动态规划与cdq分治的结合

24/29动态规划与cdq分治的结合第一部分动态规划求解最长公共子序列 2第二部分分治求解最长公共子字符串 4第三部分动态规划处理背包问题 7第四部分分治处理子集卷积问题 12第五部分动态规划解决最短路径问题 14第六部分分治处理区间动态规划问题 17第七部分动态规划优化期望最大化问题 21第八部分分治处理树上动态规划问题 24

第一部分动态规划求解最长公共子序列动态规划求解最长公共子序列

引言

最长公共子序列（LCS）是一个经典的字符串匹配问题，其目的是在两个给定字符串中找到一个最长的公共子序列。动态规划是一种求解LCS的常用方法，它通过自底向上的方式计算子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。

动态规划算法

动态规划算法通过构建一个二维表dp来记录每个子问题的最优解。其中，dp[i][j]表示字符串X的前i个字符与字符串Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。算法从dp[0][0]开始，逐行逐列计算表格中的每个元素。

状态转移方程

dp[i][j]的值可以通过以下状态转移方程计算：

1.如果X[i]==Y[j]，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

2.否则，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

其中，X[i]表示字符串X的第i个字符，Y[j]表示字符串Y的第j个字符。

边界条件

当i或j为0时，dp[i][j]的值显然为0。

时间复杂度

动态规划算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为字符串X和Y的长度。

空间复杂度

动态规划算法的空间复杂度为O(mn)，因为需要使用dp表来存储子问题的最优解。

cdq分治求解LCS

cdq分治是一种基于分治思想求解LCS的算法。它将字符串X和Y划分为较小的部分，对这些部分进行求解，然后合并部分的解得到整个字符串的解。

算法流程

1.划分：将字符串X和Y划分为两部分，记为(X1,X2)和(Y1,Y2)。

2.递归求解：递归求解X1与Y1以及X2与Y2的LCS。

3.合并：合并X1与Y1的LCS和X2与Y2的LCS，得到整个字符串的LCS。

时间复杂度

cdq分治算法的时间复杂度为O(nlog^2n)，其中n为字符串的长度。

改进

可以对cdq分治算法进行一些改进，以减少时间复杂度：

*后缀排序：使用后缀排序预处理字符串X和Y，减少比较次数。

*倍增：使用倍增技术合并LCS，减少递归深度。

结合动态规划和cdq分治

动态规划和cdq分治可以结合使用，以进一步提高LCS求解的效率。

算法流程

1.动态规划求解较小的子串：对长度较小的子串X1和Y1使用动态规划算法求解LCS。

2.cdq分治求解较大的子串：对长度较大的子串X2和Y2使用cdq分治算法求解LCS。

3.合并：合并X1与Y1的LCS和X2与Y2的LCS，得到整个字符串的LCS。

优势

结合动态规划和cdq分治的算法具有以下优势：

*动态规划算法的时间复杂度较低，适用于求解较小的子串。

*cdq分治算法的时间复杂度较低，适用于求解较大的子串。

*这两种算法的结合可以平衡效率和空间开销。

总结

动态规划和cdq分治都是求解最长公共子序列的有效算法。结合这两种算法可以进一步提高效率，适用于处理长度较长的字符串。第二部分分治求解最长公共子字符串关键词关键要点分治求解最长公共子字符串

1.分治思想的应用：将问题分解为若干个子问题，并通过合并子问题的结果得到总体解。使用分治的思想可以将长度为n的两个字符串的最长公共子字符串问题分解为两个子问题，即长度为n/2和n/2的两个子字符串的最长公共子字符串问题。

2.动态规划的结合：在分治过程中，对每个子字符串中的每个位置使用动态规划求解其最长公共子字符串。这可以通过构建一个表格来实现，其中表格的每一格代表两个子字符串中相应位置的最长公共子字符串的长度。

3.合并子问题的策略：分治求解后，需要合并子问题的结果得到总体解。对于最长公共子字符串问题，需要合并两个子字符串的最长公共子字符串和中间部分的重叠部分的最长公共子字符串。可以通过比较子字符串和中间部分的长度得到合并后的最长公共子字符串。

