湖南省娄底市华山中学高三数学文联考试题含解析

湖南省娄底市华山中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B．27π C．27π D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体表面积的应用问题，根据已知三视图，判断几何体的形状是解题的关键．2.已知集合M={x|x2﹣3x﹣4≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（） A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3） C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[1，﹣3）参考答案：A【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合． 【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可． 【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≥0， 解得：x≤﹣1或x≥4，即M=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）， ∵N=[﹣3，3）， ∴M∩N=[﹣3，﹣1]， 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3.设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即，．4.已知函数，则关于的方程（）的根的个数不可能为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数与方程的综合运用．B9A

解析：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，，5个根，，6个根．故选A．【思路点拨】先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．5.已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为(

) A． B．4π C． D．参考答案：C考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．专题：球．分析：设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．解答： 解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故选：C．点评：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．6.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为=（） A． B． 2 C． D． 1参考答案：A略7.已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（

）A．16+12π

B．32+12πC．24+12π

D．32+20π

参考答案：A由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为：，故选A．8.已知函数有两个零点，则有A.

B.

C.

D.

参考答案：D9.设α∈（0，），β∈（，π），若=，则下列结论一定正确的是（） A．sinα=sinβ B． sinα=﹣cosβ C． sinα=cosβ D． sin2α=sin2β参考答案：A略10.已知集合，，则A∩B等于（

）A． B．C． D．参考答案：D∵集合∴∵集合∴故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量满足约束条件，且的最小值为4，则

参考答案：112.在等差数列中,,,则该数列前20项的和为____.参考答案：30013.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则=

．参考答案：根据余弦定理可得，所以。14.＝________.

参考答案：略15.已知函数f（x）=ln（，若实数a，b满足f（a﹣1）+f（b）=0，则a+b等于

．参考答案：1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．【分析】根据题意，分析有f（﹣x）=﹣f（x）成立，则可得f（x）为奇函数，观察可知f（x）为增函数，所以f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），即a﹣1=﹣b成立，对其变形可得答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=ln（﹣x）=ln=﹣ln（）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，观察知函数f（x）单调递增，所以f（a﹣1）+f（b）=0，可化为f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），有a﹣1=﹣b，所以a+b=1．故答案为：1．16.1一个正方体的全面积为，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为______________：参考答案：略17.在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为．（结果用数值表示）参考答案：0.7【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数为n==10，剩下两个数字至少有一个是偶数的对立事件是剩下两个数字都是奇数，由此利用对立事件概率计算公式能求出剩下两个数字至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在五个数字1，2，3，4，5中，随机取出三个数字，基本事件总数为n==10，剩下两个数字至少有一个是偶数的对立事件是剩下两个数字都是奇数，∴剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为：p=1﹣=0.7．故答案为：0.7．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为、、、、、、，由此得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；（2）从使用手机时间在、、、的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？参考答案：（1）由于小矩形的面积之和为1，则，由此可得．该地区高中生一周使用手机时间的平均值为．（2）使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有人，使用手机时间在的学生有人，故用分层抽样法从使用手机时间在，，，的四组学生中抽样，抽取人数分别为，，，．19.在平面直角坐标系xOy中，点A(4,4)在抛物线上.（1）求C的方程和C的焦点的坐标；（2）设点B为准线与x轴的交点，直线l过点B，且与直线OA垂直，求证：l与C相切.参考答案：（1）焦点的坐标（2）见解析试题分析：（1）利用点在抛物线上解得，进而求得的方程和的焦点的坐标；（2）根据题意明确的方程，联立方程利用判别式判断二者的位置关系.试题解析：（1）因为点在抛物线上，所以，解得.所以抛物线的方程为，焦点的坐标（2）准线：与轴的交点，直线的斜率，所以直线的方程：，即，由方程组，可得，因为，所以与相切.20.本小题满分14分)已知函数,，其中R．（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，且，

………1分

①当时，，在上单调递增；

………2分

②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增．

………3分

（Ⅱ），的定义域为，

因为在其定义域内为增函数，所以，………5分而，当且仅当时取等号，所以

………7分

（Ⅲ）当时，，由得或，当时，；当时，．所以在上，

………8分

而在上的最大值为有……12分

所以实数的取值范围是

…………14分略21.（13分）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；

（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.参考答案：解析：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

即

解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.

（4分）（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，

（6分）fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4

（8分）

（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根

（10分）设g(x-0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0-=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=的极值点为x0=0，x0=1

（11分）∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3－2.故所求的实数a的取值范围是－3－2.

（13分）22.已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.参考答案：当时，，，

1—0+

极小

所以在处取得极小值1.（Ⅱ），

①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增