满意度数学建模省公开课一等奖全国示范课微课金奖

满意度数学建模

青岛理工大学理学院胡京爽第1页

满意度数学建模

以满意度为目标优化决议或评价模型,称之为满意度数学模型.经过引入表现满意度特征数量指标,建立对应决议数学模型,给出符合满意度要求处理问题方案,称之为满意度数学建模.第2页

满意度数量指标

从决议方案包括到对象体系、系统、过程中提炼出来，能够与人们主观上是否满意相一致数量指标体系，称之为满意度指标，用S表示，它是决议方案函数.这种指标是由两个方面决定：一是决议方案本身固有、能够反应其突出特征数值，是由方案本身包括到对象、过程、原因、属性等组成泛函；第3页

二是由人们主观上对于对应方案喜好、审美、心理原因、能够接收极限以及中立标准等反应出来特征、规律决定体系。这里关键是个人或者某个群体对于某种状态、特征、表现、行为、规模、机会等接收标准、喜好尺度判定。两方面结合，形成了对应满意度数量指标。第4页

满意度指标体系往往由多个指标所组成,因为一个系统或过程本身包括到多方面特征,而主观上人们又可能关心多个方面属性\特点,并依据综合指标进行最终判断。对于形成多个满意度指标，需要将它们合成一个总指标。而这种综合方法最惯用就是层次分析法，利用层次分析建立不一样指标在总满意度目指标下权重大小，然后再利用这些权重进行线性加权，组成总满意度指标。

第5页

在形成指标体系时，有时还要对人群进行不一样分类，因为在形成份指标时，不一样人群满意度标准不一样，所以经常要进行一些因子调整。满意度定义方式能够各种多样，经惯用函数形式来表示针对考查对象某个方面满意度,函数形式能够是各种多样,有时能够是分段函数.

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满意度指标组成方法

1、比值法2、心理曲线法3、满意度函数法4、等级量化法第7页指数函数

双指数函数指数加线性函数幂函数

对数函数

满意度函数惯用形式第8页

满意度数学模型方法1、数学规划法2、多目标优化法

第9页公交车调度模型

公共交通是城市交通主要组成部分，做好公交车调度对于完善城市交通环境、改进市民出行情况、提升公交企业经济和社会效益，都含有主要意义。下面考虑一条公交线路上公交车调度问题，其数据来自于我国一个特大城市，某条公交线路上客流调查和运行资料。CUMCMB第10页

该条公交线路共上行共14站，下行方向共13站，下面给出是一个经典工作日中两个运行方向各个站上下车乘客数量统计。公交企业配给该线路同一型号大客车，每辆标准载客是100人，客车平均运行速度是20公里/小时。依据运行要求，乘客候车时间普通不要超出10分钟，早高峰时普通不要超出5分钟，而车辆满载率120%，普通也不要低于50%第11页

试依据这些资料和要求，为该线路设计一个便于全天操作公交车调度方案，包含两个起点站发车时刻表；一共需要多少车；这个方案以怎样程度照料到了乘客和公交企业利益．

第12页怎样将这个调度问题抽象成一个明确、完整数学模型，指出求解模型方法；依据实际问题要求，假如设计成一个更加好调度方案，应怎样采取运行数据。

相关数据第13页问题分析：

问题目标是确定公交车调度方案，给出公交车全天运行时刻发车表，并确定需要车数，分析乘客和公交企业满意程度．实际上就是要确定出使得乘客和公交企业都满意最正确方案．依据题目标意义可知，公交车调度方案就是驶发车站每一次车发车时刻表，只要发车时刻定下来以后，每一辆车运行情况就会完全确定下来．

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我们关心是：乘客和公交企业满意度，就是等候超出正常等候时间情况，等候时间越短满意度越大，或者用超时等候人数来表现满意度；而对于公交企业来说，关心主要是车满载率，他们满意程度可用公交车载客率来表示，实际上载客率越高，所用车数越少，公交企业越满意．第15页

所以，处理问题关键在于当发车时刻表确定以后，依据已知各种条件，确定出每一辆车运行过程中，在每一个站上，乘客等车时间；在每个运行区间上汽车上座率，依据这么数据来计算乘客和公交企业满意程度，并从中选出最好方案来。

