高级农业经济学第讲函数与经济学的新进展

高级农业经济学第讲函数与经济学的新进展G函数与经济学的新进展

孙中才第2页,共64页，2024年2月25日，星期天摘要

从G函数概念的形成过程出发，阐述了生产可能性集合、转换函数与利润函数之间的基本关系，集中讨论了由G函数所阐明的新概念和新思想，进而探索了它对当代经济理论和测度计量的重要贡献。同时，对可能的新的研究方向做了推测和预测。

关键词:

生产可能性集合；转换函数；利润函数第3页,共64页，2024年2月25日，星期天0、引言

像一切先进的常规科学学科一样，现代经济学的理论语言是数学，本学科知识的系统化程度，则以其中某些基本关系是否能用函数得以明确表达，作为重要标志[Chiang,1984]。经济学的基本活动是研究人类的经济结构与运动规律的对应[孙中才，1998]。17世纪，主要由I.Newton（1642-1727）和G.Leibniz(1646-1716)建立了微积分，把数学扩展到了函数关系，令函数成了表述和探究事物结构与运动规律的最第4页,共64页，2024年2月25日，星期天得力的手段，从而成了近代科学理论的重要的形式化工具[丁石孙，1988]。1776年，A.Smith(1727-1790)出版《国富论》，确立了经济领域的规律意识，将经济学引导到了近代科学的基本路线上。尔后，经过几代人的努力，在19世纪中期，经济理论步入精确化的发展阶段，并于20世纪中期，范式达到科学的标准，致使经济学成为现代常规科学学科[孙中才，1995]。范式，也就是在基本规律方面，能够明确表达大量科学知识的函数。而随着研究的进展，在范式的基础上，又发展出若干表示分支第5页,共64页，2024年2月25日，星期天理论或方法论的函数。科学自身是自身的主宰[《第一推动》丛书编委会，1999]。这些函数所表达的理论意义一旦被确认之后，那么，科学本身就会随之产生出推动力，令它们向着扩展、补充、完善和精炼的方向运动，直到新的思想出现、更新的表达式能将其完全覆盖或者替代为止[孙小礼，1993]。G函数是在以往生产函数和经营函数的基础上发展起来的，但不是简单的延续，而是相当程度的飞跃。它产生的一些新概念，呈现第6页,共64页，2024年2月25日，星期天出了若干覆盖面更明确、层次更深入的研究焦点，导致经济学研究有了更新的视角和更新的出发点，因而，也就有了更精确的和更透彻的探索可能性。这样，使经济学步入了一个新的阶段，产生了新的推动力量，形成了有关研究的新局面[Kohli，1978；Harrigan,1997；孙中才，2000]。有迹象表明，这个局面很可能会更加蓬勃地扩展开来，并可能持续相当长的时间。关于G函数的深入研究，开始于20世纪60年代末、70年代初，后来经过近30年的探索，在21第7页,共64页，2024年2月25日，星期天世纪初成为成熟的经济学理论表达式。与此同时，在经验模型的估计方面也取得了卓有成效的进展[Lauetal.,1972；Gopinathetal.,

2000]。目前，这个函数已经被比较普遍地运用于经济学的理论研究和应用研究之中。同时，因为它对经济行为做出了更加深入和全面的概括，从而为政策以及委托代理等概念，提供了经济学意义上的结构性定义，于是，也为广义的管理学的精确化开辟了道路[西蒙，1987]。容易发现，G函数的重要性主要在于它对第8页,共64页，2024年2月25日，星期天经济理论的贡献。其中，最为突出的，是它为经济理论的思考，提供了一个更具统摄力的框架，也就是对现代经济运行的规律进行了更为明确的概括，并给出了一个更为全面而简洁的数学表达式。本文以下部分即将对此展开比较详细的讨论。第9页,共64页，2024年2月25日，星期天1、G函数概念的形成

关于G函数的概念，似乎最早是由一些应用经济学家们从生产经济的思路上发现的[Lauetal.，1972；孙中才，2000]。后来经过理论经济学家们的努力，使它得到了更加一般化的表达，现在，成了经济科学知识体系中的一个重要节点。

