复变函数 2.3初等多值解析函数

第三节初等多值解析函数2.3.1根式函数2.3.2对数函数2.3.3一般幂函数与一般指数函数2.3.4具有多个有限支点的情形2.3.5反三角函数和反双曲函数2.3.6小结与思考2021/5/91定义2.8(单叶函数）

设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.

显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.

f(z)=z2不是C上的单叶函数.

f(z)=z3是C上的单叶函数2021/5/922.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域设有幂函数:w=zn

令z=rei

,w=ei,则：w=zn

ei=

rnein

=

rn,

=n

于是得到幂函数有如下的变换性质：z平面w平面射线

=0射线

=n

0圆周r=r0圆周

=r0n2021/5/93xozyuowvW=znz平面w平面射线

=0射线

=n

0圆周r=r0圆周

=r0n

0n0角域0<<0射线0<<n

0))xozy)2021/5/94从原点起沿负实轴剪开的w平面G0z平面w平面W=zn角域

0<<0角域0<<n

0uowvxozy上岸下岸2021/5/95映射特点:

幂函数w=zn(n>1)单叶性区域是顶点在原点，张度不超过2/n的角形区域的角形域,但张角变成为原来的

n倍.是幂函数的单叶性区域的一种分法总之：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点2021/5/962.3.1根式函数定义2.9

若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：i.e.根式函数

为幂函数z=wn

的反函数.(1)根式函数的多值性.2021/5/97(2)分出根式函数的单值解析分支.1)产生多值的原因.

产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可以连续改变2

的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值2021/5/982)解决的办法.

限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量

argz<2

理论上的的做法：

从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，

argz<2

，从而可将其转化为单值函数来研究

常用的做法：

从原点起沿着负实轴将z平面割破：zxozyG2021/5/99

结论：

从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:

分成如下的n个单值函数：

定义域为

wk在Gk上解析,且2021/5/910xozyG13xozyG0--T0T1T2

uwvoxozyG235

2021/5/9112.3.2对数函数1.定义说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数Lnz一般不能写成lnz2.计算公式及多值性说明：2021/5/912由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数规定：为对数函数Lnz的主值于是：z的主辐角2021/5/913特殊地,2021/5/914例4解注意:在实对数函数中,零和负数无对数, 这一点在复对数函数中不再成立.2021/5/915例5解2021/5/916例6解2021/5/9172021/5/9182.性质2021/5/919证(3)[证毕]2021/5/920(3)

(4)错了例：错了，同志哥！！！决不会相等！！！原因Bernoulli悖论

Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加A={0,1}A+A={0,1,2}2A={0,2}A+A

2A2021/5/9213.分出w=Lnz的单值解析分支从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数w=Lnz分成如下n个单值解析分支：

定义域为

wk在Gk上解析,且2021/5/9222.3.3一般幂函数与一般指函数1.一般幂函数称为z的一般幂数函数2.一般指数函数称为z的一般指数函数都是多值函数，适当割破z平面，都可转化为单值函数2021/5/923注意:1.一般幂函数称为z的一般幂数函数2021/5/9242021/5/925特殊情况:2021/5/9262021/5/927例7解答案课堂练习2021/5/928例8解2021/5/9292.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,2021/5/930它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,2021/5/9312.3.4反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得2021/5/932

同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义2021/5/933例14解2021/5/9342.