解线性方程组的迭代法(2)省公开课一等奖全国示范课微课金奖

第五章解线性方程组迭代法线性方程组虽有直接解法，但对大型组，对时间和空间要求严格。1《数值分析》主讲教师第1页第五章解线性方程组迭代法

§5.1迭代法及其收敛性

§5.2向量和矩阵范数

§5.3迭代过程收敛性2《数值分析》主讲教师第2页§5.2向量和矩阵范数向量范数(vectornorms)3《数值分析》主讲教师第3页4《数值分析》主讲教师第4页范数等价性：5《数值分析》主讲教师第5页向量序列极限（依分量收敛）（依范数收敛）6《数值分析》主讲教师第6页矩阵范数、谱半径7《数值分析》主讲教师第7页8《数值分析》主讲教师第8页证实:由范数等价性,仅就某一隶属范数证实即可.9《数值分析》主讲教师第9页命题3对任意隶属范数有：见《数值计算原理》，李庆扬，关治P19310《数值分析》主讲教师第10页§5.1迭代法结构及收敛11《数值分析》主讲教师第11页12《数值分析》主讲教师第12页§5.1.1迭代法收敛性13《数值分析》主讲教师第13页14《数值分析》主讲教师第14页15《数值分析》主讲教师第15页16《数值分析》主讲教师第16页17《数值分析》主讲教师第17页18《数值分析》主讲教师第18页§5.1.2迭代法收敛速度19《数值分析》主讲教师第19页该定义依赖于范数选取和迭代次数，为刻画方法本身速度，引入仅与迭代阵相关量：20《数值分析》主讲教师第20页21《数值分析》主讲教师第21页§5.3Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法§5.3.1Jacobi迭代法§5.3.2Gauss-Seidel迭代法§5.3.3J法与GS法收敛性22《数值分析》主讲教师第22页§5.3.1Jacobi迭代法设有方程组作等价变形，得不动点形式：23《数值分析》主讲教师第23页§5.3.1Jacobi迭代法24《数值分析》主讲教师第24页§5.3.1Jacobi迭代法可结构迭代公式：25《数值分析》主讲教师第25页§5.3.1Jacobi迭代法26《数值分析》主讲教师第26页§5.3.1Jacobi迭代法定理Jacobi迭代法收敛充分必要条件是

27《数值分析》主讲教师第27页§5.3.1Jacobi迭代法28《数值分析》主讲教师第28页§5.3.2Gauss-Seidel迭代法29《数值分析》主讲教师第29页§5.3.2Gauss-Seidel迭代法30《数值分析》主讲教师第30页注1：当然可有其它迭代法如:注2：在收敛情况下，普通说来，Gs法收敛性能较J法好，然而情况并不总是如此，存在方程组按J法收敛，而按Gs法不然，所以两种方法均很主要，如组：31《数值分析》主讲教师第31页§5.3.3J法与GS法收敛性讨论方程组J法及GS法收敛性，除用收敛基本定理外，还可直接由给定系数矩阵A来判断收敛性（代数判据），为此先给出定义：32《数值分析》主讲教师第32页§5.3.3J法与GS法收敛性A可约代数意义是经过行列对应调换化为解耦方程组。33《数值分析》主讲教师第33页§5.3.3J法与GS法收敛性说明：此定理实际含有四个命题。34《数值分析》主讲教师第34页证实①（严格对角占优时J法收敛性）：35《数值分析》主讲教师第35页证实②（严格对角占优时GS法收敛性）：36《数值分析》主讲教师第36页③（不可约弱对角占优时J法收敛性）37《数值分析》主讲教师第37页④（不可约弱对角占优时GS法收敛性）38《数值分析》主讲教师第38页§5.3.3J法与GS法收敛性39《数值分析》主讲教师第39页§5.4逐次超松弛迭代法§5.4.1SOR迭代公式§5.4.2SOR迭代法收敛性40《数值分析》主讲教师第40页§5.4.1SOR迭代公式逐次超松弛(SuccessiveOverRelaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提升收敛速度，采取加权平均而得到新算法。41《数值分析》主讲教师第41页§5.4.1SOR迭代公式42《数值分析》主讲教师第42页§5.4.1SOR迭代公式43《数值分析》主讲教师第43页44《数值分析》主讲教师第44页45《数值分析》主讲教师第45页46《数值分析》主讲教师第46页§5.4.2SOR迭代法收敛性47《数值分析》主讲教师第47页必要条件（逆否定理）48《数值分析》主讲教师第48页§5.4.2SOR迭代法收敛性分析：即讨