G函数，即有约束的准化利润函数（restrictednormalizedprofitfunction），是从F函数发展而来的。F函数，就是经济分析中通常运用的实物生产函数和经营函数的统称。运第10页,共64页，2024年2月25日，星期天用利润最佳化的求解过程，很容易推导出G函数的定义[孙中才，2000]。但那样的结果，似乎缺乏更一般的意义。为此，20世纪70年代中期，理论经济学家们运用更为抽象的一般过程，即运用更加美妙的数学对偶原理，使G函数的定义得到了更加严谨的表述。设一个商家，在一个给定期间，能够运用种投入，以向量来表示为，生产种产品，以向量来表示为。容易理解，在生产组织过程中，这些投入和产出会呈第11页,共64页，2024年2月25日，星期天现为各种不同的组合。所有的这些组合，定义为这个商家的生产可能性集合（ProductionPossibilitiesSet），记作。对于生产可能性集合，经过深入的研究，理论经济学家们给出了严格的数学描述。

第12页,共64页，2024年2月25日，星期天1.1条件I：生产可能性集合要符合以下6个条件[Diewert,1973,p.286]：（i）为一个非空的维欧氏空间上的非负的子集，（ii）是一个闭集，（iii）是一个凸集，（iv）如果，，那么（v）如果，，那么，（vi）对于所有的（有限的）投入向量，那么，根据上述条件，可生产的产品集合是有界的。第13页,共64页，2024年2月25日，星期天

由此，可以归纳出3点认识如下，即生产可能性集合的定义和这6点描述：1)给定了一个多产出、多部门的分析框架。它们集多种投入和多种产出于一体，从而给出了一个范围更大、联系更紧的框架，使着眼于多种因素与多种后果的经济分析成为可能。主要见生产可能性集合的定义和描述（i）-（ii）；2）假设了经济体内的技术性质。即产出对投入的变换是边际率递减的，也就是规模报酬递减；产出对产出的边际替代律是递增的；和投入对投入第14页,共64页，2024年2月25日，星期天的边际替代率是递减的。这些性质，需要运用Hicks规则，根据描述（iii）得出；3）给出了投入-产出界限性分析的基本条件。即有限的投入只能生产有限的产品。见描述（iii）-（vi）。容易理解，对于商家来说，效率的投入-产出组合的集合（SetofEfficientInput-outputCombinations），便是生产可能性集合的技术情况的反映，也就是生产变换效率的反映。具体地讲，技术情况的变化，就是生产第15页,共64页，2024年2月25日，星期天函数结构和参数的变化。经济分析的焦点就是效率，因而对技术的变化会格外关注。从集合的概念来说，在生产可能性集合的基础上，得出效率的投入-产出组合集合会很明了，也很简单。但是，可能由于生产函数的概念过于深入人心，而经济学家们已经习惯于有关思路和术语的运用，在从事这方面的分析时，基本没有接受集合的概念，而是继续沿用了函数的方法[Diewert,1973]。不过，或许为了有别于以往的生产函数，但也可能主要是出于概念的第16页,共64页，2024年2月25日，星期天精确性要求，他们将生产可能性集合中含有的效率的投入-产出组合，描述为，并将其称为转换函数（TransformationFunctions），用以分析技术的变化。这里，假定在生产可能性集合中选定为目标产出，转换函数告诉我们，要生产出最佳的的产量，所给定的投入向量以及其他产出向量要生产多少。由此，不断地更换目标产出，直到产出向量中的所有分量都作为目标产出出现一次，便把集合中的生产技术展现第17页,共64页，2024年2月25日，星期天

出来了。这样，如果我们给出了一个满足上述条件I的生产可能集合，那么我们可以规定这个对应于的（非对称的）转换函数如下。第18页,共64页，2024年2月25日，星期天1．2转换函数的定义

对于所有的向量，有，如果存在一个，致使。条件II：转换函数，从经济现实来看，主要要符合以下4个条件：（a）是一个非负的扩充的实函数，即为有限时，它是非负的函数，（b）是连续的凹函数，（c）是的非减函数，第19页,共64页，2024年2月25日，星期天

（d）是的非增函数。对于一个商家来说，如果能够得出它的转换函数，自然就把它的技术状况展现出来了，而就此进行进一步的分析也是很容易的了。能够看出，这样做很容易局限于微观的和纯技术的分析。为避免这样的局限，我们以另一种方式，即以充分考虑了市场条件的方式来规定这种分析，其基础就是利润函数(ProfitFunction)。第20页,共64页，2024年2月25日，星期天1．3利润函数的定义

给定一个固定的产品价格的向量和一个固定的投入价格的向量，并且，所有的价格都是正的，即。对于生产可能性集合，生产者的利润函数定义为。条件III：利润函数符合以下4个条件：（1）是一个扩展的凹的实函数，（2）对于的分量是非增的，