动态规划求解最长公共子字符串

1.状态定义：以两个字符串s和t的第一个字符为起点，definedp[i][j]作为s[1:i]和t[1:j]的最长公共子字符串的长度。

2.状态转移方程：当s[i]=t[j]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；否则，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。

3.边界条件：当i或j为0时，dp[i][j]=0，表示空字符串的最长公共子字符串长度。分治求解最长公共子字符串

问题描述：

给定两个字符串`S`和`T`，求其最长公共子字符串（LCS），即`S`和`T`中都存在的最长连续子序列。

分治算法：

1.递归基：

-当`S`或`T`为空时，LCS为空字符串。

2.分解：

-如果`S[i]=T[j]`，则LCS可以分解为`S[i:i+1]`与`T[j:j+1]`的LCS前缀`s`，加上`S[i]`和`T[j]`。

-否则，LCS可以由`S[1:i]`与`T[1:j]`的LCS，或`S[i+1:n]`与`T[j+1:n]`的LCS中选择最长的。

3.合并：

-返回`max(`LCS(S[1:i-1],T[1:j-1])`+`s`,`LCS(S[i+1:n],T[j+1:n])`)`中的最大值。

动态规划优化：

利用动态规划优化分治算法，可以避免重复计算子串的LCS。具体步骤如下：

1.初始化一个二维数组`dp[i][j]`，其中`dp[i][j]`表示`S[1:i]`与`T[1:j]`的LCS长度。

2.对于`i=1`到`n`，以及`j=1`到`m`，依次计算`dp[i][j]`：

-如果`S[i]=T[j]`，则`dp[i][j]=dp[i-1][j-1]`+1。

-否则，`dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])`。

3.最后，返回`dp[n][m]`即为`S`和`T`的LCS长度。

CDQ分治优化：

CDQ分治可以进一步优化分治算法的时间复杂度。具体步骤如下：

1.将字符串`S`和`T`分成大小相等的`k`个块。

2.对每个块`S[l:r]`和`T[l:r]`，分别计算其LCS`s[l:r]`。

3.分治求解每个块之间的LCS。具体地，对于每个块`S[l:r]`和`T[l':r']`（其中`l≤l'≤r≤r'`），求解`LCS(S[l:r],T[l':r'])`。

4.合并相邻块的LCS。对于每个块`S[l:r]`和`T[l+k:r+k]`，将`LCS(S[l:r],T[l+k:r+k])`与`s[l:r]`和`s[l+k:r+k]`合并得到`S[l:r+k]`和`T[l:r+k]`的LCS。

5.重复步骤3和4，直到合并所有块的LCS。

通过以上优化，分治求解LCS的时间复杂度可以降低到`O(nlog^2n)`。

示例：

给定两个字符串`S="abcabca"`和`T="abcabc"`，其最长公共子字符串为"abcabc"。

算法演示：

1.递归分解：`S[1:6]`和`T[1:6]`的LCS为`LCS(S[1:5],T[1:5])`+`S[6]`和`T[6]`。

2.动态规划优化：计算出`dp[i][j]`数组。

3.CDQ分治优化：将字符串分成两个块`S[1:3]`和`S[4:6]`，`T[1:3]`和`T[4:6]`。求解每个块的LCS`s[1:3]`和`s[4:6]`。再求解块之间的LCS`LCS(S[1:3],T[4:6])`。最后合并得到LCS为"abcabc"。

结论：

分治结合动态规划和CDQ分治可以高效求解最长公共子字符串问题。分治的递归分解思路，动态规划的缓存策略以及CDQ分治的块状合并策略，共同实现了算法的优化，降低了时间复杂度。第三部分动态规划处理背包问题关键词关键要点主题名称：多阶段决策问题

1.将问题分解为多个阶段，每个阶段具有有限的决策集合。

2.定义阶段状态表示问题当前状态。

3.使用动态规划自底向上或自顶向下地逐阶段求解问题。

主题名称：背包问题

动态规划处理背包问题

简介

背包问题是一种经典的组合优化问题，其目标是在一个给定的背包容量限制下，从一系列物品中选择最大价值的物品放入背包中。动态规划是一种求解背包问题的常见方法，它采用自底向上、逐个状态求解的方式来得到问题的最优解。

