ=x)=0，所以无法仿离散随机变量用P(ξ

=x)来描述连续随机变量ξ的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第21页,共153页，2024年2月25日，星期天定义设随机变量ξ的分布函数为F(x),则称ξ

为连续随机变量，若存在非负可积函数p(x)，满足：称p(x)为分布密度函数，（densityfunction）.第22页,共153页，2024年2月25日，星期天密度函数的基本性质满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的分布密度函数.(非负性)(正则性)第23页,共153页，2024年2月25日，星期天注意点

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的连续函数;(3)P(ξ=x)=F(x+0)

F(x)=0;第24页,共153页，2024年2月25日，星期天注意点

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的连续函数;(3)P(ξ=x)=F(x+0)

F(x)=0;

(4)P{a<ξ≤b}=P{a<

ξ

<b}=P{a≤

ξ

<b}=P{a≤

ξ

≤b}=F(b)

F(a).(5)当F(x)在x点可导时,

f(x)=所以，概率为零的事件不一定是不可能事件！！第25页,共153页，2024年2月25日，星期天连续型密度函数

ξ

~f(x)

(不唯一

)2.4.P(ξ

=a)=0离散型分布列:pn

=P(ξ

=xn)

(唯一

)

2.F(x)=

3.

F(a+0)=F(a);P(a<ξ

b)=F(b)

F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。

5.F(x)为连续函数。

F(a+0)=F(a).

F(a+0)

F(a).第26页,共153页，2024年2月25日，星期天例设

ξ~求(1)常数k.(2)F(x).第27页,共153页，2024年2月25日，星期天常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、分布第28页,共153页，2024年2月25日，星期天（一）均匀分布ξ～U(a,b)实际背景：随机变量X仅在一个有限区间（a,b）上取值；随机变量X在其内取值具有“等可能”性，则ξ～U(a,b)。“等可能”表现在：若a≤c<c+l≤b，则

P{c<ξ<c+l}与位置无关，只与长度有关第29页,共153页，2024年2月25日，星期天设ξ具有概率密度：则称ξ在区间(a,b)上服从均匀分布，记为ξ

~U(a,b)。第30页,共153页，2024年2月25日，星期天例1：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900Ώ~1100Ώ，求R的概率密度及R落在950Ώ~1050Ώ的概率。解：按题意，R的概率密度为：

第31页,共153页，2024年2月25日，星期天

ξ

~U(2,5).现在对ξ

进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解：记A={ξ

>3},

则P(A)=P(ξ>3)=2/3设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Y~B(3,2/3)，所求概率为

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2第32页,共153页，2024年2月25日，星期天记为ξ

~N(

,

2),其中

>0，

是任意实数.

是位置参数.

是尺度参数.（二）正态分布(normaldistribution)

第33页,共153页，2024年2月25日，星期天yxOμ第34页,共153页，2024年2月25日，星期天正态分布的性质(1)

p(x)关于

是对称的.p(x)x0μ在

点p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改变,(3)若

固定,

改变,σ小σ大p(x)左右移动,

形状保持不变.

越大曲线越平坦;

越小曲线越陡峭.第35页,共153页，2024年2月25日，星期天p(x)x0x

x标准正态分布N(0,1)密度函数记为

(x),分布函数记为

(x).第36页,共153页，2024年2月25日，星期天

(x)的计算(1)x

0时,查标准正态分布函数表.(2)x<0时,用若ξ~N(0,1),则

(1)P(ξ

<

a)=

(a);(2)P(ξ≥a)=1

(a);(3)P(a≤ξ<b)=

(b)

