采样控制系统的稳定性分析

采样控制系统的稳定性分析s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为

z=esT，式中T为采样周期s域中的任意点可表示为，映射到z域则为于是，s域到z域的基本映射关系式为第2页,共23页，2024年2月25日，星期天

若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时s＝jω，对应的复变量。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω而改变。

可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。

当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数，小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数，大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。第3页,共23页，2024年2月25日，星期天图8-21：线性采样系统结构图线性采样系统稳定的充要条件第4页,共23页，2024年2月25日，星期天线性采样系统如图8-21所示。其特征方程为

显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。第5页,共23页，2024年2月25日，星期天

应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样，用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。第6页,共23页，2024年2月25日，星期天8.6.2劳斯稳定判据

对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。第7页,共23页，2024年2月25日，星期天根据复变函数双线性变换公式，令或式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即第8页,共23页，2024年2月25日，星期天

当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：

左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。

第9页,共23页，2024年2月25日，星期天图8-22：Z平面和W平面的对应关系

离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半W平面。第10页,共23页，2024年2月25日，星期天例8-16

设闭环离散系统如图8-23所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。图8-23：例8-16闭环系统图第11页,共23页，2024年2月25日，星期天解：求出G(s)的z变换闭环系统脉冲传递函数为故闭环系统特征方程为代入上式，得第12页,共23页，2024年2月25日，星期天化简后，得W域特征方程第13页,共23页，2024年2月25日，星期天列出劳斯表

从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。第14页,共23页，2024年2月25日，星期天8.6.3朱利稳定判据

朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定性。设离散系统的闭环特征方程可写为D(z)=anzn+…+a2z2+a1z+a0=0an>0

特征方程的系数，按照下述方法构造(2n－3)行、(n+1)列朱利阵列，见表8-2：第15页,共23页，2024年2月25日，星期天表8-2朱利阵列第16页,共23页，2024年2月25日，星期天

在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k+1行各元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如下：k=0,1,…,n－1k=0,1,…,n－2k=0,1,…,n－3……………第17页,共23页，2024年2月25日，星期天朱利稳定判据特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面上单位圆内的充分必要条件是D(1)>0，D(－1)>0，当n为偶数时；D(－1)<0，当n为奇数时；以及下列(n－1)个约束条件成立|a0|<an，|b0|>|bn－1|，|c0|>|cn－2||d0|>|dn－3|，······，|q0|>|q2|

只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳定的，否则系统不稳定。第18页,共23页，2024年2月25日，星期天例8-17：已知离散系统闭环特征方程为试用朱利判据判断系统的稳定性。解由于n=4,2n－3=5,故朱利阵列有5行5列。根据给定的D(z)知：a0=0.002,a1=0.08,a2=0.4,a3=－1.368,a4=1第19页,共23页，2024年2月25日，星期天计算朱利阵列中的元素bk和ck：第20页,共23页，2024年2月25日，星期天作出如下朱利阵列：第21页,共23页，2024年2月25日，星期天因为D(1)=0.114>0,D(－1)=2.69>0|a0|=0.002,a4=1,满足|a0|<a4|b0|=1,|b3|=0.082,满足|b0|>|b3||c0|=0.993,|c2|=0.511,满足|c0|>|c2|故由朱利稳定判据知，该离散系统是稳定的。第22页,共23页，2024年2月25日，星期天8.6.4采样周期与开环增益对稳定性的影响例8-18

设有零阶保持器的离散系统如图8-24所示，试求：（1）当采样周期