高中数学-《四种命题及其相互关系》同步新人教A版选修省公开课一等奖全国示范课微课金奖

第1页1．知识与技能了解四种命题概念，并会判断命题真假．2．过程与方法了解命题逆命题，否命题、逆否命题，能写出原命题其它三种命题．能利用四种命题间相互关系判断命题真假．第2页本节重点：了解命题逆命题、否命题、逆否命题．本节难点：分析四种命题相互关系以及四种命题真假之间关系．1．要经过实例去发觉四种命题间关系，并能用命题间关系去验证写出命题是否正确．2．要注意否命题与命题否定是不一样．比如：原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题否定是“若∠A＝∠B，则a≠b”．经过实例真正搞清一个命题否命题与它否定本质区分：否命题是既否定条件又否定结论；命题否定是只否定结论．第3页1．四种命题概念关于原命题逆命题、否命题和逆否命题写法：首先：把原命题整理成“假如p，则q”．其次：(1)“换位”得到“假如q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(分别否定)得到“假如非p，则非q”即为否命题；(3)既“换位”又“换质”得到“假如非q，则非p”即为逆否命题．第4页注意：“命题否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．只有“假如p，则q”形式命题才有否命题，形式为“假如綈p，则綈q”．在写一个命题否定或否命题时要注意一些关键词否定．第5页2．命题四种形式间关系(1)命题四种形式中，哪个是原命题是相正确，不是绝正确；(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否关系，对互为逆否两命题同真同假，在判断和证实中要注意它们之间相互转化．第6页3．间接证实相关问题因为原命题和它逆否命题有相同真假性，所以在直接证实一个命题有困难时，能够经过证实它逆否命题为真来间接证实原命题为真，即正难则反思想．注意：间接法惯用于证实否定性、存在性、惟一性，至多最少等，结论反面是比原结论更详细、更易于研究和掌握问题．第7页1．普通地，对于两个命题，假如一个命题条件和结论分别是另一个命题结论和条件，那么我们把这么两个命题叫做

，其中一个命题叫做

，另一个叫做原命题

．2．普通地，对于两个命题，假如一个命题条件和结论分别是另一个命题条件否定和结论否定，我们把这么两个命题叫做

，其中一个命题叫做

，另一个叫做原命题

．互逆命题原命题逆命题互否命题原命题否命题第8页3．普通地，对于两个命题，假如一个命题条件和结论恰好是另一个命题结论否定和条件否定，我们把这么两个命题叫做

，其中一个命题叫做

，另一个叫做原命题

．4．原命题为真，它逆命题

．5．原命题为真，它否命题

．6．原命题为真，它逆否命题

．7．互为逆否命题是等价命题，它们同

同

，同一个命题逆命题和否命题是一对互为

命题，它们同

同

．互为逆否命题原命题逆否命题不一定为真不一定为真为真真假逆否真假第9页[例1]写出以下命题逆命题、否命题与逆否命题．(1)负数平方是正数；(2)正方形四条边相等．[分析]

此题题设和结论不很显著，所以首先将命题改写成“若p，则q”形式，然后再写出它逆命题、否命题与逆否命题．第10页[解析]

(1)改写成“若一个数是负数，则它平方是正数”．逆命题：若一个数平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它平方不是正数．逆否命题：若一个数平方不是正数，则它不是负数．第11页(2)原命题能够写成：若一个四边形是正方形，则它四条边相等．逆命题：若一个四边形四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它四条边不相等．逆否命题：若一个四边形四条边不相等，则它不是正方形．第12页[点评]例1(1)题还有另一个解答：原命题能够写成：若一个数是负数平方，则这个数是正数．逆命题：若一个数是正数，则它是负数平方．否命题：若一个数不是负数平方，则这个数不是正数．逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数平方．这两种解答都能够，实际上例1中第(2)小题也有一样另一个解答．第13页写出以下命题逆命题、否命题、逆否命题．(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．[解析]

(1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.第14页[例2]判断以下命题真假，写出它们逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形对角互补，则该四边形是圆内接四边形；(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．第15页[解析]

