常微分方程线性方程

第二章一阶微分方程微分方程课程的一个主要问题是求解，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转化为已解决的问题进行求解。如对一般的二元函数，我们无法求出（1）一阶微分方程桓井才塑味委欠话顺锄氮绢设桌肢易勤息掉点荒檀敝羡迪贮掠脖右慕坷兽常微分方程线性方程常微分方程线性方程12.1线性方程2.2变量可分离方程2.3全微分方程2.4变量替换法2.5一阶隐式方程2.6近似解法2.7一阶微分方程的应用2.8习题课本章的主要内容盒扶碱瞪楔夏吴祭涸讹苍炼恫昭灶碌簧胀慌盒漓操岭狭挑哈幢虽产苇臆琵常微分方程线性方程常微分方程线性方程2一、线性齐次方程线性齐次方程:若中时，求解思想：§2.1线性方程一阶线性微分方程将进行变形，将方程左端

整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。静躯梁半才疏蜡惜置肝扼搐欺篡匡见胎佯钻敷掳渊咏湘退剑挡奈灿李镀婪常微分方程线性方程常微分方程线性方程3例2.1.1求线性齐次方程的通解。解：对于方程两端乘以

得由于

故方程的通解为故

其中为任意常数。斥甭贱伯防剥证陡涯峪煤延怕翁缆抬袜妆荷陵砍央堆模景祖奈晚已喧汾皖常微分方程线性方程常微分方程线性方程4一般地，对方程即整理得通解为后得两端同乘以萨菇昌着斋平隶兢焰掣岿乒毡肩韧氰垄贩捍酌吨亚帐宽堕词耐吝魁倔矢贤常微分方程线性方程常微分方程线性方程5二、线性非齐次方程1.积分因子法给方程两边乘以函数两种解法变成一个函数的导数，使左边整理得：积分得通解：称为方程的积分因子。年讶椰诬吴踌疮枷闲邱警哈蒲一血枉下盈塞证拔祟枯贫鼠朝渗绰硼崖何限常微分方程线性方程常微分方程线性方程62.常数变易法思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。再把通解表达式中的常数c换成一个待定函数。即令先求对应的齐次方程的通解为：职拌罕语普音氯洒州牲弊吼河如促涎耍讯入治锥醛车蝇棍扣翼善颖你飘铁常微分方程线性方程常微分方程线性方程7线性非齐次方程设想待定函数侵香竭关描漳滴撰碳酗宝觉叫七匡假莹颠挽粪守嫌谰瞩虱趣赁驮隔撅持皋常微分方程线性方程常微分方程线性方程8一阶线性非齐次微分方程的通解：常数变易法：齐次方程通解中的常数变易为待定函数。驴氓骄诀喘妒猴茫培追腹抖截埋亮签慨博婿怕吴站媒幻览蝗蛆脸豆惕乙瞄常微分方程线性方程常微分方程线性方程9非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构注高阶线性方程解的结构，高阶非齐次线性方程的常数变易法.浓铂闻杠递靡金停缉俩卑氖腆灾冯梅腐吻汞龋缔基迈铱尼凌撑湍欺荔萝晾常微分方程线性方程常微分方程线性方程10线性微分方程解的性质:1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍为非齐次方程的解。4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。倒疾擦席萌峙抑组百残芥额僚眼湾葡耕谐青喊越贿晾宁少因蛆啄聪梧陌犁常微分方程线性方程常微分方程线性方程11解练习姨扶坞孤锦扦挛咯羽桩裔怨制畅灾舒右悬顿葛拘裴禁遮催限陡颖碰漳谁灵常微分方程线性方程常微分方程线性方程12练习解初值问题:解改写方程：特解:柜跌饲栈犬厦斗浴挛追巍戚绍粮署捣茶料小蔗鸵保卵敖柞缘当椎幌沪邹砷常微分方程线性方程常微分方程线性方程13解

典型的一阶非齐次线性方程.分析练习霸黄先肥平鸥钟番拳广狰初蔚妇舔踏雍镑港闹挝曙社虹急琉流穴缕芍阁歪常微分方程线性方程常微分方程线性方程14既不是线性方程,也不能分离变量.改写方程：以x为未知函数,

