2025届高考数学精准突破复习用同构思想速解指、对型比大小问题模型

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届高考数学精准突破复习

用同构思想速解指、对型比大小问题【问题背景】指、对型比大小问题是高考常考题型，大多以选择题的形式出现，其解题方法灵活多变，有作差法、作商法、不等式性质法、特值法、中间值法、图象法、构造函数法等．其中，构造函数法既可以考查函数的图象和性质，又可以考查“同构”这一重要思想，故该方法成为近几年高考比大小问题中的考查热点，难度较大．在利用同构思想解指、对型比大小问题时，需要先将式子通过变形化为同一结构形式，从而构造函数，或将式子化为含有相同数的式子，作差后构造函数，再利用该函数的图象和性质进行比大小．【解决方法】【典例1】（2024江苏扬州中学8月开学考试）若，则（）A．

B．C．

D．【套用模型】第一步：观察式子，化为相同结构．对已知不等式变形可得：．【会转化】观察不等式，发现要想将左、右两边化为相同的形式，需要将右边变形，根据对数的运算性质，可得第二步：构造函数，判断单调性．令，．易知函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数．第三步：利用函数的单调性比大小．即，根据函数在上为增函数，可得，则．【易错提醒】根据对数的真数部分大于0，可知a与2b均大于0，处在同一单调递增区间内第四步：得出结论．因为，所以，则，A错，B对．无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B．【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试），，，则（）A．

B．

C．

D．【套用模型】第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．，，．第二步：构造函数，判断单调性．设，则，【作差法】因为与中均含有相同数字，作差得，构造函数，利用函数的单调性比较大小当时，，当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．第三步：利用单调性比大小．因为函数在上单调递增，所以，所以，，即．根据第二步与第三步同理可得b与c，a与c的大小关系，步骤如下：设，则，当时，，当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，故，即．令，，则，易知，【会分析】通过函数图象或构造函数，易证，，所以，所以，即所以在上单调递减，所以，所以，故，即．第四步：得出结论．综上，，，，所以．故选B．【典例3】（2024江苏盐城一模）已知偶函数在上单调递增，，，，则（）A．

B．

C．

D．【套用模型】第一步：观察式子，化为相同结构．，．【转化技巧】这里之所以将转化为，是因为构造函数后，发现自变量不在同一单调区间，需将其转化到同一单调区间内第二步：构造函数，判断单调性．设，则．当时，，单调递增，当时，，单调递减．第三步：利用单调性比大小．因为在上单调递减，且，所以，即，故．第四步：得出结论．因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减．【记重点】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，因为，所以，即．故选C．【典例4】（2024江苏宿迁8月开学统考）已知，，，则（）A．

B．

C．

D．【套用模型】第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．，，，所以，．，．【转化技巧】对b和c同时取对数，加负号，将其转化为含有相同数的两个式子第二步：构造函数，判断单调性．令，其中，则．当时，，当时，．【扫清障碍】，或（结合定义域舍去）所以在上单调递增，在上单调递减．第三步：利用单调性比大小．因为在上单调递减，且，所以，所以，即，．第四步：得出结论．又函数在上单调递增，所以．故．故选D．（22-23高三下·浙江台州·期末）1．已知是定义在的增函数，设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．（2023·河北·模拟预测）2．设，，，则（

）A． B． C． D．（22-23高三下·四川成都·期中）3．已知是定义在的减函数.设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．（23-24高三上·浙江·期中）4．若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（

）A． B． C． D．（22-23高三上·全国·阶段练习）5．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（

）A． B．C． D．（22-23高三下·湖北荆州·开学考试）6．已知．且，，，则（

）A． B．C． D．（2023·四川·模拟预测）7．已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（

）A． B．C． D．（2023·福建漳州·模拟预测）8．正实数满足，则实数之间的大小关系为（

）A． B． C． D．（2024高三·全国·专题练习）9．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．（22-23高三下·福建莆田·期末）10．设，，，则（