具体步骤

设背包容量为C，物品数量为n，物品i的价值为vi，重量为wi。动态规划求解背包问题的主要步骤如下：

1.初始化状态表

创建一个二维状态表f，其中f[i,j]表示容量为j时，考虑前i个物品所能取得的最大价值。初始化时，f[0,j]=0（容量为0时，没有任何物品，价值为0），f[i,0]=0（容量为0时，任何物品都无法放入，价值为0）。

2.状态转移

对于每一个物品i和容量j，有两种选择：

*不选择物品i，则f[i,j]=f[i-1,j]

*选择物品i，则f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-wi]+vi)

第一种选择表示不选择物品i，因此最大价值与之前考虑i-1个物品时的最大价值相同。第二种选择表示选择物品i，需要将容量减去物品i的重量，并加上物品i的价值，然后与之前考虑i-1个物品时的最大价值取最大值。

3.求解最优解

求解最后一个状态f[n,C]，即考虑所有物品时，背包容量为C的最大价值。这就是背包问题的最优解。

例子

假设有一个背包容量为5，有4个物品，其价值和重量分别为：

|物品|价值|重量|

||||

|1|3|1|

|2|4|2|

|3|5|3|

|4|6|4|

使用动态规划求解背包问题：

初始化：

```

f[0,0]=0

f[0,1]=0

f[0,2]=0

f[0,3]=0

f[0,4]=0

f[0,5]=0

```

状态转移：

对于物品1：

```

f[1,1]=max(f[0,1],f[0,1-1]+3)=max(0,3)=3

f[1,2]=max(f[0,2],f[0,2-1]+3)=max(0,3)=3

f[1,3]=max(f[0,3],f[0,3-1]+3)=max(0,3)=3

f[1,4]=max(f[0,4],f[0,4-1]+3)=max(0,3)=3

f[1,5]=max(f[0,5],f[0,5-1]+3)=max(0,3)=3

```

对于物品2：

```

f[2,1]=max(f[1,1],f[1,1-2]+4)=max(3,0)=3

f[2,2]=max(f[1,2],f[1,2-2]+4)=max(3,4)=7

f[2,3]=max(f[1,3],f[1,3-2]+4)=max(3,7)=7

f[2,4]=max(f[1,4],f[1,4-2]+4)=max(3,7)=7

f[2,5]=max(f[1,5],f[1,5-2]+4)=max(3,7)=7

```

对于物品3：

```

f[3,1]=max(f[2,1],f[2,1-3]+5)=max(3,0)=3

f[3,2]=max(f[2,2],f[2,2-3]+5)=max(7,0)=7

f[3,3]=max(f[2,3],f[2,3-3]+5)=max(7,5)=12

f[3,4]=max(f[2,4],f[2,4-3]+5)=max(7,5)=12

f[3,5]=max(f[2,5],f[2,5-3]+5)=max(7,5)=12

```

对于物品4：

```

f[4,1]=max(f[3,1],f[3,1-4]+6)=max(3,0)=3

f[4,2]=max(f[3,2],f[3,2-4]+6)=max(7,0)=7

f[4,3]=max(f[3,3],f[3,3-4]+6)=max(12,0)=12

f[4,4]=max(f[3,4],f[3,4-4]+6)=max(12,6)=18

f[4,5]=max(f[3,5],f[3,5-4]+6)=max(12,6)=18

```

求解最优解：

f[4,5]=18，表示容量为5时，考虑所有物品所能取得的最大价值为18。

最优解为18

时间复杂度

动态规划求解背包问题的時間复杂度为O(nC)，其中n是物品数量，C是背包容量。对于每一个物品，需要考虑C个可能的容量，因此总共需要O(nC)时间。

空间复杂度

动态规划求解背包问题的空间复杂度为O(C)，因为只需要存储每一列的狀態，总共需要O(C)空间。第四部分分治处理子集卷积问题关键词关键要点【分治处理子集卷积问题】

1.子集卷积的定义与性质

-子集卷积是一种特殊卷积，其中卷积核只考虑了输入集合的子集。

-子集卷积满足结合律、交换律和分配律，这使得它可以用分治法解决。

2.分治算法的框架

-将输入集合分成两部分。

-对每个部分进行子集卷积，得到两个子问题的结果。

-合并两个子问题的结果得到最终结果。

3.优化技巧

-利用meet-in-the-middle技巧减少卷积次数。

-使用快速幂算法优化指数计算。

-采用位运算优化集合运算。

【分治结合动态规划的问题转换】

分治处理子集卷积问题

1.子集卷积

子集卷积是一种特殊的卷积运算，其中卷积核的每个元素对应于一个子集，输出的每个元素对应于输入集中所有子集与卷积核对应子集元素乘积的和。

2.分治算法

分治算法是一种解决问题的策略，将问题分解为较小的子问题，递归求解子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。

