北京桃洼中学高三数学理知识点试题含解析

北京桃洼中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）

参考答案：D2.已知平面向量，且，则(A)

(B)

(C) (D)参考答案：答案：C3.已知非零实数满足，则下列不等式成立的是(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：D略4.要得到函数的图象，只需将函数的图象

（

）

A．向左平移个单位

B．向右平移个单位

C．向右平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：D略5.“cos2α=﹣”是“cosα=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D略6.已知球的表面积为，球心在大小为的二面角的内部，且平面与球相切与点，平面截球所得的小圆的半径为，若点为圆上任意一点，记两点在该球面上的球面距离为，则下列结论正确的是（A）当取得最小值时，与所成角为（B）当取得最小值时，点到平面的距离为（C）的最大值为（D）的最大值为参考答案：D球半径,小圆的半径为，,,当取得最小值时,,与所成角为,故A错；点到平面的距离为2，故B错当取得最大值时,,的最大值为,故选D.7.若的（

）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B略8.等比数列中，，则的前4项和为（

）A．81

B.120

C．168

D．192参考答案：B9.设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c参考答案：D【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】a=log54∈（0，1），b=＞1，c==＜log53＜log54，即可得出．【解答】解：∵a=log54∈（0，1），b=＞1，c==＜log53＜log54，∴b＞a＞c．故选：D．10.过点且平行于直线的直线方程为（

）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是双曲线的两个焦点，是曲线上一点，若，的最小内角为，则曲线的离心率为

．参考答案：12.圆（θ为参数）上的点P到直线（t为参数）的距离最小值是______．参考答案：【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为．故答案为：．13.在的展开式中，的系数是

（用数字作答）．参考答案：14.

有以下几个命题：①由的图象向右平移个单位长度可以得到的图象；②若，则使取得最大值和最小值的最优解都有无数多个；③若为一平面内两非零向量，则是的充要条件；④过空间上任意一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行。⑤若椭圆的左、右焦点分别为，是该椭圆上的任意一点，则点关于的外角平分线的对称点的轨迹是圆。其中真命题的序号为

.（写出所有真命题的序号）

参考答案：答案：②③⑤15.若点在函数的图像上，则的值为

。参考答案：16.关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；

④f（x）即是奇函数，又是周期函数．参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据中心对称的定义，验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；②根据轴对称的条件，验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；③可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；④利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=对称，故②正确；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=g（t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上递增，在[﹣1，]和[]上递减，又g（﹣1）=0，g（）=，故函数的最大值为，∴③错误；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数，∴④正确．综上知，说法中正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查与函数有关的性质的判断，要求熟练掌握中心对称，轴对称性成立的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强．17.已知函数若有则的取值范围为____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝.(Ⅰ)求cosB的值；（II）若·＝2，b＝2，求a和c的值．参考答案：解：(1)∵cos＝，∴sin＝sin(－)＝，

2分∴cosB＝1－2sin2＝..........................................5分(2)由·＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，........6分由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，............................8分∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝.

10分19.如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1、圆O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）设BP=x，PE=y，根据相交弦定理得PA?PC=BP?PE，求出xy=12，再根据AD∥EC得=，求出x，y，即可求出PE的长．解答： （1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（2）解：设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12①，∵AD∥EC，∴，∴=②，由①②可得x=3，y=4（负数舍去）．点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．20.(本小题满分分)如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.（1）证明:;（2）证明:平面;

（3）求二面角的正弦值.参考答案：解:证明(1)证法一:由题设知,,又

平面,平面,

平面,平面

.

…………1分又四边形为正方形,为的中点,

…………2分,平面,平面平面

…………3分又平面

…………4分.

…………5分证法二:(向量法)以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.…………1分于是,…………2分

…………3分

…………4分.

…………5分(2)证法一:连接

…………6分由题意知,点分别为和的中点,.

…………7分又平面,平面,

…………8分平面.

…………9分证法二:取中点,连,而

分别为与的中点,

平面,平面

平面,

同理可证平面

…………6分又

平面平面.

…………7分平面，

…………8分平面.

…………9分

证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,平面向量是平面的一个法向量

…………6分

…………7分又平面

…………8分平面

…

ks5u……9分(3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,

…………10分由(1)知是平面的一个法向量,.

…………11分设平面的法向量为,

…………12分设向量和向量的夹角为,则

…………13分二面角的的正弦值为

…………14分解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,,都在同一平面上.易证,,平面,平面,,又平面.取中点,连,分别是的中点,平面,

…………10分且为垂足,即平面,过点作于,过作交于,连,则即是所求二面角的补角.

…………11分在中,,,在中，又在中，

…………12分=

…………13分所求二面角的正弦值为

…14分21.已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，（1）求点P坐标；（2）求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出椭圆的两焦点坐标，设P（x，y），（x＞0，y＞0），由数量积坐标公式和点在椭圆上，列出方程，解出，即可得到P的坐标；（2）设出直线PA，PB的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理，即可解得A，B的横坐标，再由直线方程，得到纵坐标，再由斜率公式，即可得证；（3）设出直线AB的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由面积公式，运用基本不等式，即可得到最大值．【解答】（1）解：F1，F2是椭圆=1的两焦点，则c==，即有F1（0，），F2（0，﹣），设P（x，y），（x＞0，y＞0），则由=1，得x2+y2=3，又=1，解得，x=1，y=．则有点P的坐标为；（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为，由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，则直线PA：y﹣=﹣k（x﹣1）．由，消去y，得，设A（xA，yA），B（xB，yB），由韦达定理，得1+xB=，即有