黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

哈尔滨市第一中学校2023-2024学年度上学期期中考试高三数学试卷出题人：刘文文、郭丹丹审题人：谢宏霞考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷选择题（60分）单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有有一项符合题目要求）1.“”是“”的（

）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3.函数的最大值是（

）A． B．1 C．5 D．4．已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（

）A． B．C． D．6．我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（

）（参考数据：）A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年7．函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

8．函数的所有零点的乘积为，则（

）A． B．C． D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分,共20分，在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分）9．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．是图象的一个对称中心C．当时，取得最大值D．函数在区间上单调递增10．在中，角所对的边为，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则11．已知为坐标原点，点，，，，则（

）A．B．C．D．12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（

）A．B．C． D．第Ⅱ卷非选择题（90分）三、填空题:（本题共4小题，每小题5分,共20分）13．若是奇函数，则.14．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为15．已知，满足，则的最大值为．16．已知平面向量满足，则以为直径长的圆的面积的最大值为.四、解答题:（本题共6小题，第17题，10分，第18-22题，每小题12分,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18．已知向量,,实数为大于零的常数，函数,,且函数的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,,求的值.19．中，内角、、的对边分别为、、，．(1)若，．求证：；(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．20．已知函数在处的切线与y轴垂直.（其中是自然对数的底数）(1)求实数的值；(2)设，，当时，求证：函数在的图象恒在函数的图象的上方.21．从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.22．已知函数，，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求的取值范围.参考答案：1．A【分析】可采用假设法证明，若能找出一个反例，则证明推导过程不成立【详解】由可得，当“”时，即，一定能推出“”，所以“”是“”的充分条件反过来，若，比如推不出，所以“”是“”的充分不必要条件答案选AC【分析】根据指数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由，可得，解得，所以，又由，可得，解得，所以，所以.故选：C.3．D【分析】将函数等价变换为，再利用基本不等式求解即可.【详解】解：，，则（当且仅当，即时，取等号），即当时，取得最大值.故选：D.4．B【分析】根据投影向量的公式可求投影向量.【详解】由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:.故选:B.5．C【分析】根据函数奇偶性和单调性，结合已知条件，即可容易求得结果.【详解】为奇，内为增，，则时为和异号，当时，解得；当时，解得解集为，故选：C.6．C【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】由题意可知，两边取对数得，故选：C7．C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设，对任意，，所以，所以的定义域为，，所以函数为奇函数.令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，排除BD选项，当时，是减函数，则，，所以，排除A选项.故选：C8．C【分析】将函数零点问题转化为两函数图象的交点问题.【详解】由可得，设函数的图象交点的横坐标为，画出两函数图象如图，则，因为函数在上递减，所以且，即，所以，即，故选：C.

9．BD【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则，A错；对于B选项，，则是图象的一个对称中心，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，D对.故选：BD.10．BCD【分析】根据余弦定理可判断A；根据正弦定理可判断B、C；根据三角形中大角对大边可判断D.【详解】对于A，在中，有成立，A错误；对于B，由正弦定理知，(R为外接圆半径)，故，B正确；对于C，在中，，由正弦定理得，故，C正确；对于D，根据三角形中大角对大边可知若，则，D正确，故选：BCD11．AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC12．BCD【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选：BCD.13．【分析】利用给定的分段函数，结合奇函数的定义求解作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：14．【分析】不等式的解集为可以确定的正负以及的关系，从而可得的解.【详解】不等式的解集为，故且，故可化为即，它的解为，填.15．【分析】根据两角和的正切公式得将其看成关于的一元二次方程，根据判别式即可求解.【详解】，又，∴方程①有两正根，．的最大值是．故答案为：16．【分析】作出相关向量后用解三角形的知识求解.【详解】因为，所以，又因为，所以与的夹角大小为，如图，作，连接，则，所以，又，所以四点共圆，故当为圆的直径时，最大.此时，在Rt中，.在中，，所以，即，所以，整理得，所以.所以，即的最大值为.所以以为直径的圆的面积的最大值为.

故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意列出方程求得，即可求得等差数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合等差、等比数列的前和公式，即可求解.（1）解：设等差数列公差为，因为，且成等比数列，可得，解得或（舍去），所以数列的通项公式为.（2）解：由，可得，根据等差、等比数列的前和公式，可得：.18．（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到，再利用二倍角公式及配角公式将化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理求出的值，最后利用平面向量的数量积进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知5分因为，所以的最大值为，则6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以化简得因为，所以则，解得8分所以化简得，则10分所以12分考点：1.平面向量的数量积运算；2.三角函数恒等变形；3.余弦定理.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可证得结论成立；（2）由三角形的面积公式可求得的值，分析可知，利用平面向量的数量积运算可得出，利用基本不等式可求得长的最小值.【详解】（1）证明：，，，由余弦定理可得，．.（2）解：由可得．为边的中点，则，，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故长的最小值为.20．(1)(2)见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合题意，建立方程，可得答案；（2）将问题转化为不等式恒成立问题，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.【详解】（1）由，求导可得，则在处切线斜率为，由在处的切线与轴垂直，则，解得.（2）要证：函数在的图象恒在函数的图象的上方，只需证：在恒成立，不等式，由，，则，化简为，令，求导可得，令，则，令，解得，最小值，由，则，所以在单调递增，则，故在恒成立.21．(1)(2)【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到，由角的范围可求得；若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得，由角的范围可求得；（2）由，平方后可用表示出，结合基本不等式可求得最大值.【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若选条件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（当且仅当时取等号），的最大值为.22．(1)函数在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）由题意得，令，则，分类讨论，，