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（3）对于的分量是非减的，（4）是线性齐次的，即对于所有的标量和价格向量，我们有。第22页,共64页，2024年2月25日，星期天1．4

Hotelling定理

如果一个利润函数满足上述条件III，并且在点上，关于产出和投入的价格是可微的，那么，有

和有第23页,共64页，2024年2月25日，星期天

这便是Hotelling定理，也称Hotelling引理（Hotelling’sLemma）。Hotelling定理直接建立在数学对偶理论的基础之上。根据这个定理，人们在经济学领域中看到，市场价格与生产可能性集合之间存在着对偶关系，即确定了后者便可以发现与之相对应的前者；同样，确定了前者也可以发现与之相对应的后者[Hotelling，1932]。

第24页,共64页，2024年2月25日，星期天1．5Hotelling定理的扩展

就一个足够规模的商家或者经济体来说，人们容易看出这样的情况，即生产变换过程复杂，处于中间状态上的物品很多，严格意义上的产出和投入，在这里似乎转瞬即变。同时，人们也能发现，要维持生产，还必须有固定的投入与之相适应。因而，面对这样的情况，经济学家以维向量记作其可变的投入和产出；以维向量记作其固定投入，并用记作是所有投入和产出的维向量。

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并由此将生产可能性集合的条件之一描述为。其余的，完全类似于上面的有关叙述。其中，对应于这个生产可能性集合的非对称的转换函数定义为：如果存在一个，致使，对于所有的向量和。第26页,共64页，2024年2月25日，星期天而把生产者可变的利润函数（VariableProfitFunction）定义为：这里，；。其中，

为生产中或生产后，要买进或出售的可变的投入或产品的固定价格；为固定投入的数量。

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并由此将生产可能性集合的条件之一描述为。其余的，完全类似于上面的有关叙述。其中，对应于这个生产可能性集合的非对称的转换函数定义为：如果存在一个，致使，对于所有的向量和。第28页,共64页，2024年2月25日，星期天

而把生产者可变的利润函数（VariableProfitFunction）定义为：这里，；。其中，为生产中或生产后，要买进或出售的可变的投入或产品的固定价格；为固定投入的数量。第29页,共64页，2024年2月25日，星期天

关于这个利润函数的条件，均类似于上述的条件III，需要再次强调的是以下2点：

1）于是线性齐次的，即对于所有的，，

2）于是线性齐次的，即对于所有的，。第30页,共64页，2024年2月25日，星期天

如果这个利润函数在，处，对于可变的产出和投入的价格是可微的，那么，有（1）这里，是由价格和固定的投入所给定的产出（或者投入，若）致使利润最大时的数量。

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这便是Hotelling定理的扩展。能够看出，这一扩展，将市场价格与生产可能性集合之间存在的对偶关系，做了更加概括性的表述，涵盖的经济内容更加广泛，聚焦的行为更加深入。美妙的数学把科学的探索引导到了一个更加诱人的境地。以往的生产经济的研究，是以生产函数为出发点，通过经营模型，求解因子配置，分析利润的形成及其内在的技术变化。而根据上述，从利润函数出发，通过转换函数，也可以展开第32页,共64页，2024年2月25日，星期天对技术效率和生产运作机理的研究，而且，范围与深度都会更加扩展。从函数运用的角度来看，前一种分析可以称为F函数的分析过程。相应地，似乎后一种分析可以称为函数的分析过程。然而，为准确起见，后者被称为G函数的分析过程，因为对比F函数，这一分析过程，不仅涉及到数值的变换，而且还涉及到函数的变换。或许，简单地讲，G函数可以看作是函数和函数的统称[孙中才，2000]。上面介绍的，从生产可能性集合出发，到第33页,共64页，2024年2月25日，星期天得出Hotelling定理，又从有关的扩展出发，直到得出了这个定理的扩展。容易看出，这一整个过程，是确立利润函数和Hotelling定理的过程，或者说是确立G函数的过程。相应地，人们可以理解到，如果得出了利润函数，那么，便可以借助Hotelling定理和转换函数等概念，回转过去，分析生产可能性集合的性质。这一回转过程便是G函数的分析过程。显然，这种分析过程与其确立过程相比，呈现为思路的翻转。G函数给了经济学研究一个新的“最终即首第34页,共64页，2024年2月25日，星期天要的（TheLastistheFirst）”的逻辑起点。由此明确了一些新的定义和新的概念，从而引导出了一些新的研究思想和新的研究途径。这些新思想和新途径，主要集中在两个方面：一个在技术的分析方面；另一个在约束条件的分析方面。第2节集中讨论前一个方面，后一个留到第3节中讨论。第35页,共64页，2024年2月25日，星期天2、引导了技术分析的新思路