(a);(4)若a0,则

P(|ξ|<a)=P(

a<ξ<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

第37页,共153页，2024年2月25日，星期天例2.5.1

设ξ~N(0,1),求

P(ξ>

1.96),P(|ξ|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(ξ>

1.96)P(|ξ|<1.96)=20.9751第38页,共153页，2024年2月25日，星期天设ξ~N(0,1),P(ξ

b)=0.9515,

P(ξ

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,

故b=1.66而

(a)=0.0495<1/2,所以a<0,

(

a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故a=

1.65例2.5.2第39页,共153页，2024年2月25日，星期天一般正态分布的标准化结论1

设ξ

~N(

,

2),则η

~N(0,1).结论2:

若ξ~N(

,

2),则第40页,共153页，2024年2月25日，星期天若ξ~N(

,

2),则

P(ξ<a)=，P(ξ>a)=

第41页,共153页，2024年2月25日，星期天设ξ~N(10,4),

求P(10<ξ<13),P(|ξ

10|<2).解:

P(10<ξ<13)=

(1.5)

(0)=0.9332

0.5P(|ξ

10|<2)=

P(8<ξ<12)=2

(1)

1=0.6826=0.4332例2.5.3第42页,共153页，2024年2月25日，星期天

设ξ

~N(

,

2),P(ξ

5)=0.045,

P(ξ

3)=0.618,求

及

.例2.5.4

=1.76

=4解:

第43页,共153页，2024年2月25日，星期天已知ξ

~N(3,22),且P{ξ>k}=P{ξ≤k},则k=().3课堂练习(1)第44页,共153页，2024年2月25日，星期天

设ξ

~N(

,42),η

~N(

,52),记

p1=P{ξ≤

4}，p2=P{η≥

+5},则()①对任意的

，都有p1=p2

②对任意的

，都有p1<p2

③只个别的

，才有p1=p2

④对任意的

，都有p1>p2①课堂练习(2)第45页,共153页，2024年2月25日，星期天

设ξ

~N(

,

2),则随

的增大，概率P{|ξ

|<

}()①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定③课堂练习(3)第46页,共153页，2024年2月25日，星期天例假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下，设男子的身高ξ(cm)服从正态分布，ξ

~N(170,36)

，问车门高度至少应为多高?第47页,共153页，2024年2月25日，星期天实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布．

在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。如:

测量误差；在稳定条件下产品的各种指标;

某地区人的身高、体重；大面积考试的分数等．思考：上述随机变量实际取值范围并不是（-∞，+∞），但正态分布取值范围是（-∞，+∞），矛盾吗？？第48页,共153页，2024年2月25日，星期天正态分布的3

原则设ξ

~N(

,

2),则

P(|ξ

|<

)=0.6828.

P(|ξ

|<2

)=0.9545.

P(|ξ

|<3

)=0.9973.第49页,共153页，2024年2月25日，星期天（三）指数分布实际背景：在实践中，如果ξ表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般服从指数分布。如：随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间；某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）…第50页,共153页，2024年2月25日，星期天指数分布记为

ξ

~Exp(

),其中

>0.第51页,共153页，2024年2月25日，星期天指数分布具有无记忆性：

如果X是某一元件的寿命，已知元件已使用了s小时，它还能继续使用至少t小时的条件概率，与从开始时算起至少能使用t小时的概率相等。即元件对它已使用过s小时无记忆。第52页,共153页，2024年2月25日，星期天例1

机器里安装的某种元件，已知这种元件的使用寿命ξ（年）服从参数为λ＝1/5的指数分布，1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率；2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8年的概率。第53页,共153页，2024年2月25日，星期天（四）埃尔兰分布（略）第54页,共153页，2024年2月25日，星期天§3.2随机向量，随机变量的独立性第55页,共153页，2024年2月25日，星期天定义3.2.1

若ξ1,ξ2是两个定义在同一个样本空间上的

随机变量，则称(ξ1,ξ2)是两维随机变量.

同理可定义n维随机变量

(随机向量).一、随机向量及其分布第56页,共153页，2024年2月25日，星期天

定义3.2.2

联合分布函数F(x,y)=P(ξ1<

x,ξ2<

y)为(ξ1,ξ2)的联合分布函数.

