浙江省温州市苍南巨人中学高三数学理测试题含解析

浙江省温州市苍南巨人中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是

（

）

①

②

③

④A．①、②

B．①、③

C．②、③

D．②、④

参考答案：B在①中平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行，所以平面；在③中设过点且垂直于上底面的棱与上底面交点为，则由，可知平面平行平面，即平面．2.设、是非零向量，的图象是一条直线，则必有（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知集合，，且都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.“”是”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B若，则有。若，则有。所以“”是”的必要不充分条件，选B.5.在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C7.下列命题中真命题是A．命题“存在”的否定是：“不存在”.B．线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.C．存在，使.D．函数的零点在区间内.参考答案：D略8.若集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：9.函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数

的取值范围是

A.

B.

C.

D.

参考答案：D10.已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出当x＞0时，切线斜率，再利用函数f（x）是偶函数，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

.参考答案：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是.

12.已知当﹣1≤a≤1时，x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则实数x的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，1）∪（3，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，构造函数g（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4，利用一次函数的单调性质，由，即，即可求出a的取值范围．【解答】解：令g（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4，∵当﹣1≤a≤1时，x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，∴，即，解得：x＞3，或x＜1．∴实数x的取值范围是：（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【点评】本题考查了函数恒成立问题，构造函数g（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4是关键，突出考查等价转化思想与函数方程思想的综合运用，是易错题，难度中档．13.当x≠1且x≠0时，数列{nxn﹣1}的前n项和Sn=1+2x+3x2+…nxn﹣1（n∈N*）可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x+x2+x3+…+xn（n∈N*）按等比数列的求和公式，先求得x+x2+x3+…+xn=，两边都是关于x的函数，两边同时求导，（x+x2+x3+…+xn）′=（）′，从而得到：Sn=1+2x+3x2+…+nxn﹣1=，按照同样的方法，请从二项展开式（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn出发，可以求得，Sn=1×2×C+2×3×C+3×4×C+…+n×（n+1）×C（n≥4）的和为（请填写最简结果）参考答案：n（n+3）2n﹣2【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据类比推理的思想，由二项式的展开式的两边同乘以x，再分别求两次导，再令x=1时，即可求出答案．【解答】解：∵（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn，∴x（1+x）n=x+x2+Cx3+…+Cxn+1，两边求导可得（1+x）n+nx（1+x）n﹣1=1+2x+3Cx2+4Cn3x3+…+（n+1）Cxn，两边继续求导可得n（1+x）n﹣1+n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2=1×2+2×3Cx+3×4Cn3x2+…+n（n+1）Cxn﹣1，令x=1，可得n?2n﹣1+n?2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2=1×2+2×3C+3×4Cn3+…+n（n+1）C=Sn，∴Sn=n（n+3）2n﹣2．故答案为：n（n+3）2n﹣2．【点评】本题考查了类比推理的问题，掌握求导的法则，关键是两边同乘以x，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题14.若等比数列满足，，则的前n项和________.参考答案：略15.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是________.参考答案：试题分析：由三视图可知点在面内的投影在的外边，其中，点到底面的距离为，，，，则该三棱锥最长棱的长是，故答案为.考点：三视图还原几何体.【方法点睛】本题主要考查了三视图还原几何体，求几何体中棱长的长度，在高考中属于高频考点，该题在三视图类型的题目中难度中档；首先根据俯视图以及结合该几何体为三棱锥可得，底面为等腰直角三角形，上定点在底面的投影在外，且和正好构成正方形，易得底面三条棱的长度，均和正方形的边长以及三棱锥的高构成直角三角形，和正方形的对角线以及三棱锥的高构成构成直角三角形.16.函数f（x）=lnx﹣x+2的零点个数为2．参考答案：考点：函数的图象与图象变化；函数的零点．专题：数形结合．分析：要求函数的零点，只要使得函数等于0，移项变成等号两个边分别是两个基本初等函数，在同一个坐标系中画出函数的图象，看出交点的个数．解答：解：∵f（x）=lnx﹣x+2=0∴x﹣2=lnx令y1=lnx，y2=x﹣2根据这两个函数的图象在同一个坐标系中的位置关系知，两个图象有两个公共点，∴原函数的零点的个数是2故答案为：2．点评：本题考查函数的零点，解题的关键是把一个函数变化为两个基本初等函数，利用数形结合的方法得到结果，属基础题．17.曲线在点(1,1)处的切线方程为________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等比数列的前n项和为成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）证明：对任意成等差数列.参考答案：略19.（本小题满分13分）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）求的值（Ⅱ）求在区间上的最小值.参考答案：解：（I）因为所以在函数的图象上又，所以所以

………………3分（Ⅱ）因为，其定义域为

………………5分当时，，所以在上单调递增所以在上最小值为

………………7分当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为

………………9分当时，即时,对成立，所以在上单调递减，其最小值为

………………11分

当,即时,对成立,对成立

所以在单调递减,在上单调递增

其最小值为………13分综上，当时，

在上的最小值为

当时，在上的最小值为

当时,

在上的最小值为.20.(本题满分l4分)已知函数，其中N*，aR，e是自然对数的底数．(1)求函数的零点；(2)若对任意N*，均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；(3)已知k，mN*，k<m，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性．参考答案：（1），设,①当时，函数有一个零点：

……………1分②当时，函数有两个零点：………2分③当时，函数有两个零点：…………3分④当时，函数有三个零点：

…………………4分（2）……5分设，的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意有两个不等实数根，且则对任意,即,

…………7分又任意关于递增,,故所以的取值范围是

………………9分（3）由(2)知,存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数,

…10分从而即…11分

所以由知

…………………13分

即对任意故函数在上是减函数.

……14分21.如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF·EC.（Ⅰ）求证：CE·EB=EF·EP；（Ⅱ）若CE:BE=3:2，DE=3，EF=2，求PA的长.参考答案：略22.（本题满分14分）已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，（1）求角A的值；（2）求函数在区间的值域。参考答案：解