3.分治处理子集卷积

将子集卷积问题分解为：

*合并两个数列的子集卷积：给定两个数列A和B，计算它们子集卷积的结果。

*计算子集卷积与一个数的乘积：给定一个数列A和一个数x，计算A的子集卷积与x的乘积。

4.合并两个数列的子集卷积

*将A和B分解成两部分：[A1,A2]和[B1,B2]。

*分别计算A1和B1、A1和B2、A2和B1、A2和B2的子集卷积。

*合并四个部分的子集卷积得到A和B的子集卷积。

5.计算子集卷积与一个数的乘积

*对于A的每一个元素a[i]：

*计算a[i]与所有子集的乘积。

*将乘积乘以x。

*添加到结果中。

6.时间复杂度

*合并两个数列的子集卷积：O(n^3)

*计算子集卷积与一个数的乘积：O(n^2)

*分治处理子集卷积：O(n^3logn)

7.改进

*记忆化：记录已经计算过的子问题，避免重复计算。

*快速傅里叶变换(FFT)：将子集卷积转换为多项式乘法，利用FFT加速计算。

*二进制indexed树(BIT)：利用BIT优化子集卷积的计算，时间复杂度降至O(n^2log^2n)。

8.应用

分治处理子集卷积在计算几何、图论和组合数学等领域广泛应用，用于解决：

*计算凸包面积

*计算图的连通分量

*计算排列的逆序数

*计算组合数第五部分动态规划解决最短路径问题关键词关键要点【动态规划解决最短路径问题】

1.将最短路径问题划分为若干子问题，子问题具有最优子结构性质。

2.采用自底向上的递推方式解决子问题，从最小的子问题开始逐步解决较大子问题。

3.利用子问题的最优解来构造整个问题的最优解，从而实现全局最优。

最短路径问题的动态规划算法

1.Dijkstra算法：适用于边权非负的情况，使用优先队列来维护最短路径长度，逐一扩展节点。

2.Bellman-Ford算法：适用于边权可能为负的情况，通过迭代更新节点的最短路径长度，最终得到全局最优解。

3.Floyd-Warshall算法：适用于求解所有节点对之间的最短路径，使用动态规划表存储各节点对之间的最短路径长度。

动态规划的复杂度分析

1.时间复杂度：与问题规模的指数级相关，在最坏情况下指数级增长。

2.空间复杂度：与子问题的数目相关，通常为线性或二次方级。

3.优化方法：采用备忘录技术或空间优化技术，减少时间和空间复杂度。

动态规划的应用场景

1.解决最短路径问题，如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法。

2.解决背包问题，如0-1背包问题、完全背包问题。

3.解决最长公共子序列问题，如最长公共子串问题、最长公共子数组问题。

动态规划与其他算法的结合

1.动态规划与贪心算法结合：先采用贪心算法得到近似解，再利用动态规划进行优化。

2.动态规划与回溯算法结合：先采用回溯算法找到所有解，再利用动态规划计算各解的权值，获取最优解。

3.动态规划与分支限界算法结合：利用动态规划建立上下界，加速分支限界算法的搜索过程。动态规划解决最短路径问题

动态规划是一种解决最优化问题的常用技术，它通过将问题分解为重叠子问题并保存先前结果来提高效率。在最短路径问题中，我们可以利用动态规划来寻找图中两点之间的最短路径。