(以下仅讨论两维随机变量)任对实数x

和y,

称注意：F(x,y)为(ξ1,ξ2)落在点(x,y)的左下区域的概率.第57页,共153页，2024年2月25日，星期天ξ1ξ2x1x2(x1,x2)第58页,共153页，2024年2月25日，星期天联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调增.(2)0

F(x,y)1，且F(

,y)=F(x,

)

=0，F(+

,+

)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别左连续.(4)当a<b,c<d时，有F(b,d)

F(b,c)

F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(a<ξ1

b,c<ξ2

d).(单调性)(有界性)(左连续性)(非负性)第59页,共153页，2024年2月25日，星期天

二维离散随机向量

联合分布列若(ξ1,ξ2)的可能取值为有限对、或可列对，则称(ξ1,ξ2)为二维离散随机变量.第60页,共153页，2024年2月25日，星期天二维离散分布的联合分布列称pij

=P(ξ1=xi,ξ2=yj)，i,j=1,2,...,为(ξ1,ξ2)的联合分布列，其表格形式如下:ξ2ξ1y1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………第61页,共153页，2024年2月25日，星期天联合分布列的基本性质(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)

pij

=1.

(非负性)(正则性)第62页,共153页，2024年2月25日，星期天第63页,共153页，2024年2月25日，星期天确定联合分布列的方法

(1)确定随机变量(ξ1,ξ2)的所有取值数对.

(2)计算取每个数值对的概率.

(3)列出表格.第64页,共153页，2024年2月25日，星期天例

将一枚均匀的硬币抛掷4次，ξ1表示正面向上的次数，ξ2表示反面朝上次数。求(ξ1,ξ2)的联合分布列.ξ1ξ20413223140P(ξ1=0,ξ2=4)=P(ξ1=2,ξ2=2)==1/4=6/16

P(ξ1=3,ξ2=1)==1/4

P(ξ1=4,ξ2=0)=0.54=1/16P(ξ1=1,ξ2=3)=0.54=1/16解：概率非零的(ξ1,ξ2)可能取值对为:其对应的概率分别为：第65页,共153页，2024年2月25日，星期天ξ101234ξ201234列表为：

00001/160001/40006/160001/40001/160000第66页,共153页，2024年2月25日，星期天例

设随机变量η

~N(0,1),解:

(ξ1,ξ2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(ξ1=0,ξ2=0)=P(|η|≥1,|η|≥2)=P(|η|≥2)=2

2Φ(2)=0.0455P(ξ1=0,ξ2=1)=P(|η|≥1,|η|<2)=P(1≤|η|<2)=2[Φ(2)

Φ(1)]=0.2719P(ξ1=1,ξ2=0)=P(|η|<1,|η|≥2)=0P(ξ1=1,ξ2=1)=P(|η|<1,|η|<2)=P(|η|<1)=0.6826求

的联合分布列.第67页,共153页，2024年2月25日，星期天列表为：ξ1

01ξ2010.04550.271900.6826第68页,共153页，2024年2月25日，星期天课堂练习设随机变量ξ

在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量η

在1到X

中等可能地取一整数值。试求（ξ,η）的联合分布列.第69页,共153页，2024年2月25日，星期天设二维随机变量(ξ,η)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数p(x,y)，使得（联合）密度函数则称(ξ,η)为二维连续型随机变量。称p(x,y)为（联合）密度函数。第70页,共153页，2024年2月25日，星期天联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)

0.