从出发，根据式（1），即可以得出在点上的可变产出和投入的数据集。这个数据集就是效率的投入-产出集合，它实际上反映了生产可能性集合的内部的技术状况。从这些数据出发，要进行生产可能性集合投入-产出效率的分析，根据上述，至少有2条途径可以选择：一条是，直接就这些数据进行相对比较分析，以便揭示其中不同技术的相对地位；另一条是，运用利润函数和转换函数，第36页,共64页，2024年2月25日，星期天

揭示技术的差异。现在已经很通行的数据包络分析DEA(DataEnvelopmentAnalysis)，便属于前者（其中直接从生产可能性集合入手的是最简单的）；后者则是更常见的函数分析技术。

第37页,共64页，2024年2月25日，星期天2．1DEA分析设，其中，；定义：对于所有的向量，有如果存在一个，致使。第38页,共64页，2024年2月25日，星期天并由此得出一个一般的模型：

（2）s.t.

（3）

（4）

（5）

（6）第39页,共64页，2024年2月25日，星期天该生产可能性集合可以描述为：对于[李强，2005]。模型（2）-（6）的解，作为技术相对效率的展示，可以揭示生产可能性集合内在的技术分布情况，以及可能的替代结构。

DEA是不借助转换函数的具体形式所进行的分析，也就是不依赖转换函数参数结构便可第40页,共64页，2024年2月25日，星期天

进行的分析，因此简称为非参数的技术效率分析。对于有多种产出和多种投入的商家或经济体来说，其最突出的优点是简单、快捷，就是可以对专业的或部门的平均技术，进行直接的整合性的相对效率比较[魏权龄，1988]。不足之处主要在于，由于是一种非参数的分析，对技术差异的内在因素揭示不够，而且，在Hotelling定理的运用方面，也显得逻辑不够严谨，对于计算结果的分析，缺乏明确的经济学知识的表述，从而使整个测度计量工作容易第41页,共64页，2024年2月25日，星期天流于简单形式上的经验性模拟或数据试验。第42页,共64页，2024年2月25日，星期天2．2函数分析

由G函数所导致的分析，与以往所不同的主要在于，这种分析的对象是多产出、多投入的关系。另外，从函数出发的分析，不仅仍然直接针对部门平均水平以及影响因素的分析，还必然涉及一些重要的前提条件，如市场和约束条件。因此说，这种分析是在更具有统摄力模型下的分析，一般地，其分析结果应该更具有深刻的知识性。第43页,共64页，2024年2月25日，星期天

显然，从出发，运用函数分析方法，要分析技术的差异与结构，主要涉及两个函数：一个是利润函数本身；另一个是转换函数。在具体的测度计量中，要能够尽量准确地反映经济理论已经探明的局部规律，又能够尽量精确地反映数据与一般运动的拟合程度，关键是这些函数的具体形式要符合理论阐述的性质。关于这些性质，本文在此之前的部分里已有阐述。另外，这些具体形式，还应与可能实现它的数据拟合技术相适应。为此，一些理第44页,共64页，2024年2月25日，星期天

论经济学家和数学家曾做过相当的努力。以下所介绍的这些形式，便是尽可能地考虑了这些要求之后所得出来的[Diewert,1973]。第45页,共64页，2024年2月25日，星期天两个可变利润函数的可选择形式为：(A)

（7）(B)

（8）式中，第46页,共64页，2024年2月25日，星期天

对于转换函数，研究结果确定的一个一般化的线性形式为：

（9）式中，为一个维的非负产出向量；为一个维的非负投入向量，令，；为维的向量，这里。第47页,共64页，2024年2月25日，星期天

事实表明，近年来兴起的有关函数分析，或者说测度计量研究，基本上都是沿用式（7）-（9）或者其修正形式而开展的[Harrigan,1997；Gopinathetal.,2000]。

第48页,共64页，2024年2月25日，星期天3、指明了可行的新探索

函数的推导过程表明，这个函数是以生产可能性集合和技术效率分析为基础的关系表示。对比以往的经济分析，这个函数具有了更一般性的概括能力，也有了更一般性的统摄力。的结构及其推导过程涵盖了以下4点内容：第49页,共64页，2024年2月25日，星期天3.1）从的基本结构能够看出，这里的两组影响因素，和分别表示固定的价格和固定的投入，明显地把决定利润的因子区分为“市场上的”和“商家自身所固有的”这样两大类了。