算法描述

设`d[i][j]`表示从点`i`到点`j`的最短路径长度。对于任意的`i`和`j`，`d[i][j]`可以根据以下公式更新：

```

```

更新过程从`k=1`开始，逐步增加`k`的值，直到达到`k=n`（图中的节点总数）。

空间优化

上述算法需要存储`n^2`的空间，其中`n`是图中的节点数。通过对算法进行修改，我们可以将空间需求减少到`O(n)`。

改进后的算法使用一个队列来存储每个节点`i`的候选最短路径长度`d[i]`;即从起点到`i`的最短路径长度。然后，算法重复以下步骤：

1.从队列中取出一个节点`i`。

2.对于图中所有与`i`相邻的节点`j`，计算`d[j]`的新值：

-如果`d[i]+w(i,j)<d[j]`（其中`w(i,j)`是`i`和`j`之间的边权重），则将`d[j]`更新为`d[i]+w(i,j)`。

3.将`j`添加到队列中。

算法在遍历所有节点后终止。此时，队列中包含从起点到每个节点的最短路径长度。

复杂度分析

优化后的动态规划算法的时间复杂度为`O(E+V)`，其中`E`是图中的边数，`V`是图中的节点数。空间复杂度为`O(n)`。

应用示例

动态规划可以用于解决各种最短路径问题，包括：

*单源最短路径（例如Dijkstra算法）

*多源最短路径（例如Floyd-Warshall算法）

*带权重的最短路径

*有向和无向图的最短路径

优点

动态规划的优点包括：

*适用于复杂权重函数的图。

*对于稀疏图，比其他算法（如Bellman-Ford算法）更有效率。

*易于理解和实现。

局限性

动态规划的局限性包括：

*不适用于具有负权重的图。

*时间和空间复杂度可能会很高，特别是对于大型图。

*无法处理动态变化的图。

结论

动态规划是一种强大的技术，可用于有效地解决最短路径问题。通过空间优化，该算法可以扩展到处理大型图。然而，它并不适用于所有类型的图，并且其复杂度可能会很高。第六部分分治处理区间动态规划问题关键词关键要点分治处理区间动态规划问题

1.将复杂问题分而治之：将区间动态规划问题拆解成多个相互独立的子问题，分步求解。

2.合并子问题的解：通过递归调用分治算法，针对每个子问题进行求解，最后合并子问题的解得到原问题的解。

3.动态规划加速子问题求解：在分治过程中，利用动态规划技术对子问题进行求解，减少重复计算，提升效率。

区间动态规划问题的三要素

1.区间：需要解决问题的连续区间范围。

2.状态：对区间进行描述和记录的信息，如最优值、转移方程等。

3.转移：根据区间端点的状态，计算出该区间的状态，推进问题求解。

分治算法的递归求解

1.基线条件：当区间长度较小时，直接使用动态规划求解。

2.递归分解：将区间划分为左右两个子区间，对每个子区间分别应用分治算法。

3.合并结果：根据子区间的解，计算出原区间的解。

常见的分治处理技巧

1.区间树分治：利用区间树数据结构，快速定位特定区间，提高分治效率。

2.指针分治：利用两个指针扫描区间，实现动态规划的滚动计算。

3.CDQ分治：一种特殊的区间合并技巧，可处理不连续的区间查询和修改操作。

时间复杂度分析

1.动态规划的时间复杂度：与区间长度相关，通常为O(N^2)。

2.递归分治的时间复杂度：由分治的层数和每层的时间复杂度决定，通常为O(NlogN)。

3.分治动态规划的整体时间复杂度：综合考虑动态规划和分治的复杂度，通常为O(N^2logN)或O(Nlog^2N)。

应用场景

1.求区间最值：如最长子序列和、最大连续子数组和。

2.区间合并操作：如合并相交区间，计算区间并查集。

3.区间查询和修改：如离线线段树，区间动态修改和查询。分治处理区间动态规划问题

分治技巧可以有效地解决区间动态规划问题，即需要计算一个区间内最优解的问题。该策略将原始问题分解成较小的子问题，递归求解这些子问题，然后合并子问题的解以获得原始问题的解。