(非负性)

(2)注意：(正则性)第71页,共153页，2024年2月25日，星期天第72页,共153页，2024年2月25日，星期天一、多项分布常用多维分布

若每次试验有r

种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r记ξi

为n

次独立重复试验中Ai

出现的次数.则(ξ1,ξ2,……,ξr)的联合分布列为：第73页,共153页，2024年2月25日，星期天二、多元超几何分布从中任取n

只，记ξi

为取出的n

只球中，第i

种球的只数.口袋中有N只球，分成r

类。第i

种球有Ni

只，N1+N2+……+Nr

=N.则(ξ1,ξ2,……,ξr)的联合分布列为：第74页,共153页，2024年2月25日，星期天三、二维均匀分布若二维连续随机变量(ξ,η)的联合密度为：则称(ξ,η)服从D

上的均匀分布，记为(ξ,η)

U(D).其中SD为D的面积.第75页,共153页，2024年2月25日，星期天四、二维正态分布若二维连续随机变量(ξ,η)的联合密度为：则称(ξ,η)服从二维正态分布，记为(ξ,η)

N(

).第76页,共153页，2024年2月25日，星期天第77页,共153页，2024年2月25日，星期天例若(ξ,η)～试求常数A.第78页,共153页，2024年2月25日，星期天解:所以,A=6=A/6第79页,共153页，2024年2月25日，星期天例若(ξ,η)～试求P{ξ<2,η

<1}.第80页,共153页，2024年2月25日，星期天xy解:

P{ξ<2,η

<1}21{x<2,y<1}第81页,共153页，2024年2月25日，星期天例若(ξ,η)～试求P{(ξ,η)

D},其中D为2x+3y≤6.第82页,共153页，2024年2月25日，星期天322x+3y=6xy0解:第83页,共153页，2024年2月25日，星期天二、边际分布问题：已知二维随机变量(ξ,η)的分布，如何求出ξ

和η

各自的分布？第84页,共153页，2024年2月25日，星期天边际分布函数巳知(ξ,η)的联合分布函数为F(x,y)，则

η

F2

(y)=F(+

,y).ξ

F1

(x)=F(x,+

),第85页,共153页，2024年2月25日，星期天边际分布列巳知(ξ,η)的联合分布列为pij，则

ξ

的分布列为：

η

的分布列为：

第86页,共153页，2024年2月25日，星期天ξη第87页,共153页，2024年2月25日，星期天例:

袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取两次球，每次取一个，令

01P{η=j}09/256/253/516/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解:(1)有放回地取球ξη(2)无放回地取球

01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη第88页,共153页，2024年2月25日，星期天边际分布密度函数巳知(ξ,η)的联合密度函数为p(x,y)，则

ξ

的密度函数为：

η

的密度函数为：

第89页,共153页，2024年2月25日，星期天例

设(ξ,η)服从区域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均匀分布，求ξ

的边际密度p1(x).解:

由题意得xy-11当|x|>1时，p(x,y)=0，所以p1(x)=0当|x|≤1时,不是均匀分布第90页,共153页，2024年2月25日，星期天例、设(ξ,η)

N(

).

求ξ的边际分布密度函数第91页,共153页，2024年2月25日，星期天二维正态分布的边际分布是一维正态：若(ξ,η)

N(

)，注意点

则ξ

N(

)，

η

N(

).二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.第92页,共153页，2024年2月25日，星期天三、条件分布对二维随机变量(ξ,η),

在给定η取某个值的条件下,ξ的分布;

在给定ξ取某个值的条件下,η的分布.第93页,共153页，2024年2月25日，星期天——已知一个r.v.取定的条件下，另一个r.v.的分布一、条件分布函数

---在η=y条件下ξ

的条件分布函数---在ξ=x条件下η

的条件分布函数第94页,共153页，2024年2月25日，星期天二、离散型：条件分布律定义：若

若

第95页,共153页，2024年2月25日，星期天1.P{ξ=xi|η=yj}≥0;2.证：性质：非负性、规范性第96页,共153页，2024年2月25日，星期天例:

袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取二次球，每次取一个，令

01P{η=j}09/256/253/516/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解:(1)有放回地取球ξη(2)无放回地取球

01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη第97页,共153页，2024年2月25日，星期天

0123

012

0.8400.0300.0200.0100.0600.0100.0080.0020.0100.0050.0040.0010.9000.0800.0200.9100.0450.0320.0011.0001、求给定条件下，的条件分布列

