拉格朗日方程与哈密顿方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖

拉格朗日方程与哈密顿方程《理论物理》1第1页前言墨翟亚里士多德伽利略开普勒笛卡儿牛顿拉格朗日泊松哈密顿公元前近代力学

当代力学

阿基米德2第2页墨子在先秦时期创建了以几何学、物理学、光学为突出成就一整套科学理论。墨子关于物理学研究包括到力学、光学、声学等分支，给出了不少物理学概念定义，并有不少重大发觉，总结出了一些主要物理学定理。亚里士多德一生勤奋治学，从事学术研究包括到逻辑学、修辞学、物理学、生物学、教育学、心理学、政治学、经济学、美学等，写下了大量著作，他著作是古代百科全书，他思想对人类产生了深远影响。他创建了形式逻辑学，丰富和发展了哲学各个分支学科，对科学等作出了巨大贡献。3第3页阿基米德:古希腊哲学家、数学家、物理学家。出生于西西里岛叙拉古。阿基米德到过亚历山大里亚，听说他住在亚历山大里亚时期创造了阿基米德式螺旋抽水机。以后阿基米德成为兼数学家与力学家伟大学者，而且享受“力学之父”美称。浮力原理和杠杆原理4第4页

牛顿力学理论几乎都以力为基础，所以它应用只局限于纯力学问题范围，运算也比较烦琐。18世纪,拉格朗日和哈密顿,伯努利、达朗贝尔、欧拉等人发展了经典力学分析形式，采取了能够使用于各种运动形式“能量”和“功”这两个标量函数，用它们取代“力”和“动量”这些几何矢量，建立了分析力学体系。它有两个代表人物：拉格朗日和哈密顿。他们分别依据牛顿运动定律写出了以他们名字命名拉格朗日方程和哈密顿方程。牛顿力学地位仍不可取代.前言5第5页拉格朗日哈密顿

这两个方程都是经典力学一个形式，用体系动能和势能取代牛顿力学中加速度和力，对系统进行整体研究。前言6第6页1.1自由度约束与广义坐标为了确定一个质点在空间位置，常需要三个坐标x、y、z。假如质点是完全自由，即x、y、z彼此独立，则称该质点有3个自由度。假如质点被限制在xy平面上运动，此时有z=0，它就是限制质点自由运动条件，称为“约束”。z=0称为约束方程。此时，这个质点只剩下两个坐标能够任意取值，则称该质点有2个自由度。

把质点运动平面扩展到空间中任意平面，改制点平面运动方程Ax+By+Cz+D=0（该方程称为约束方程），独立地确定x、y，就能够确定z，则称该质点有2个自由度。7第7页依这类推，假如限制质点只在一条直线上运动，则约束方程为两个，可供独立选择坐标变量是一个，则称质点有1个自由度。假设有N个质点组成一个系统。①系统质点自由运动时，自由度数为3N；②若有k个约束方程，则自由度数为3N-k。在这里就给出了自由度概念：为单值地确定一个系统位置所必需给定独立变量数目，叫作这个系统自由度数。1.1自由度约束与广义坐标8第8页广义坐标、广义速度假设一个系统有s个自由度，那么确定该系统位置，需要用到s个变量，把这s个变量用q1、q2、q3、……、qs来表示，称为该系统s个广义坐标。广义坐标对时间t微商，dq/dt，记为，称为广义速度。1.1自由度约束与广义坐标9第9页1.2拉格朗日方程拉格朗日函数：它是由系统动能和势能定义函数。

L=T-U把牛顿运动方程写成关于动能和势能形式。N个质点牛顿运动方程写为：质点系动能表示为：10第10页1.2拉格朗日方程牛顿运动方程可写为这么形式：*保守力系中，势能与力关系：势能梯度负值为力，势能下降最快方向为力方向。得到：11第11页1.2拉格朗日方程引入拉格朗日函数：L=T-U与速度无关与坐标无关12第12页用广义坐标表示拉格朗日方程：1.2拉格朗日方程(j=1,2,…,s)拉氏方程特点:是一个二阶微分方程组，方程个数与体系自由度相同。形式简练、结构紧凑。而且不论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。方程中不出现约束条件，因而在建立体系方程时，只需分析已知主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。13第13页解题指导拉格朗日方程是处理力学体系尤其是约束体系动力学问题主要理论和有效工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系动力学方程。（1）用拉氏方程解题步骤

•分析体系约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程条件；

•判定体系自由度，选取适当广义坐标；

•

写出体系动能T，势能V和拉氏函数L，并将L表成和t函数：；

•将L代入拉氏方程，得出体系运动微分方程；

•解方程并讨论。1.2拉格朗日方程14第14页

哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体系运动，导出了三种不一样形式方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比喻程，称为经典力学哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价。广义动量：1.3哈密顿函数及其物理意义15第15页1.3哈密顿函数及其物理意义对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密顿函数:

哈密顿方程：哈密顿方程是哈密顿函数微分形式.拉格朗日函数是和t函数。哈密顿函数是p、q、t函数。16第16页对于一个保守系，而且L不显含t时，哈密顿函数物理意义：经过化简:H=U+T=E(总能量)哈密顿函数恰好为系统势能和动能总和，即为系统总能量。1.3哈密顿函数及其物理意义17第17页经过变分，能够把微分方程变为最理想最简单形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用这个方程提供了一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程建立和广义相对论都提供了桥梁。人们发觉，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，完全适合用于其它形式物质运动，如电动力学、统计物