3.2)

由的定义可以看出，在中价格所对应的是决策中的可变因子，而仍是固定因子。第50页,共64页，2024年2月25日，星期天3.3)在函数中，和这两个集合，从数学理论上讲，在元素数目上必须保持一定的对应关系，才能保证的经济现实性，这就是。3.4）由式（1）可以看到，扩展的Hotelling定理，仅仅对函数的前一种因子进行了分析，对后一种因子的分析还属暂时空缺。第51页,共64页，2024年2月25日，星期天

从3.1）和3.2)出发，人们容易得出这样的概念和推断，即在决策过程中，价格对应着可变的因素，也就是市场可以调节的物品；固定投入对应着市场所不能调节的物品。市场调节与市场失灵共同决定着利润的形成。从3.2)的内容可以看出，由出发可以进行的技术效率分析，也就是对生产集合内部所涵盖的函数进行分析，能够回归到以往的资源配置和效率分析的基本思路上去。由此可以看出，这个函数所表征的内容是经济学已有途径的延续。第52页,共64页，2024年2月25日，星期天

但是，因为有了函数这样的更一般的“固定”与“固定”的描述，以及更一般的“可变”与“固定”的描述，便将过去的投入-产出分析推进到了更一般的境地，为更深层的科学规律的揭示，指明了新的探索方向。更加一般的统一性模型，必定要引导出更加深刻的理论知识[Einstein，1949]。3.3）表明，在概念上，这种对应关系，不失为经济学研究的一个新方向。因为如何解释“市场固定价格”与“商家固定禀赋”之间存在的内在关系，在以往的以“资源第53页,共64页，2024年2月25日，星期天

配置”为主的经济研究中，还没有给予足够的注意。3.4）启示人们，如果对展开关于的有关分析，必定可以开辟一个新的方向。

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为此，在测度计量和理论探索方面，经济学家们都进行了有效的探索，现在已经取得了卓有成效的进展。这些探索似乎都可以通过聚焦于下面这个简单的模型来描述。设一个经济体的经济行为，可以初始性地写为：

s.t.

，第55页,共64页，2024年2月25日，星期天这里，--最终产品向量；

--最终产品价格的向量；

--禀赋的凸性生产可能性集合。这个模型的解将是GNP的最大值，当时。只要这个利润函数是二次连续可微的，即要求因子之间存在着平滑的可替代性，并且至少因子有与产品一样多的数目（），那么，净产出供给的向量就由关于的梯度来给出：第56页,共64页，2024年2月25日，星期天

如前所述，这里定义和，（）的符号则取决于是产出还是投入。若是产出为“+”，若是投入为“-”。并把需要由最终产品“纳税”的物品，如污染物和进口，视为投入，符号为“-”。由此可以看出，凡是有定价的（或者说有价格的）物品，均可以归入经济决策的变量之中[Debreu,1959；Gorman,1968]。第57页,共64页，2024年2月25日，星期天同理，可以得出：便是的影子价格，对于和，应该有，，即如同市场价格一样，也都是非负的。与利润相对应，为商家禀赋的净租金率。第58页,共64页，2024年2月25日，星期天

因为对应着贸易市场，因而可以想象，便对应着潜在的内部的租赁市场。在贸易市场上不能定价的固定数量，在经济运行中实际上具有潜在的价值测度。对于这种测度的揭示和探索，已经构成现代经济研究的一个新的领域，其成果成为环境保护、资源定价以及公共物品税收控制的重要依据。另外，从模拟转换函数的概念入手，如果设，这里，为的决定变量，那么便可以引伸出市场失灵方面的深层分析。而且，似乎那些可以第59页,共64页，2024年2月25日，星期天

判断为是的影响因素，又明显地没有价格的东西，例如，有关的一般的政府政策、企业内部管理措施和公共物品的技术标准等,都可以归入，从而进入利润函数的结构，成为经济分析的对象。显然，如果得不到函数的导引，从而也得不到上述成熟过程的支持，这些问题是很难进入经济学领域的。似乎也可以说，不从影子价格这个测度出发，这些问题是很难为现代的经济专业研究所接受的[孙中才，2002]。第60页,共64页，2024年2月25日，星期天结束。谢谢！第61页,共64页，2024年