2、求给定条件下，的条件分布列例题第98页,共153页，2024年2月25日，星期天定义当---在ξ=x条件下η

的条件概率密度当---在η=y条件下ξ

的条件概率密度三、连续型：条件概率密度第99页,共153页，2024年2月25日，星期天第100页,共153页，2024年2月25日，星期天例设服从单位圆域上的均匀分布,求第101页,共153页，2024年2月25日，星期天例、设二维连续型随机变量的联合密度函数为求条件概率(1)

(2)第102页,共153页，2024年2月25日，星期天

若满足以下之一:i)F(x,y)=F1(x)F2(y)ii)p(xi,yj)=p1(xi)

p2(yj)iii)p(x,y)=p1(x)p2(y)

则称ξ

与η

是独立的，四、

随机变量的独立性第103页,共153页，2024年2月25日，星期天例

(ξ,η)的联合分布列为:ξ01η01

0.30.40.20.1问ξ与η

是否独立？解:

边际分布列分别为:ξ01P0.70.3η01P0.50.5因为所以不独立第104页,共153页，2024年2月25日，星期天例:

袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取二次球，每次取一个，令

01P{η=j}09/256/253/516/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解:(1)有放回地取球ξη(2)无放回地取球

01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη第105页,共153页，2024年2月25日，星期天例已知(ξ,η)的联合密度为

问ξ

与η

是否独立？所以ξ

与η

独立。注意：p(x,y)可分离变量.解:边际分布密度分别为:所以ξ

与η

独立。注意：p(x,y)可分离变量.第106页,共153页，2024年2月25日，星期天所以ξ

与η

不独立。注意：p(x,y)不可分离变量.第107页,共153页，2024年2月25日，星期天注意点

(2)若联合密度p(x,y)可分离变量，即

p(x,y)=g(x)h(y)

则ξ与η

独立。

(3)若(ξ,η)服从二元正态N(

)

则ξ与η

独立的充要条件是r=0.

(1)联合密度p(x,y)的表达式中，若x

的取值与y

的取值有关系，则ξ与η

不独立.第108页,共153页，2024年2月25日，星期天§3.3

随机变量的函数及其分布问题2：已知二维随机变量(ξ,η)的分布，如何求出ζ=g(ξ,η)的分布？问题1：已知一维随机变量ξ的分布，如何求出ζ=g(ξ)的分布？第109页,共153页，2024年2月25日，星期天一、Borel函数与随机变量的函数定义3.3.1设y=g(x)是R到R上的一个映射，若对于一切R中的Borel点集B1均有{x:g(x)∈B1}∈B1则称g(x)是一元Borel可测函数。注：我们感兴趣的函数一般是Borel可测函数第110页,共153页，2024年2月25日，星期天多维离散随机变量函数的分布是容易求的：

i)对(ξ1,ξ2,……,ξn)的各种可能取值对，写出η

相应的取值.

ii)对η的相同的取值，合并其对应的概率.η=g(ξ1,ξ2,…,ξn),第111页,共153页，2024年2月25日，星期天如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.则

η=g(ξ)～一般，若ξ是离散型r.v，ξ的分布律为ξ～第112页,共153页，2024年2月25日，星期天例设ξ则η=2ξ+3的分布列为：～η～再如：ξ～则η=ξ2