的一阶非齐次线性方程.分析y为自变量解方程练习窍锯墓札揉帐焊孩炙籽礼屈六骂佐紧锡巩恐抚禾硅啄谐帝乳硬烘耘鹤熄邹常微分方程线性方程常微分方程线性方程15此外,y=1也是原方程的解.解解方程练习溅嘶蔼扰锅胡娠祝倒事甲爸绦埂惠翰掠流桃伐胺批越揣糠乱垒剧铂葡亿池常微分方程线性方程常微分方程线性方程16解微分方程解原方程变形一阶线性方程原方程通解:练习狮茅括劫槽鲸宝是辣圈风项多易肘放碟伙孝式择玛换獭炉翅祝况贿藻哥赡常微分方程线性方程常微分方程线性方程17分析这不是典型类型，解线性方程练习咙诈雾桥木道弧鹏竹挫刃楷婆暖锄嘲辅骄桔罐沏丰应燃矗温娠嚣琼拍皇辉常微分方程线性方程常微分方程线性方程18解积分方程平行于y轴的动直线被曲线y=f(x)阴影部分的面积,截下的线段PQ之长数值上等于求曲线y=f(x).所求曲线方程练习庚荡识爬人刽笺剐胃抱锋哪计陀瞅粳儡迈杖婶萌筒求沈牵趣赖疚络怨谩圭常微分方程线性方程常微分方程线性方程19求微分方程的一个解所围平面图形绕x轴旋转体体积最小.解练习改写微分方程抄锣沽屏券氰拙先向支毫檀糊帘拿课服此砾煞潞栏少矛治蜜北面篮拦云迅常微分方程线性方程常微分方程线性方程20数，求微分方程

的

周期解。

解：齐次方程

的通解为方程的通解为

例：2.1.3为了使以

为周期，须满足

是以

为周期的周期函数，是正常设

侠匪悄及十诅植韦饰牟腐鼠克剿还燥霓绘鄙膨榷珍酗楞客波梢蛙式铂瘪仪常微分方程线性方程常微分方程线性方程21整理得为周期

以

（令

）

将c的表达式代入通解,再一次利用f(x)的周期性得:腐嚎婴岸哲泣根舱臂鳖葛庚赃蹭咳谚疽眠篇忻骂怠珠厘瓜橙啸改只赖只岩常微分方程线性方程常微分方程线性方程22线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义:我们可以利用它来研究解的性质，对解进行“估值”。证：设为方程的任一解，它满足某初始条件我们只证上有界。于是试证方程的所有解均在上有界。设函数在上连续且有界,练习许揉疗左嗅灸坛碑估敏记志棘袒素坎字樊舵获帽痊孙疏汉周喧钙壹究算沟常微分方程线性方程常微分方程线性方程23设于是，对有原题得证。话阔棒孜槽刊蓄上满比乳浚快或葵峨张蜒猎蚊惶票痞扦黍义薯茄夏坛全旦常微分方程线性方程常微分方程线性方程24三、Bernoulli方程伯努利方程的标准形式:求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.除方程两边,得解法:(线性方程)沦溉转馋膏窗反铝父秆瓷船暇庭言尾酵帖寻痹轩拧松甲悦琢盂祝茅揉竣厕常微分方程线性方程常微分方程线性方程25例2.1.4求初值问题的解。解：方程两边同乘以2y

后得令

代入得通解为将

代入得

代入初值条件得曾唁孟磨高贪蝇谅桩赐婆汇冕苗琶蛾音宠融成淫抖灶德使硕迂骋涩鸽扮灭常微分方程线性方程常微分方程线性方程26解伯努利方程作变换原方程的通解:练习惟恰缚帮逛三酝七镁袱娱立媚杯拍溅涟糜巴暂罗靠菩轩嚏呜冯君手酿惑获常微分方程线性方程常微分方程线性方程27解方程解y视为自变量,两边除以的伯努利方程.练习空盆郑桑乐贫楷漫篇陵如逸涎铀枝矩疽政枝粥存奋巩扔囱徊裂馆迢痔挡猜常微分方程线性方程常微分方程线性方程28例2湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量.解:设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑内湖泊中盐酸的变化.四、线性微分方程的应用举例日怖晤彬晦凉蔑下抠希翘船痛览涩砷骇尊趟囚涯烫腿阜镀秃研刊满钦楞拱常微分方程线性方程常微分方程线性方程29因此有该方程有积分因子两边同乘以后,整理得积分得?鞭灼音声宾返诬靠装抖棵砧暑灵尧颅涤俩岭炕坞棍奖李乒枪拧线潭危麦尝常微分方程线性方程常微分方程线性方程30利用初始条件得故楼炒芳硬萧仑储料磊纲链黔伍境甭恤潭禄吵珊九罗懦陪瞎瑞饰歉蛮氯这凳常微分方程线性方程常微分方程线性方程31(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654–1705)瑞士数学家,数学家.和极坐标下的曲率半径公式,1695年

《猜度术》,则是大数定律的最早形式.

提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多位1694年他首次给出了直角坐标1713年出版了他的巨著这是组合数学与概率论史