基本思想

分治处理区间动态规划问题的基本思想是：

*将区间划分为较小的子区间。

*对于每个子区间，计算其最优解。

*将子区间的解合并起来，获得原始区间的最优解。

具体步骤

分治处理区间动态规划问题的具体步骤如下：

1.分解区间：将原始区间[l,r]划分为两个相等长度的子区间[l,m]和[m+1,r]。

2.递归求解子区间最优解：对每个子区间[l,m]和[m+1,r]，递归执行分治步骤。

3.合并子区间解：将子区间[l,m]和[m+1,r]的最优解合并成区间[l,r]的最优解。

复杂度分析

分治处理区间动态规划问题的复杂度取决于具体问题和采用的分治策略。一般情况下，时间复杂度为O(nlogn)，其中n是区间的长度。

优化策略

为了提高分治的效率，可以采用以下优化策略：

*记忆化：记录子区间的最优解，避免重复计算。

*优化合并过程：使用快速合并算法或其他优化算法来合并子区间解。

*优化区间划分策略：根据问题的具体情况选择最佳的区间划分策略。

应用场景

分治技巧广泛应用于各种区间动态规划问题，包括：

*区间求和：计算一个区间内元素的和。

*区间最大值/最小值：查找一个区间内元素的最大值或最小值。

*区间最长公共子序列：查找一个区间内两个字符串的最长公共子序列。

*区间线段交叉检测：检测两个区间内的线段是否交叉。

*区间动态规划：解决各种区间范围的动态规划问题。

举例

例1：区间最大值

给定一个长度为n的数组A，求区间[l,r]内的最大值。

分治步骤：

1.如果l==r，则区间[l,r]中只有一个元素，最大值即为该元素。

2.否则，

*将区间[l,r]划分为两个子区间[l,m]和[m+1,r]。

*递归求解子区间[l,m]和[m+1,r]的最大值。

*将两个子区间的最大值取最大值，即为区间[l,r]的最大值。

例2：区间最长公共子序列

给定两个长度为m和n的字符串S和T，求区间[l1,r1]内字符串S和[l2,r2]内字符串T的最长公共子序列。

分治步骤：

1.如果l1>r1或l2>r2，则区间[l1,r1]和[l2,r2]中没有元素，最长公共子序列为空。

2.否则，

*将区间[l1,r1]和[l2,r2]划分为两个子区间[l1,m1]和[m1+1,r1]，以及[l2,m2]和[m2+1,r2]。

*递归求解子区间[l1,m1]和[l2,m2]，以及[m1+1,r1]和[m2+1,r2]的最长公共子序列。

*合并两个子区间的最长公共子序列，即为区间[l1,r1]和[l2,r2]的最长公共子序列。

结论

分治技术是一种有效的方法，可以将复杂的问题分解成较小的子问题，递归求解这些子问题，然后合并子问题的解以获得原始问题的解。它广泛应用于区间动态规划问题，可以有效地降低问题的复杂度。第七部分动态规划优化期望最大化问题动态规划优化期望最大化问题

#概述

在很多场景中，我们面临着在不确定的环境下做出决策，以最大化某个期望值。动态规划（DP）是一种强大的算法范例，可用于求解这些期望最大化问题，特别是在决策步骤较多、状态空间较大的情况下。

#DP求解期望最大化问题

DP解决期望最大化问题遵循以下步骤：

1.定义状态：状态表示当前所处的决策阶段和相关信息。

2.定义转移方程：转移方程描述了从当前状态转移到下一个状态时的期望值变化。

3.初始化：初始化所有状态的期望值为0。

4.递推：从最终状态开始，逐步向回递推，计算每个状态的期望值。

5.选择最优决策：对于每个状态，选择期望值最大的决策。

#CDQ分治优化DP

CDQ分治是一种分治算法，可用于优化DP，特别是在状态空间较大的情况下。其核心思想是将问题分解为子问题，独立求解子问题，然后合并结果。

具体来说，在DP优化期望最大化问题中，CDQ分治可用于：

1.分解问题：将问题分解为较小的问题，每个子问题对应于状态空间的子集。

2.递归求解：对每个子问题递归应用DP求解算法，计算子集内每个状态的期望值。

3.合并结果：合并子问题的解，得到整个状态空间的期望值。

#案例：最大化期望背包

考虑这样一个场景：我们有一个背包，里面可以装不同物品。每种物品都有自己的价值和重量。我们的目标是选择一些物品装入背包，以最大化装入物品的总期望价值。

其中，物品的价值和重量都是随机变量，并且遵循已知的概率分布。

#DP+CDQ求解最大化期望背包

1.状态定义：状态(i,w)表示当前考虑物品i，背包剩余容量为w。

2.转移方程：

-如果不选物品i：E(i,w)=E(i-1,w)