）A． B．C． D．（2023·浙江·模拟预测）11．已知，且满足，则（

）A． B．C． D．（23-24高三上·四川成都·开学考试）12．设，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．（23-24高三上·四川成都·期中）13．已知函数的导函数是，的图象关于点对称，对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（）A． B．C． D．（23-24高三上·四川成都·期中）14．已知偶函数对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．（22-23高三上·江苏扬州·期末）15．若，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．（2022·全国·高考真题）16．设，则（

）A． B． C． D．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】构造函数和，利用导数求得函数的单调性，得到，再结合函数的单调性，即可求解.【详解】令，可得，当时，，单调递增，又由，所以，即，所以；令，可得，当时，，单调递增，又由，所以，即，所以，所以，因为是定义在的增函数，所以，即.故选：C.2．B【分析】根据所给数的结构特征，设函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小，可得答案.【详解】设函数，则，当时，，当时，，故在单调递增，在上单调递减，又，，，因为，故，即，故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.3．B【分析】构造研究其在的单调性可得，再由指数函数的性质有，结合的单调性即可得答案.【详解】令且，则，所以上，即递减，故，则，又，即，由在的减函数，则.故选：B4．ABC【分析】将条件转化为，在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，判断他们与有交点时横坐标的大小情况.【详解】实数，，满足，∴，，如图在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，再作直线，变换的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故、、正确，错误．故选：．5．B【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．【详解】由已知，，则．设，则．因为，则．又，则，即，从而．当时，，则在内单调递增，所以，即，故选：B．6．B【分析】构造函数和，利用导数分别判断其单调性，由即可得，最后可得.【详解】令，则，即在上单调递减，∴，即，设，则，即在上单调递增，又∵，∴.故选：.7．C【分析】构造函数，求导得函数的单调性，进而可判断，结合的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意知，，令，则，当时，，此时在上单调递减，又，所以，即，又为奇函数且在上单调递减，所以在上单调递减，所以，即.故选：C.8．A【分析】由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小【详解】，即，即，与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，则；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，故；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，则；故选：A.9．C【分析】设，，利用导数分别求出函数的最大最小值，从而比较大小.【详解】设，则，当，，为增函数，当，，为减函数；又，所以恒成立，所以，则，所以．设，则，当，，为减函数，当，，为增函数；又，所以恒成立，所以，则．所以．所以．故选：C．【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.10．D【分析】由于，，，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小，【详解】，，，令，则，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，所以，故选：D【点睛】关键点点睛：此考查比较大小，解题的关键是对变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.11．B【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.【详解】由，得，由，得，由，得，令函数，显然，求导得，当时，，单调递减，当时，单调递增，于是，即有，而，所以.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.12．D【分析】构造，，求导得到函数单调性，从而得到，故，再构造，，求导得到函数单调性，从而得到，得到，得到答案.【详解】设，，则在上恒成立，故在上单调递减，又，故，即，故，令，，则在恒成立，故在上单调递增，又，故，即，故，综上：.故选：D13．D【分析】根据已知条件可得是偶函数，图象关于直线对称，周期为2，在上的单调性，，，构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，是奇函数，是偶函数，关于直线对称，所以的周期为2，因为在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，当时，，单调递减，且，所以，即，可得，，设，则，设函数，，，所以在上是减函数，，.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用函数的单调性比较大小.14．D【分析】先根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期，进而可求出函数的单调区间，构造函数，求出的范围，构造函数，，利用导数可求出的大小，再结合函数的对称性及单调性即可得出答案.【详解】因为函数为偶函数，所以，又，所以，即，所以函数是以为周期的一个周期函数，又因为在上单调递增，是以函数在上单调递增，因为，所以函数关于对称，所以函数在上单调递减，令，则，所以函数在上单调递减，所以，所以，故，又，因为，，令，，则，所以函数在上是减函数，，，，所以故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数，和，，是解决本题的关键.15．C【分析】构造，求导根据单调性得出，即，所以，即，所以；构造，求导根据单调性得出，即.【详解】令，，则，当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，又∵在上单调递增，∴，即，∴，即；令，，则，当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，∴，综上所述，，，的大小关系为.故选：C.【点睛】本题考查构造函数比较大小问题，解题关键是能够根据，，的形式，构造适当的函数模型，利用导数确定函数的单调性，根据单调性，比较特殊函数值之间的大小.16．C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：