第16页模型假设：

为了计算和分析方便起见，需要对于问题背景、条件等做出适当简化、规范，使得我们能够很好地反应出实际情况，建立起适当数学模拟形式，能够方便地进行计算和求解。１、该公交线路是双停车场，晚上公交车集中停放在两个发车场。第17页２、公交车在路上运行速度正常，不考虑路上堵车，以及在各个站上耽搁时间，２０公里／小时速度是全天平均运行速度。３、乘客抵达各个车站时间分布是均匀，即假设在局部时间段上，乘客抵达每个车站人数分布密度是均匀。４、乘客在每个车站下车人数，在局部时间段上是均匀。第18页符号说明：１、车站标识：j=1,2,…,n;共n个车站２、来客密度：在时刻t抵达j站乘客密度为３、下车乘客密度：在时刻t从车站j下车乘客密度

第19页４、站间行车时间：５、每辆车载客量：B；载客上限６、交通高峰时刻等候时间上界，交通平峰时刻等候时间上界７、发车时刻表：

第20页

表示第一辆车抵达起点站j=1时刻

表示是第k辆车驶离起点站j＝１时刻，k=1,2,…m８、第k辆车驶离j站时刻记为：

，

第21页９、第k辆车驶离j站时侯该车上人数，记为：k=1,2,…,m;j=1,2,…,n-1１０、表示从到时段上来客数；第22页

表示第k辆车驶到j站时，该站上等候过h辆车依然未能上车乘客数;

表示第k辆车驶到j站时，该站上等候时间最久乘客候车趟数。显然有

第23页11、：表示第k辆车驶到j站时，等到该站乘客下完车以后，车上依然留下乘客数。计算公式为：

第24页１２、

表示第k辆车驶到j站后，等到该站乘客下完后，j站可容纳上车乘客人数上界，显然有：１３、表示第k辆车驶到第j站后，该车上实际上车人数

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模型建立模型一一段时间内公交车上下车乘客数计算模型

第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站时间段内，该站上乘客来到人数为：第26页

第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站时间段内，该站上乘客下车人数为：第27页模型二第k辆车驶离j站时该车上乘客数量

第一步，按照先到先上车标准，确定在j站正在等候乘客中，当第k+1辆车抵达车站时，除了能够上车乘客以外，依然还要继续等候车辆数最大值记为，这个数满足下面问题第28页

第二步，假如，这表明，此时刻全部些人都能够上车，所以这个时候该车站上，第k辆车实际新上车乘客人数为第29页

第三步，假如，表明此时车站上全部乘客并不能够都上车，必定要留下一部分人，所以这个时候，新上车人数就是原来车上尚余最大空间，既：，同时显然这个时候，余下人中第k+1辆车抵达车站以后，还没有上车人中等车趟数最大值应该是：第30页

而且有递推数量关系：第31页

即这个时候第k+1辆车抵达该站时已等候车数+1人数，就是刚上了上辆车后，已经上车后剩下人中原来已经等了辆车人数，这个数就是，

所以能够计算出关键数据：第k辆车驶离j站时该车上乘客数量为：第32页第33页模型三超时率和载客率计算模型

第k辆车抵达j站时，该站上已经等候h趟车乘客人数是：

记交通高峰时期为，而整个时段为他们已经等候时间是：第34页交通高峰时段候车超时率为记为：第35页交通平峰时段候车超时率为：第36页满载率低于50%段数百分比为=第37页模型四优化模型

为了使得公交企业与乘客都满意，就要确保在所选方案中，乘客等车时间超出上限人次数尽可能最小；同时也要确保公交企业车辆不满50%段数尽可能地小，显然用段数作为计量单位是必要，因为人数改变、车辆满载情况是在每个段上衡量。当然这里并不关心总等车时间，而关心是等车超出上限时间次数，这也是表现等车基本数量信息。为了结构满意度模型，我们能够用比率模型来表示，而不是用实际等车时间数来表示。第38页求

其中是给定权重，反应是对三个目标重视程度第39页模型计算

本问题属于无约束最优化问题，能够用诸如数值微分等方法计算。也能够用离散化计算方法，依据问题实际背景，经过仅考虑决议变量部分特殊、符合实际离散化状态，再从中选择较优方案。第40页

将上行和下行两个运行方向运行分开分别计算，求出两个方向各自在一个运行周期中全部发车时间表、发车次数，求出可能发车次数以后，再进行配车，将发车次数计算与车辆陪给数分开计算是合理和必要。只要知道了一天要运行次数，就能够求出所用车辆数。这也是运输问题建模主要方法。第41页

计算结果

ＣTotalUp-busDown-bus(3,2,2)0.23744202222(4,3,3)0.27443011515(5,2,3)05,3,3)0.26462651515(6,2,2)042页