-如果选物品i：E(i,w)=p*(v+E(i-1,w-x))+(1-p)*E(i-1,w)

其中，p是选择物品i的概率，v是物品i的价值，x是物品i的重量。

3.初始化：E(0,w)=0

4.CDQ分治：按背包容量w递增将问题分解为子问题，递归应用DP求解子问题，合并结果得到最终解。

#复杂度分析

DP优化期望最大化问题的复杂度为O(n*S)，其中n是决策步骤数，S是状态空间大小。

CDQ分治的引入将复杂度降低到O(n*S*logS)，这对于大规模问题非常有效。

#优点和局限性

优点：

-有效性：在处理期望最大化问题时，DP+CDQ是一种非常有效的算法。

-适用性：它适用于各种期望最大化问题，包括背包问题、最短路径问题和排序问题。

-可扩展性：算法可以轻松扩展到处理高维状态空间。

局限性：

-状态空间大小：当状态空间非常大时，DP+CDQ的复杂度可能仍然很高。

-概率分布：算法假设概率分布已知。在实际应用中，概率分布可能未知，需要估计。

-数据敏感性：算法的结果对输入数据非常敏感。第八部分分治处理树上动态规划问题分治处理树上动态规划问题

简介

分治处理树上动态规划问题是一种将树形结构问题分解为更小的子问题并在每个子问题上应用动态规划的方法。这种方法利用树形结构的性质，将问题分解为独立的子树，并在子树上应用动态规划，从而实现整体问题的求解。

方法

1.确定子树集合：将原树划分为若干个互不相交的子树，每个子树包含原树的某些节点和边。

2.子树动态规划：在每个子树上应用动态规划算法，求解子树内节点的转移关系。

3.子树合并：将相邻子树的动态规划结果合并起来，得到相邻子树之间节点的转移关系。

4.整体动态规划：利用合并后的子树动态规划结果，在整个树上应用动态规划，求解整体问题的最优解。

举例：

以求解树上节点到根节点的最大距离问题为例，可以使用分治处理树上动态规划问题的方法：

1.将树划分为若干个互不相交的子树，每个子树包含原树的某些节点和边。

2.在每个子树上应用动态规划算法，求解子树内节点到子树根节点的最大距离。

3.将相邻子树的动态规划结果合并起来，得到相邻子树之间节点到根节点的最大距离。

4.利用合并后的子树动态规划结果，在整个树上应用动态规划，求解整体问题的最优解，即树上任意节点到根节点的最大距离。

分析

分治处理树上动态规划问题的优点包括：

*分解问题的复杂性：将树形结构问题分解为独立的子树，简化问题求解。

*利用树形结构的性质：动态规划算法只在子树内部进行，避免重复计算。

*并行性：子树动态规划和子树合并可以同时进行，提升算法效率。

需要注意的是，分治处理树上动态规划问题仅适用于某些特定的树形结构问题，例如树上节点到根节点的最大距离问题。对于更复杂的树形结构问题，可能需要使用其他算法或优化技术。关键词关键要点主题名称：动态规划求解最长公共子序列

关键要点：

1.最长公共子序列问题定义：给定两个字符串S和T，寻找最长的子序列，该子序列在S和T中都出现，且顺序相同。

2.动态规划求解方法：构建一个二维表dp，其中dp[i][j]表示S的前i个字符和T的前j个字符的最长公共子序列长度。

3.动态规划递推式：

-若S[i]=T[j]，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

-否则，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

主题名称：CDQ分治求解最长公共子序列

关键要点：

1.CDQ分治算法原理：将问题递归分解为子问题，解决子问题，合并子问题的结果。

2.CDQ分治求解最长公共子序列：以S序列中某个字符C为分界点，将S和T划分为左右两部分。

3.CDQ分治递归步骤：

-分别对左右两部分递归求解最长公共子序列。

-根据最长公共子序列的定义，将左右两部分的最长公共子序列合并，得到整个S和T的最长公共子序列。关键词关键要点主题名称：动态规划优化期望最大化问题

关键要点：

1.动态规划是一种自底向上、递推求解的过程，可以将一个复杂问题分解成更小的子问题，逐步求解。

2.期望最大化