辽宁省抚顺市胜利中学高三数学理期末试卷含解析

辽宁省抚顺市胜利中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：1、集合的表示；2、集合的运算.2.直线与圆相交于两点，则是“的面积为的(

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A解析：解：若，则直线与圆交于两点，所以,充分性成立；若△ABO的面积为，易知，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．3.六张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为（

）A．180

B．126

C．93

D．60参考答案：B4.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（

）A．3

B．2

C．1

D．

参考答案：B略5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．6.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A． B．

C.．

D．参考答案：C7.已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）?的值为（） A． B． C． 1 D． 2参考答案：B8.计划在个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（

）（A）60种

（B）42种

（C）36种

（D）24种参考答案：A略9.已知正数x,y满足，则的最小值为(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：C略10.中，，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于平面向量，有下列三个命题：①若，则；②若，∥，则；③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为

．（写出所有真命题的序号）参考答案：②略12.已知半径为2的圆O与长度为3的线段PQ相切,若切点恰好为PQ的一个三等分点,则_______▲_________.参考答案：略13.给出下列命题：①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若函数对任意满足，则8是函数的一个周期；③若，则；④若在上是增函数，则,其中正确命题的序号是

.参考答案：①②④14.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离

为

．参考答案：略15.设，不等式对恒成立，则的取值范围为

。参考答案：略16.若实数x,y满足，则的最小值是______．参考答案：【详解】由约束条件作出可行域如图，令,则，由图可知,当直线过B时，z有最小值.，解得.∴的最小值是.故答案为：.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.17.定义：f1（x）=f（x），当n≥2且x∈N*时，fn（x）=f（fn﹣1（x）），对于函数f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得fn（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是

（写出所有正确命题的编号）①1是f（x）的一个3～周期点；②3是点的最小正周期；③对于任意正整数n，都有fn（）=；④若x0∈（，1]，则x0是f（x）的一个2～周期点．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象．【分析】根据已知中点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点的定义，逐一分析四个结论的真假可得答案．【解答】解：f1（1）=f（1）=0，f2（1）=f（f1（1））=f（0）=，f3（1）=f（f2（1））=f（）=1，故①1是f（x）的一个3～周期点，正确；f1（）=f（）=1，f2（）=f（f1（））=f（1）=0，f3（）=f（f2（））=f（0）=，故②3是点的最小正周期，正确；由已知中的图象可得：f（）=，故f1（）=f（）=，f2（）=f（f1（））=f（）=，f3（）=f（f2（））=f（）=，…故③对于任意正整数n，都有fn（）=，正确；④若x0=1，则x0∈（，1]，但x0是f（x）的一个3～周期点，故错误．故答案为：①②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）当时，求函数的单调区间;（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间。设，试问函数在上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）当时，，此时的单调增区间为；当时，，此时的单调增区间为，减区间为;（2）函数在上不存在保值区间.证明如下：假设函数存在保值区间[a,b].,因时，所以为增函数，

所以

即方程有两个大于1的相异实根.

设，,因，，所以在上单增，又，即存在唯一的使得,当时，为减函数，当时，为增函数，所以函数在处取得极小值。又因，所以在区间上只有一个零点，

这与方程有两个大于1的相异实根矛盾。所以假设不成立，即函数在上不存在保值区间.

19..已知抛物线的焦点为，过F且斜率为的直线与交于A，B两点，斜率为的直线与相切于点P，且与不垂直，Q为AB的中点.（1）若，求；（2）若直线PQ过(0,2)，求参考答案：（1）（2）【分析】（1）由已知求得抛物线Γ的方程，由直线的斜率为，且过F（0，1），得的方程为，代入抛物线方程，利用抛物线的弦长公式列式代入=，进一步得；（2）设P（，），利用导数求得=，则P（2，），由（1）知，且Q为AB的中点，得Q（，），再由直线PQ过（0，2），得，结合与不垂直，即可证得=．【详解】（1）∵抛物线Γ：（p＞0）的焦点为F（0，1），∴抛物线Γ的方程为．由直线的斜率为，且过F（0，1），得的方程为，代入，化简得，设，则，．∵=，∴；（2）设P（，），将Γ的方程化为y=，求导得y′=，∵斜率为的直线与Γ相切于点P，∴=，则P（2，），由（1）知=4，且Q为AB的中点，易得Q（2，+1），∵直线PQ过（0，2），∴，整理得，∵与不垂直，∴，则-2=0，即=．20.（本题满分12分）已知数列满足，且（Ⅰ）用数学归纳法证明：（Ⅱ）设，求数列的通项公式.参考答案：（Ⅰ）证明：①当时，，②假设当时，结论成立，即，则当时，

又综上①②可知………………6分（Ⅱ）由可得：

即……8分

令，则

又

∴是以1为首项，以2为公比的等比数列，，即………12分21.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

参考答案：（Ⅰ）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

……………6分另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

…………6分（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

…………8分（注:不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则，，，，∵M是PC中点，∴

∴设异面直线AP与BM所成角为则=

∴异面直线AP与BM所成