自动控制原理 第2版 课件 第二章数学基础

中国矿业大学信电学院自动控制原理1第一节数学基础-拉氏变换及其应用一、拉氏变换定义

设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0

②t>0时，f(t)分段连续

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限拉氏变换的积分下限为（零的左极限）中国矿业大学信电学院自动控制原理2一、拉式变换的定义tf(t)tf(t)（零的左极限）（零的右极限）比如：单位阶跃函数在t=0处不连续中国矿业大学信电学院自动控制原理33、指数函数：4、幂函数：1、脉冲函数：2、阶跃函数：二、常用函数的拉式变换中国矿业大学信电学院自动控制原理4二、常用函数的拉式变换5、正弦函数：6、余弦函数：中国矿业大学信电学院自动控制原理5二、常用函数的拉式变换

f(t)，t

[0,)称为原函数，属时域。

原函数用小写字母表示，如f(t)，i(t)，u(t)。

F(s)称为象函数，属复频域。

象函数F(s)用大写字母表示,

如F(s)，I(s)，U(s)。称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：

自动控制原理三、拉氏变换的基本定理1.线性定理：2.延迟定理：f(t)f(t-τ)平移

中国矿业大学信电学院自动控制原理7三、拉氏变换的基本定理3.位移定理：的反拉式变换？中国矿业大学信电学院自动控制原理8三、拉氏变换的基本定理4.微分定理：中国矿业大学信电学院自动控制原理9零初始条件：函数f(t)及其各阶导数的初始值都等于零在零初始条件下，6.初值定理（Initialvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的初值为5.积分定理：三、拉氏变换的基本定理自动控制原理7.终值定理（Finalvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的终值为前提：sF(s)在包含虚轴的右半平面内解析（无极点）三、拉氏变换的基本定理在虚轴上有极点在右半平面上有极点以上函数不能使用终值定理自动控制原理7.终值定理（Finalvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的终值为三、拉氏变换的基本定理sF(s)在包含虚轴（原点除外）的右半平面内解析（无极点）注意：在运用终值定理前必须先判定终值定理中的条件是否都满足事实上：自动控制原理7.终值定理（Finalvaluetheorem）：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的终值为三、拉氏变换的基本定理所有极点都在复平面左半平面上可以使用终值定理求，简记为中国矿业大学信电学院自动控制原理13F(s)化成下列因式分解形式：

◆F(s)中具有不同的极点时，可（留数法）展开为

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)中国矿业大学信电学院自动控制原理14例2.1求的反拉氏变换

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)将F(s)的分母因式分解为自动控制原理例2.2求的原函数

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)注意：利用留数法求拉式反变换的条件是中国矿业大学信电学院自动控制原理16例2.2求的原函数

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)中国矿业大学信电学院自动控制原理17◆F(s)含有多重极点时，可展开为

其余各极点的留数确定方法与上同。

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)中国矿业大学信电学院自动控制原理18例2.3求的原函数

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)中国矿业大学信电学院自动控制原理19

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)中国矿业大学信电学院自动控制原理20

四、拉氏反变换(InverseLaplaceTransform)中国矿业大学信电学院自动控制原理21线性常微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分方程的解。

五、用拉氏变换求解微分方程SolvingODEsUsingLaplaceTransform中国矿业大学信电学院自动控制原理22

例2.5设线性微分方程为式中，为单位阶跃函数，初始条件为，，试求该微分方程的解。解：