暑期班第7讲.数列问题综合.文科.学生版

第第七讲数列综合问题高考要求高考要求数列与数学归纳法要求层次重难点数列的概念和表示法B⑴数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图象、通项公式〕．②了解数列是自变量为正整数的一类函数．⑵等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念．②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式．③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．等差数列的概念B等比数列的概念B等差数列的通项公式与前项和公式C等比数列的通项公式与前项和公式C知识精讲知识精讲板块一：数列的通项公式〔一〕主要方法：常见的递推式求通项公式的常用方法：⑴〔其中〕，那么；⑵〔其中〕，那么；⑶〔其中，，是关于的多项式函数〕，可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比拟与的各项系数可以确定待定系数；⑷，其中，，，，．假设，那么；假设，那么可以设；也可两边同时除以：；也可两边同时除以：．〔二〕典例分析：〔2008新课标江苏10〕将全体正整数排成一个三角形数阵：，按照以上排列的规律，数阵中第行从左至右的第个数为．如图，一粒子在区域上运动，在第一秒内它从原点运动到点，接着按图中箭头所示方向在轴、轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．设粒子从原点到达点、、时，所经过的时间分别为、、，⑴试写出、、的通项公式．⑵求粒子从原点运动到点时所需的时间；⑶粒子从原点开始运动，求经过秒后，它所处的坐标．〔2009湖南15〕将正分割成〔，〕个全等的小正三角形〔以下图分别给出了的情形〕，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数〔当数的个数不少于时〕都分别依次成等差数列．假设顶点，，处的三个数互不相同且和为，记所有顶点上的数之和为，那么有，_______，…，________．⑴〔2007全国Ⅰ〕数列中，，．求的通项公式；⑵数列满足，，那么______．⑶〔2008全国Ⅰ〕在数列中，，．求数列的通项公式．〔2009北京14〕数列满足：，，，，那么；．〔2009重庆14〕设，，，，那么数列的通项．〔2009湖北15〕数列满足：〔为正整数〕，，假设，那么所有可能的取值为__________．〔2009全国Ⅰ20〕在数列中，，．⑴设，求数列的通项公式；⑵求数列的前项和．〔2009江西22〕各项均为正数的数列，，，且对满足的正整数，，，都有．⑴当，时，求；⑵在⑴的条件下，将用表示出来〔其中〕．⑶在⑴的条件下证明为等比数列，并求通项．板块二：新定义数学与数学归纳法〔一〕知识内容数学归纳法：专门用来证明与正整数相关的命题的一种证明方法．数学归纳法的步骤：一个与正整数相关的命题，如果①取第一个值时命题成立；②在假设当，且时命题成立的前提下，推出当时命题也成立；那么可以断定，这个命题对取第一个值后面的所有正整数成立．〔二〕典例分析：〔2009海淀一模8〕对于数列，假设存在常数，使得对任意，与中至少有一个不小于，那么记：，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设，那么数列的各项均大于或等于B．假设，，那么C．假设，那么D．假设，那么〔2009西城一模14〕函数由下表给出其中等于在中所出现的次数．那么；．数集具有性质对任意的，与两数中至少有一个属于．那么____；请写出一个至少含有三个元素的具有性质的集合__________．〔2009北京理科20〕数集具有性质对任意的，与两数中至少有一个属于．⑴分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；⑵证明：，且；⑶证明：当时，，，，，成等比数列．〔2009北京文20〕设数列的通项公式为．数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值．⑴假设，求；⑵假设，求数列的前项和公式．⑶是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由．〔2009西城一模〕设，对于有穷数列，令为，，…，中的最大值，称数列为的“创新数列”，数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”．例如数列的创新数列为，创新阶数为．考察自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．⑴假设，写出创新数列为的所有数列；⑵是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？假设存在，求出所有的数列，假设不存在，请说明理由．〔2009湖南21〕对于数列，假设存在常数，对任意的，恒有，那么称数列为数列．⑴首项为，公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；⑵设是数列的前项和．给出以下两组论断：组：①数列是数列，②数列不是数列；组：③数列是数列，④数列不是数列．请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；⑶假设数列，都是数列，证明：数列也是数列．家庭作业家庭作业黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案，那么第个图案中有白色地面砖的块数是_________．在数列中，，且对于任意正整数，都有，那么_____．数列满足，，那么的值为．如图，在面积为的正内作正，使，，，依此类推，在正内再作正，……．记正的面积为，那么．数列中，，，且时，有，那么〔〕A．B．C．D．〔2009全国Ⅱ19〕设数列的前项和为，，．⑴设，证明数列是等比数列．⑵