可见，很好方案是：交通平峰时发车时间间隔为５分钟；而早交通高峰时发车时间间隔为２分钟，晚交通高峰时发车间隔时间为３分钟；需要车辆数为４４辆车。第43页

彩票中数学建模

近年来，彩票飓风席卷中国大地，巨额诱惑使越来越多人加入到了彩民行列。当前流行彩票主要有传统型和乐透型两种。

传统型采取10选6+1模式，先从6组0~9号球中摇出六个基本号，每组摇出一个，然后再从0~4号中摇出一个尤其号码，组成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选六个基本号码（能够重复），在从0~4中选一个尤其号码，组成一注。依据单注号码与中奖号码相符合个数多少以及次序确定中奖等级。以中奖号码为abcdef+g为例说明中奖等级，表中x表示未选中号码；ＣＵＭＣＭ２００２Ｂ

第44页中奖等级

10选6+1（6+1/10）基本号码尤其号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdexxbcdef选7中（5）四等奖abcdxxxbcdexxxcdef选7中（4）五等奖abcxxxxbcdxxxxcdexxxxdef选7中（3）六等奖abxxxxxbcxxxxxcdxxxxxdexxxxxef

选7中（2）第45页

乐透型有各种不一样形式，比如33选7方案：先从01~33个号码球中一个一个摇出7个基本号，再从剩下26个号码球中摇出一个尤其号。得到一个中奖号。而投注者任选7个组成一注（不可重复），依据单注号码中与中奖号码相符个数多少确定出中奖等级，不考虑号码次序。第46页

又如36选6+1方案，先从01~36个号码球中一个一个摇出6个基本号，再从剩下30个号码球中摇出一个尤其号，组成中奖号码。然后，彩民从01~36个号码中任选7个组成一注，（不可重复），依据单注号码与中奖号码相符个数多少来确定中奖等级。不考虑号码次序。第47页

中奖号码数据彩票规则：以上两种类型总奖金百分比普通为销售总额50%，投注者单注金额为2元，单注假如以得高级别奖就不在兼得低级别奖。现在常见销售规则以及对应奖金设置方案见表，其中一、二、三等奖为高项奖，后面为低项奖。低项奖数额一定，高项奖按照百分比进行分配，一等奖保底奖金为60万元，封顶金额为500万，

第48页

高项奖计算方法为[（当期销售总额×总奖金百分比）-低项奖总额]×单项奖百分比（1）依据这些方案详细情况，综合分析各种奖项出现可能性、奖项和奖金额设置以及对彩民吸引力等原因评价各个方案合理性。（2）设计一个更加好方案及对应算法，并拒此给彩票管理部门提出提议（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。第49页

问题分析：评价一个方案好坏，主要看对于彩民以及政府管理部门来讲，该方案是不是有利于这项工作发展。设计方案好不好，关键一点是看它能不能吸引更多人参加其中，而这显然取决于方案对于广大彩民吸引力，也就是广大彩民对于方案满意程度，所以本问题根本目标依然是关于满意度问题。怎样定义满意度指标是问题关键所在，满意程度本质上是个心理表现度量，现在要用一个或几个数值来表现这种度量，怎样定义对应度量指标？第50页

实际上，满意度指标一个基本性质是：它是决议方案泛函数，是由方案中或者与方案相关数量来决定。显然，每个方案中，彩民最关心就是：高等奖奖金百分比、彩民中得各项奖概率有多大？一等奖奖金数大小。怎样用这些数据来定义一个函数值，作为反应方案好坏指标？实际上，关键是平均每买一注时，彩民对它满意程度，不然话不好比较，彩民满意度就是投一注时，所产生感觉和判断。吸引力关键还是奖金数大小，以及中奖百分比数，这是关键指标，现在怎样利用这些数据？奖金数产生吸引力能够用它某种函数来表示，因为假如把奖金数与中奖百分比直接进行结合话，因为它们数值大小相差太大，对于不一样方案，不易区分好坏，所以就需要对于奖金数进行函数处理。第51页

这里引进心理曲线概念，这个函数是,其中x就是钱数，而是与平均收入相关实力因子，或者叫做调整因子，因为这个数值模型作为反应彩民满意程度，必定要反应出特殊情况下状态，显然：中间情况：要确保当人们收入处于平均数时候，满意程度为1/2，即中间状态。那么，中奖金额数值要与什么数进行比较呢？普通而言，要与一定时期内总收入进行比较。第52页