(1)该命题为假，如c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：ac2>bc2，则a>b为真；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2为真；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b为假．(2)该命题为真．逆命题：若四边形是圆内接四边形，则四边形对角互补，为真．否命题：若四边形对角不互补，则该四边形不是圆内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆内接四边形，则四边形对角不互补，为真．第16页(3)该命题为假．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图象与x轴无公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0，为假．第17页[点评]写出一个命题逆命题、否命题、逆否命题关键是分清原命题条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．第18页改写成“若p则q”形式，并写出它否命题和逆否命题，最终判断全部命题真假．(1)ac>bc⇒a>b；(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；(5)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.第19页[解析]

(1)原命题：若ac>bc，则a>b.(假)否命题：若ac≤bc，则a≤b.(假)逆否命题：若a≤b，则ac≤bc.(假)(2)原命题：已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2.(假)否命题：已知x、y为正整数，若y≠x＋1，则y≠3或x≠2.(真)逆否命题：已知x、y为正整数，若y≠3或x≠2，则y≠x＋1.(假)第20页(4)原命题：若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.(真)否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0.(真)逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0.(真)第21页(5)原命题：若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.(真)否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3且x≠－1.(真)逆否命题：若x≠3且x≠－1，则x2－2x－3≠0.(真)第22页第23页[例3]有以下四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”否命题；(2)“若a>b，则a2>b2”逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”否命题；(4)“对顶角相等”逆命题．其中真命题个数是 (

)A．0

B．1

C．2

D．3[答案]

B第24页[解析]

(1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命题．(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为a<b，但a2＝1，b2＝0，a2>b2，故是假命题．(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式解，故是假命题．(4)“相等角是对顶角”是假命题．故选B.第25页[点评]本题解法中利用了举反例方法，如(2)、(3)解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经惯用到方法．第26页判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”逆否命题真假．[解析]解法一：写出逆否命题，再判断其真假．原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根；逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.判断以下：因为x2＋x－a＝0无实根．所以Δ＝1＋4a<0，所以a<－<0.所以“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．第27页解法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证实．在为a≥0，所以4a≥0，所以4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”逆否命题为真．第28页第29页[例4]写出以下命题否命题及命题否定形式，并判断真假．(1)若m>0，则关于x方程x2＋x－m＝0有实根．(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．(3)若abc＝0，则a、b、c中最少有一个为0.第30页[解析]

(1)否命题：若m≤0，则关于x方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)命题否定：若m>0，则关于x方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)(2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假命题)命题否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真命题)(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0.(真命题)命题否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0.(假命题)第31页[点评]命题否定形式及否命题是两个不一样概念，要注意区分，不能混同．从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论，而命题否定，条件不变，只否定结论.第32页[例5]已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“假如a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其否命题，判断其真假，并证实你结论．(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证实你结论．第33页[分析]

由题目可获取以下主要信息：①给出一个详细命题，②写出它否命题及逆否命题，判断其真假并证实．解答这类题关键是依据命题特点，选择适当证实方法．第34页[解析]

(1)①否命题：假如a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)为真命题．②当a＋b<0时，a<－b，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)<f(－b)，又由a＋b<0，可知b<－a，同理f(b)<f(－a)，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即“a＋b<0⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”成立．第35页(2)逆否命题：假如f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.真命题．因为一个命题和它逆否命题等价，所以可证实原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真．[点评]当直接证实一个命题真假有困难时，往往需转化为证实其逆否命题真假，如原命题是全称命题或存在性命题，或原命题是以否定形式给出时候，往往会采取这种思绪．第36页已知函数y＝f(x)是R上增函数，对a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证实a＋b≥0.[证实]

原命题逆否命题为：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证实其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又因为f(x)在R上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－b)＋f(－a)，逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题同真同假，得证．第37页第38页[例6]写出命题“已知a、b、c、d是实数，假如a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”逆命题、否命题，并证实它们真假．[误解]

逆命题：假如a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．否命题：假如a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．[辨析]

上述解法没有搞清命题条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．第39页[正解]逆命题：已知a、b、c、d是实数，假如a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，假如a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．第40页一、选择题1．命题“两条对角线相等四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等四边形”(

)A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．无关命题[答案]

A[解析]

依据逆命题定义．第41页2．命题“对顶角相等”与它逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是(

)A．上述四个命题 B．原命题与逆命题C．原命题与逆否命题 D．逆命题是否命题[答案]

C[解析]

∵命题“对顶角相等”逆命题“相等角是对顶角”