的分布律为：第113页,共153页，2024年2月25日，星期天例、设(ξ,η)的联合分布律为ξη-12-1125/203/202/203/206/201/20求，Z1=ξη,Z2=min(ξ,η)的分布律(一)、离散的情形第114页,共153页，2024年2月25日，星期天=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性此即离散型卷积公式r=0,1,2,…例若ξ、η独立，P(ξ=k)=ak,k=0,1,2,…,P(η=k)=bk,k=0,1,2,…,求ζ=ξ+η的分布律.解:第115页,共153页，2024年2月25日，星期天课堂练习若ξ和η相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.第116页,共153页，2024年2月25日，星期天二、单个随机变量函数的分布解：设η的分布函数为Fη(y)，例1设ξ~求η=2ξ+8的概率密度.Fη(y)=P{ηy}=P(2ξ+8y)=P{ξ}=Fξ()于是η的密度函数第117页,共153页，2024年2月25日，星期天例2先求η的分布函数第118页,共153页，2024年2月25日，星期天结论：

设第119页,共153页，2024年2月25日，星期天例

设随机变量ξ服从，求η=aξ+b(a≠0)也服从正态分布.这个结论很重要！！说明正态分布对线性变换具有不变性所以，Y~N(aμ+b,a2σ2)第120页,共153页，2024年2月25日，星期天例，设X~N(20,32)则Y=-2X-10~N(-50,62)例、X~N(0,32)则-X~N(0,32)注意：X与-X是不同随机变量，但他们分布相同，即同分布。第121页,共153页，2024年2月25日，星期天课堂练习

设随机变量ξ在(0,1)上服从均匀分布，求η=-2lnξ的概率密度.第122页,共153页，2024年2月25日，星期天求η=sinξ的概率密度.课堂练习

设随机变量ξ的概率密度为第123页,共153页，2024年2月25日，星期天例设

ξ

具有概率密度,求η=ξ2的概率密度.求导可得当y≥0时,

注意到η=ξ2≥0，故当y<0时，解：设η和ξ的分布函数分别为和

，第124页,共153页，2024年2月25日，星期天例

已知随机变量ξ的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明η=F(ξ)服从[0,1]上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.第125页,共153页，2024年2月25日，星期天

三、随机向量的函数的分布律我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量ξ1,ξ2,…,ξn的联合分布已知时，如何求出它们的函数

ηi=gi(ξ1,ξ2,…,ξn),i=1,2,…,m的联合分布?

四、随机向量的变换第126页,共153页，2024年2月25日，星期天1、M=max(ξ,η)及N=min(ξ,η)的分布设ξ，η是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fξ(x)和Fη(y),我们来求M=max(ξ,η)及N=min(ξ,η)的分布函数.连续的情形第127页,共153页，2024年2月25日，星期天又由于ξ和η

相互独立,于是得到M=max(ξ,η)的分布函数为:即有FM(z)=Fξ(z)Fη(z)FM(z)=P(M<z)=P(ξ<z)P(η<z)=P(ξ<z,η<z)

由于M=max(ξ,η)不大于z等价于ξ和η都不大于z，故有分析：P(M<z)=P(ξ<z,η<z)第128页,共153页，2024年2月25日，星期天

类似地，可得N=min(ξ,η)的分布函数是下面进行推广

即有FN(z)=1-[1-Fξ(z)][1-Fη(z)]=1-P(ξ≥

z,η≥

z)FN(z)=P(N<z)=1-P(N≥z)=1-P(ξ≥

z)P(η≥

z)第129页,共153页，2024年2月25日，星期天设ξ1,…,ξn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(ξ1,…,ξn)和N=min(ξ1,…,ξn)的分布函数.(i=0,1，…,n)第130页,共153页，2024年2月25日，星期天用与二维时完全类似的方法，可得特别，当ξ1,…,ξn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有N=min(ξ1,…,ξn)的分布函数是

M=max(ξ1,…,ξn)的分布函数为:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……第131页,共153页，2024年2月25日，星期天需要指出的是，当ξ1,…,ξn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(ξ1,…,ξn)，N=min(ξ1,…,ξn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.第132页,共153页，2024年2月25日，星期天

如图所示.设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为:(1)串联.(2)并联.

例第133页,共153页，2024年2月25日，星期天解:

设L1,L2的寿命分别为ξ，η.其概率密度函数分别为:

其中

>0,

>0,且

≠

.

分