每个等次奖都有吸引力，全部奖吸引力大小要进行加权平均处理，形成平均吸引力。自然用每等奖中奖百分比来作为权重，以表达出对应奖金数产生吸引力在总吸引力中作用。模型假设：1、彩票摇奖是公正2、各个号码出现是随机3、彩民购置彩票是随机独立事件第53页符号引入：1、表示第j等奖占高项奖总额百分比，j=1,2,32、表示第i等奖金额平均数，3、表示彩民中第i等奖概率，4、表示彩民对于某个方案第i等奖奖金数吸引力，5、表示某地域平均收入和消费水平相关因子，称之为实力因子。6、F:表示彩票方案合理性指标，即方案设置对于彩民吸引力综合指标。第54页模型一

中奖概率计算模型全部方案能够划分成四类：实际上就是给出了中奖随机事件界定，随机试验就是从所给号数中随机进行摸球试验，然后要求属于中奖事件。10选6+1(6+1/10）

n选m型有尤其号型

n选m+1(m+1/n)

n选m无尤其号型

模型建立：

第55页计算中奖概率公式是：10选6+1(6+1/10）

第56页计算说明:三等奖：abcdexxbcdef四等奖：abcdxxxbcdexxxcdef五等奖：abcxxxxbcdxxxxcdexxxxdef第57页六等奖：

abxxxx

xbcxxx

xxcdxxxxxdexxxxxef第58页其中：abxxxx和xxxxef能够有共同形式：abxxef,中间能够有种可能组合；

abxxxx和xxxdex能够有共同形式：abxdex,能够有种可能组合；

xbcxxx和xxxxef能够有共同形式：xbcxef,能够有种可能组合；

abxxxx与xxxdef有共同形式abxdef,共种可能；

xxxxef与abcxxx有共同形式abcxef,共种可能；第59页故,中六等奖概率是:

n选m型（m/n）考虑到事件对立特征,即除了本身具备以外,还要考虑到其它组成成份不一样情况第60页

：n选m+1(m+1/n)第61页

n选m（m/n）无尤其号型第62页模型二

彩民对于奖金额满意度模型依据普通含糊数学原理，以及人们心理改变规律，能够定义彩民对于彩票方案满意程度指标，由此反应出方案对彩民吸引力，转换到吸引力观点上。彩民对于一次取得奖金x满意度能够定义：

其中是实力调整因子，它详细取值将会使该模型完整全方面地反应各种对x满意度实际情况。第63页模型三彩民对于彩票方案综合满意度模型（1）计算高等奖奖金数平均值依据规则，低等奖奖金数是固定，所以能够用每次摸奖可能得到奖金数平均数来代替奖金数.假设共卖了m注，则高等奖平均每注获奖奖金数应该为：=第64页（2）彩民对于摸彩方案综合满意度因为每个人购置数量不一样，所以我们考虑彩民对于每买一注满意度,设满意度为第65页

模型四方案设置优化模型各种方案综合比较分析优化模型能够化为下面非线性规划问题求

s.t第66页

m，n为正整数第67页模型计算：（1）依据各个地域不一样收入水平（在一定时限内平均收入水平对应吸引力应该是0.5）来求出满意度函数中调整因子，对于不一样地域而言，这个数值是不一样。

（2）对于不一样方案，依据非线性规划计算方法，利用Matlab能够得到下面结果

计算结果第68页

玫瑰有约满意度数学模型

现有多名城市大龄青年,男女各n人。每人基本条件和要求对方条件分成若干等级，现在对他们进行牵线搭桥。基本要求：男青年至多比女青年大5岁，而女青年至多比男青年大两岁，而且最少满足个人条件要求中5项，才有可能配对成功。第69页

要求建立数学模型，处理以下问题：（1）在尽可能满足个人要求前提下，给出一个最正确配对方案，使得配对成功率尽可能地高？（2）给出一个n对男女青年可同时配正确最正确方案，使得全部配对成功可能性最大？

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问题分析：

问题（1）：配对成功率高低取决于男女双方相互满意程度大小，所以处理问题关键是要引入满意度概念，用满意度描述配正确属性特征。也就是说要给予“配对”进行量化描述，就要确定配正确数量特征，怎样才能够使得配对成功率高？要引入男女之间相互满意度，用满意度表示配正确可能性。

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问题（2）：同时配对成功意义在于在全部配对中选择满意度乘积最大配对方案，就是同时配对成功概率最高配对方案。